26.3 第1课时 实物型抛物线（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学导学案聚焦“实物型抛物线”，核心是二次函数模型的建立与应用。通过知识链接复习等腰三角形坐标系建立和抛物线表达式求解，新知预习以喷泉水流问题引导建立坐标系，衔接旧知与新知，搭建学习支架。 资料以生活实例（喷泉、铅球、隧道）为载体，引导学生用数学眼光抽象问题，通过多种坐标系建立培养几何直观，运用待定系数法推理求解培养推理意识，用函数表达式描述轨迹培养模型意识，提升应用与创新能力。

26.3 实践与探索 第1课时 实物型抛物线 学习目标： 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．（重点） 2.利用二次函数解决拱桥及运动中的抛物线有关问题．（难点） 3.能运用二次函数的图象与性质进行决策． 自主学习 一、知识链接 1.如图，已知等腰△ABC的底边长为8，腰长为5，请建立合适的坐标系，并写出各顶点的坐标. 2.根据下列条件，写出抛物线的表达式： （1）已知抛物线经过点（1,1），（0，-4），（-1，-5）,则y=_______________ ； （2）已知抛物线的顶点为（2,7），且与y轴的交点为（0,9），则y=___________ ； （3）已知抛物线与x轴的两个交点分别为（-4,0），（3,0），且点（1，-10）在此抛物线上，则y= ________________ . 二、新知预习 填空并完成练习： 1.某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高度y（米）与喷出水流距喷嘴的水平距离x（米）之间满足函数关系式y＝−x2+2x. （1）喷嘴能喷出水流的最大高度是 米; （2）喷嘴喷出水流的最远距离为 米. 2.如图，某广场喷泉的喷嘴安装在平地上，有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状.已知在距喷嘴2m处，喷出的水流高度最大，为4m,与喷嘴的水平距离为1 m处，喷出水流的高度为3 m.问喷嘴喷出水流的最远距离为多少？ （1） 建立如下三种坐标系，设水流最高处记为点A，水流形成的抛物线上，与喷嘴水平距离为1m处记为点B.根据题意，写出各点的坐标： 图① 图② 图③ ①A____________ B____________ ②A____________ B____________ ③A____________ B____________ （2） 分别写出在各图所示的坐标系中的抛物线的表达式： 图①：y=___________________;图②：y=___________________;图③：y=___________________. （3） 任选一个图，计算喷嘴喷出水流的最远距离，结果为________________m. 【自主归纳】建立二次函数模型解决实物型抛物线问题时，若所给图形中没有坐标系，需建立 ,再根据题意，找出关键点的坐标，运用 ,求出抛物线的表达式，最后进行计算求解. 合作探究 1、 要点探究 探究点1：利用二次函数解决运动中抛物线型问题 问题1 某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系y=ax2+x+c（a≠0）． （1）由题意，可得点A的坐标为___________; 点B的坐标为___________; （2） 根据点A，B的坐标，求y与x之间的函数关系式； （3）求水流喷出的最大高度． 问题2 为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为3米时，达到最大高度米的B处．小丁此次投掷的成绩是多少米？ （1） 怎样建立直角坐标系比较简单？ （2） 根据你建立的坐标系，说一说点A，B的坐标； （3） 由点A，B的坐标，能求出该抛物线的表达式吗？若能，写出该抛物线的表达式； （4） 根据你写出的表达式，如何求小丁此次投掷铅球的成绩？ 【方法归纳】解决抛物线型实际问题的一般步骤.(1) 根据题意建立适当的平面直角坐标系； (2) 把已知条件转化为点的坐标；(3) 合理设出函数表达式；(4) 利用待定系数法求出函数表达式；(5) 根据求得的表达式进一步分析、判断并进行有关的计算. 【典例精析】 例1 一球从地面抛出的运动路线是抛物线，如图．当球离抛出地的水平距离为30m时，达到最大高度10m． （1）问：球被抛出多远？并求出该抛物线的表达式． （2）当球的高度为m时，球离抛出地的水平距离是多少？ 【针对训练】跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．一名运动员起跳后，他的飞行路线如图所示，当他的水平距离为15m时，达到飞行的最高点C处，此时的竖直高度为45m，他落地时的水平距离（即OA的长）为60m，求这名运动员起跳时的竖直高度（即OB的长）． 探究点2：利用二次函数解决拱桥问题 【典例精析】 例2 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形OABC的长是12m，宽是4m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+2x+c表示． （1）请写出该抛物线的函数关系式； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ （3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 【针对训练】如图所示，施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，隧道宽度（即OM长）为16米，其顶点P到OM的距离为8米． （1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数表达式； （2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的车辆？请通过计算说明． 二、课堂小结 实物型抛物线 转化关键→建立恰当的平面直角坐标系→①能够将实际距离准确的转化为点的坐标；②选择运算简便的方法. 当堂检测 1.羽毛球运动是一项非常受人喜爱的体育运动．某运动员在进行羽毛球训练时，羽毛球飞行的高度h（m）与发球后球飞行的时间t（s）满足关系式h=-t2+2t+1.5，则该运动员发球后1s时，羽毛球飞行的高度为（　　） A．1.5m B．2m C．2.5m D．3m 2.如图，某座桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系式为y＝−x2，当水面宽度AB为20m时，水面与桥拱顶的高度DO等于（　　） A．2m B．4m C．10m D．16m 第2题图 第3题图 3.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为20m，拱顶距水面4m，在如图的直角坐标系中，该抛物线的表达式为 . 4.在某场足球比赛中，球员甲在球门正前方点O处起脚射门，在不受阻挡的情况下，足球沿如图所示的抛物线飞向球门中心线，当足球飞行的水平距离为2m时，高度为m，落地点A距O点12m．已知点O距球门9m，球门的横梁高为2.44m． （1）飞行的足球能否射入球门？通过计算说明理由； （2）若守门员乙站在球门正前方2m处，他跳起时能摸到的最大高度为2.52m，他能阻止此次射门吗？并写明理由． 参考答案 自主学习 1、 知识链接 1.解：如图所示，点B（0,0），C（8,0），A（4,3）.（答案不唯一） 2.(1) 2x2+3x-4 (2)(x-2)2+7 (3)x2+x-12 二、新知预习 1.（1）2 （2）4 2.（1）①（2,4） （3,3） ②（0,0） （1，-1） ③（0,4） （1,3） (2) -（x-2）2+4 -x2 -x2 +4 (3) 4 【自主归纳】 平面直角坐标系 待定系数法 合作探究 一、要点探究 探究点1：利用二次函数解决运动中抛物线形问题 问题1 解:（1）（0，1.5） （3，0） （2）把上述两个点坐标代入二次函数表达式得解得 则函数表达式为y=-0.5x2+x+1.5； （3）y＝−0.5x2+x+1.5＝−0.5(x−1)2+2，a=-0.5＜0，故函数有最大值，∴当x=1时，y取得最大值，此时y=2.答：水流喷出的最大高度为2米． 问题2 解:（1）建立平面直角坐标系如图所示． （2）点A的坐标为（0，），顶点B为（3，）． （3）能，设抛物线的表达式为y=a（x-3）2+，∵点A（0，）在抛物线上，∴a（0-3）2+=，解得a=-．∴抛物线的表达式为y=-（x-3）2+. （4）令y=0，则-（x-3）2+=0，解得x=8或x=-2（不合实际，舍去）．即OC=8． 答：小丁此次投掷的成绩是8米． 【典例精析】例1 解：（1）根据题意，设抛物线的表达式为y＝a（x﹣30）2+10，把（0，0）代入得 a＝﹣．所以抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣30）2+10＝﹣x2+x．当y＝0时，x1＝0，x2＝60． 故球被抛出60m，该抛物线的表达式为y＝﹣x2+x． （2）当y＝时，＝﹣（x﹣30）2+10，解得x1＝50，x2＝10． 故当y＝时，球离抛出地的水平距离是10m或50m． 【针对训练】解：建立如图所示的坐标系，设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，根据题意得抛物线的顶点坐标为（15，45），∴y＝a（x﹣15）2+45. ∵抛物线与x轴交于点A（60，0），∴0＝a（60﹣15）2+45，解得a＝﹣，∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣15）2+45.令x＝0，得y＝﹣（0﹣15）2+45＝40，∴点B的坐标为（0，40），∴这名运动员起跳时的竖直高度为40m． 探究点2：利用二次函数解决拱桥问题 【典例精析】例2 解：（1）根据题意得C（0，4），把C（0，4）代入y＝x2+2x+c中得c=4.所以抛物线的表达式为y＝x2+2x+4. （2）抛物线的表达式为y＝x2+2x+4=(x-6)2+10，所以对称轴为直线x＝6，由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），当x＝2或x＝10时，y＝＞6，所以这辆货车能安全通过. （3）令y＝8，则(x-6)2+10=8,解得x1＝6+2,x2＝6-2,则x1﹣x2＝4.所以两排灯的水平距离最小是4 m. 【针对训练】解：（1）如图，以O为原点建立平面直角坐标系，易得抛物线的顶点坐标为（8，8）.设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣8）2+8，将点（0，0）代入上式得0＝64a+8，解得a=故抛物线的函数表达式为 y＝（x﹣8）2+8. （2）由题意得车沿着隔离带边缘行驶时，车最外侧的横坐标为x＝7.5﹣3.5＝4或x＝8.5+3.5=12，当x＝4或12时，y＝6，即允许的最大高度为6米，5.8＜6，故该车辆能通行. 当堂检测 1.C 2.B 3.y=-0.04（x-10）2+4 4.解：（1）能射入球门．理由如下：因为抛物线过点O（0，0），A（12，0），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣0）（x﹣12），将（2，）代入表达式，得a＝﹣．所以抛物线的表达式为y=﹣． 当x＝9时，y=＝，＜2.44，故能射入球门． （2）不能阻止．理由如下：当x＝7时，故不能阻止. 学科网（北京）股份有限公司 $