26.2.2 第5课时 图形面积的最大值（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学导学案聚焦二次函数的图象与性质，核心内容为图形面积的最大值。通过篱笆围矩形菜园的不同情境（无隔墙、有隔墙、靠墙）进行知识链接，搭建从实际问题到二次函数关系的学习支架，衔接旧知与新知。 资料以自主学习与合作探究结合，通过“做一做”画图分析、典例精析及变式训练，引导学生用数学眼光抽象实际问题中的函数关系，用数学思维推理最值条件，用数学语言建立面积模型，有效提升学生的抽象能力、推理意识和应用意识。

26.2 二次函数的图象与性质 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 第5课时 图形面积的最大值 学习目标： 1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点） 2.能应用二次函数的性质求出图形面积的最大值.（重点） 自主学习 一、知识链接 用一段长为20 m的篱笆围成一个矩形菜园，设AB=x m,用含x的代数式填空： （1） 如图①，AD的长为_________m,矩形菜园的面积S=___________，x的取值范围为____________; （2） 如图②，菜园中间用一道篱笆隔开，此时AD的长为_________m,矩形菜园的面积S=___________, x的取值范围为____________; （3） 如图③，菜园的一面靠墙，此时AD的长为_________m,矩形菜园的面积S=___________. 若可利用的墙的长度不限，则x的取值范围为____________;若可利用的墙的长度为8 m,则x的取值范围为____________. 图① 图② 图③ 2、 自主预习 填空并完成下列练习： 求二次函数y=ax2+bx+c（x为任意实数）的最大（或小）值时，常用方法有两种： （1）将抛物线y=ax2+bx+c通过配方，转化为y=a(x-h)2+k的形式.若a＞0，则当x=_____时，y取最_____值,此时，y=__________;若a＜0，则当x=_____时，y取最______值,此时，y=__________. （2）运用公式法，若a＞0，则当x=时，y取得最_______值，此时y=_____________;若a＜0，则当x=时，y取得最_______值，此时y=_____________; 练习 1.求二次函数y=x2－6x－5的最大(或小）值，可先将其配方，可化为y=(x-_______)2+_________,则该函数有最_______值，其值为__________; 2.求二次函数y=的最(大或小）值,可利用公式法，当x=________时，该函数有最_________值，其值为___________. 合作探究 1、 要点探究 探究点1：求二次函数的最大(或最小)值 做一做 1.在如图所示的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，根据图象，回答问题: 问题1 （1）当x取任意实数时，二次函数在何时取得最大（或小）值？ （2）当-3≤x≤1时，二次函数在何时取得最大值？ 做一做 2.在如图所示的平面直角坐标系中，画出二次函数y=-x2-2x+3的图象，根据图象，回答问题： 问题2 （1）当x取任意实数时，二次函数y=-x2-2x+3在何时取得最大（或小）值？ （2）当-3≤x≤4时，二次函数y=-x2-2x+3在何时取得最大值？ 【要点归纳】当自变量的范围有限制时，二次函数的最值可以根据以下步骤来确定： 1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴. 2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围. 3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值. 【典例精析】 例1 求下列函数的最大值与最小值. （1） (-1≤x≤2）； (2) y=-100x2+100x+200(0≤x≤2）； （3） . 探究点2：二次函数与几何图形面积的最值 问题 要用总长为40m的铁栏杆，围城一个矩形的花圃，怎样围，才能使围成的花圃的面积最大？ 解：设AB的长为x m,则BC的长为__________m, 此时花圃的面积S=___________m2. 易知x的取值范围为____________. S=___________=-（ ）2+_________, 则当x=_________时，S取得最大值，此时最大面积为________m2. 变式 若花圃的一面靠墙（墙足够长），怎样围，能使围成的花圃的面积最大？ 解：设AB的长为x m,则BC的长为__________m, 此时花圃的面积S=___________m2. 易知x的取值范围为____________. S=___________=_____（ ）2+_________, 则当x=_________时，S取得最大值，此时最大面积为________m2. 想一想：（1）若可利用的墙的长度为24m，怎样围，能使围成的花圃的面积最大？ （2）若可利用的墙的长度为16 m，怎样围，能使围成的花圃的面积最大？ 【典例精析】 例2 如图所示，用一根长度为18米的原材料制作一个矩形窗户边框（即矩形ABFE和矩形DCFE），原材料刚好全部用完，设窗户边框AB长度为x米，窗户总面积为S平方米（注：窗户边框粗细忽略不计）． （1）求S与x之间的函数关系式； （2）若窗户边框AB的长度不少于2米，且边框AB的长度小于BC的长度，求此时窗户总面积S的最大值和最小值． 【针对训练】如图，有长24米的铁栏杆，一面利用墙（墙的最大长度为15米），围成中间隔有一道铁栏杆的长方形花圃．设花圃中垂直于墙AD的一边AB的长为米，花圃的总面积为平方米． （1）求与之间的函数关系式； （2）如果花圃的总面积为36平方米，求AB的长； （3）能否围成面积比45平方米更大的花圃？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 二、课堂小结 求二次函数y=ax2+bx+c的最值 两个方法 （1）配方成y=a(x-h)2+h的形式；（2）公式法 一个注意 注意自变量的取值范围是否为全体实数，若不是，则需结合函数的增减性来判断 图形面积的最大值问题 一个关键 依据常见几何图形的面积公式建立函数关系式 一个注意 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 当堂检测 1.二次函数y=（x+1）2-2的最小值是（　　） A．-2 B．-1 C．1 D．2 2.二次函数y=-2x2-4x+3（x≤-2）的最大值为________. 3.已知直角三角形的两直角边之和为8，则该三角形的面积的最大值是________. 4.如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子．（纸板的厚度忽略不计） （1）若该无盖盒子的底面积为900cm2，求剪掉的正方形的边长； （2）求折成的无盖盒子的侧面积的最大值． 5.如图，某公司要建一个矩形的产品展示台，展示台的一边靠着长为9m的宣传版（这条边不能超出宣传版），另三边用总长为40 m的红布粘贴在展示台边上．设垂直于宣传版的一边长为x m. （1）当展示台的面积为128 m2时，求x的值； （2）设展示台的面积为y m2，求y的最大值． 参考答案 自主学习 1、 知识链接 （1） （10-x） x(10-x) 0＜x＜10 （2） （10-x） x（10-x） 0＜x＜ （3） （20-2x） x(20-2x) 0＜x＜10 6≤x＜10 二、新知预习 (1) h 小 k h 大 k (2)小 大 练习：1. 3 (-14) 小 -14 2. 大 合作探究 一、要点探究 探究点1：求二次函数的最大(或最小)值 做一做 1.解：如图①所示. （1） 当x取任意实数时，二次函数在x=2时取得最小值，此时y=1. （2） 由图象可知，当-3≤x≤1时，二次函数在x=-3处取得最大值，此时y=26. 图① 图② 2.解：如图②所示. （1）当x取任意实数时，二次函数y=-x2-2x+3在x=-1时取得最大值，此时y=4. （2）由图象可知，当-3≤x≤4时，二次函数y=-x2-2x+3在x=-1时取得最大值，此时y=4. 【典例精析】例1 解：（1）当x＜3时,y随x的增大而减小.∵-1≤x≤2，则当x=-1时，y取得最大值，此时y=6；当x=2时，y取得最小值，此时y=-9. (2)y=-100x2+100x+200=-100(x2-x+)+25+200=-100(x-)2+225.∵0≤x≤2，∴当x=时，y取得最大值，此时y=225.当x=2时，y取最小值，此时y=0. (3)∵-3≤x≤2,则当x=-2时，y取得最大值，此时y=5.当x=2时，y取得最小值，此时y=-3. 探究点2：二次函数与几何图形面积的最值 问题 （20-x） x(20-x) 0＜x＜20 x(20-x) x-10 100 10 100 变式 （40-2x） x(40-2x) 0＜x＜20 x(40-2x) -2 x-10 200 10 200 想一想 （1）解：由可利用的墙的长度为24m，可得40-2x≤24，则8≤x＜20.因为y=-2(x-10)2+200,∴当x=10时，y取得最大值，此时围成的花圃的最大面积为200 m2. （2）解：由可利用的墙的长度为16m，可得40-2x≤16，则12≤x＜20.因为y=-2(x-10)2+200,∴当x＞10时，y随x的增大而减小，则当x=12时，y有最大值，此时围成的花圃的最大面积为192 m2. 【典例精析】例2 解：（1）由题意可得S=x•=-x2+9x. （2）由题意可得，2≤x＜，解得2≤x＜3.6.∵S=-x2+9x=-（x-3）2+,∴当x=3时，S取得最大值，此时S=，当x=2时，S取得最小值，此时S=12. 答：窗户总面积S的最大值是m2、最小值是12m2． 【针对训练】解：（1）花圃的宽AB为x米，则BC=（24-3x）米， ∴S=x（24-3x），即S=-3x2+24x（3≤x＜8）； （2）当S=36时，-3x2+24x=36，解得x1=2，x2=6，当x=2时，24-3x=18＞15，不合题意，舍去；当x=6时，24-3x=6＜15，符合题意，故AB的长为6米． （3）S=-3x2+24x=-3（x-4）2+48，∵3≤x＜8，∴能围成面积比45平方米更大的花圃，当x=4米时面积最大，最大面积为48平方米． 当堂检测 1.A 2. 5 3. 8 4.解：（1）设剪掉的正方形的边长为x cm，则（40-2x）2=900， 即40-2x=±30，解得x1=35（不合题意，舍去），x2=5. 答：剪掉的正方形边长为5cm； （2）设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2，则y与x的函数关系式为y= 4（40-2x）x，即y=-8x2+160x，y=-8（x-10）2+800.∵-8＜0，∴y有最大值， ∴当x=10时，y最大=800； 答：折成的长方体盒子的侧面积有最大值，这个最大值是800cm2． 5.解：（1）由题意x（40-2x）=128，解得x=4或16，当x=4时，40-2x=32＞9，不合题意. ∴x的值为16. （2）由题意y=x（40-2x）=-2x2+40x=-2（x-10）2+200．∵40-2x≤9， ∴x≥，∴当x=时，y=-2（-10）2+200=139.5．∴y的最大值为139.5． 学科网（北京）股份有限公司 $