26.2.2 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象与性质（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学导学案聚焦二次函数y=ax²+k的图象与性质，通过知识链接复习y=ax²的开口方向、顶点坐标等性质及一次函数平移规律，搭建新旧知识桥梁，引导学生逐步深入学习。 资料特色在于自主学习与合作探究结合，通过填表、画图、观察培养抽象能力和几何直观，归纳平移规律和性质发展推理意识，典例与检测强化模型应用，助力学生自主构建知识，提升学习效率。

26.2 二次函数的图象与性质 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象与性质 学习目标： 1.会画二次函数y=ax2+k的图象.（重点） 2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.（难点） 3.理解y=ax²与 y=ax²+k之间的联系.（重点） 自主学习 一、知识链接 1.填写下表： y=3 x2 y=-3 x2 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 . 在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 . 2.将直线y=2x向上平移2个单位，得到的新的直线的表达式为______________;直线y=-2x-3是由直线y=-2x通过怎样的变换得到的？ 思考：y=x2与y=x2+3的图象之间能通过平移变换得到吗？ 二、新知预习 （预习课本P9-10）试说出函数y=ax2+k（a,k是常数，且a≠0）的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标： 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=ax2+k a＞0 开口向______ a＜0 开口向______ 练习： 1.抛物线y=x2-3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看做是由抛物线y=x2向 平移 个单位得到. 2.将抛物线y=2x2-3的图象向上平移4个单位后，所得抛物线是 ，其顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y取最 值，为 . 合作探究 1、 要点探究 探究点1：二次函数y=ax2+k的图象及平移 做一做 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2，y=2x2+1的图象． (1)列表: x ··· -1.5 -1 0 1 1.5 ··· y1=2x2 ··· ··· y2=2x2+1 ··· ··· （2）列表，连线. （3） 观察列表，当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？ （4）将（3）中的数值转换为坐标，反映在函数图象上，观察图象，相应的两个点之间的位置有什么关系？ 【要点归纳】二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当k > 0 时，向上平移k个单位得到.当k < 0 时，向下平移－k个单位得到. 规律总结为：平方项不变，常数项上加下减. 【典例精析】 例1 抛物线y=2x2-5通过平移，得到抛物线y=2x2，则平移方式正确的是（　　） A．向左平移5个单位 B．向右平移5个单位 C．向上平移5个单位 D．向下平移5个单位 【针对训练】（1）将抛物线y=-x2向上平移3个单位后，得到的抛物线的表达式是_______________; (2)将抛物线y=x2+2向下平移4个单位后所得新抛物线的表达式为___________________. 探究点2：二次函数y=ax2+k的图象和性质 思考 图形平移之后，性质会发生改变吗？你能通过二次函数y=2x2的性质推断出函数y=2x2+1的性质吗？ 观察 观察二次函数y=2x2，y=2x2+1的图象，填写下表： 二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 y1=2x2 向_____ _____ _____ 当x____0时，y随x的增大而增大； y2=2x2+1 向_____ _____ _____ 当x____0时，y随x的增大而减小 【要点归纳】二次函数y=ax2+k(a≠0)的性质 当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，k)，当x=0时，y有最小值为k.当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大. 做一做 在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数y=－x2，y=－x2-2，y=－x2+2的图象，并说一说它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、函数最值、函数增减性. 观察与思考 根据图象回答下列问题: (1)三条抛物线的开口方向_____________；(2)对称轴都是____________________ ； (3) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________; (4)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为______、______﹑______. (5) 函数的增减性都相同:_____________________________________. 【要点归纳】二次函数y=ax2+k(a≠0)的性质 当a＜0时，抛物线开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，k)，当x=0时，y有最大值为k.当x＜0时，y随x的增大而增大；x＞0时，y随x的增大而减小. 【典例精析】 例2 关于二次函数y=2x2+4，下列说法错误的是（ ） A．其图象的开口方向向上 B．当x=0时，y有最大值4 C．其图象的对称轴是y轴 D．其图象的顶点坐标为（0，4） 【针对训练】 关于抛物线y=-x2+1与y=x2-1，下列说法正确的是 （ ） A．开口方向相同 B．顶点相同 C．对称轴相同 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 例3 在直角坐标系中，函数y＝3x与y＝-x2+1的图象大致是（ ） 【针对训练】在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为( ) 【方法归纳】熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键． 2、 课堂小结 二次函数y=ax2+k (a≠0)的图象和性质 图象的特点 a>0 开口向_____； 对称轴是_________， 顶点坐标是_________. 当x________时，y随x的增大而增大，当x_______时，y随x的增大而减小 a<0 开口向_____. 对称轴是_________， 顶点坐标是_________. 当x______时，y随x的增大而增大， 当x______时，y随x的增大而减小 平移规律 k正向_____平移；k负向下_____平移. 当堂检测 1.对于抛物线y=2x2-1,下列说法中，正确的有______________(填序号). ①顶点坐标为（-1,0）；②对称轴为y轴；③开口方向向上；④可由抛物线y=2x2向下平移1个单位得到；⑤(-1,y1),( -3,y2)是该抛物线上的两个点，则y1＜y2. 2.已知抛物线y=ax2+k. （1）若抛物线y=ax2+k的形状与y=2x2相同，开口方向相反，且顶点坐标为(0,-3)，则该抛物线的函数表达式是____________; （2）若抛物线y=ax2+k向上平移两个单位后得到的抛物线的函数表达式为y=-0.5x2-1，则a=______,k=______; （3）若抛物线y=ax2+k的最小值为4，且经过点(1,5),则该抛物线的函数表达式是__________;将抛物线y=ax2+k向下平移3个单位，得到的新的抛物线的函数表达式是_____________. 3.二次函数y=a+(m-5)的图象的顶点在x轴下方，求m的值. 4.已知二次函数y=x2+k的图象经过点P（-2，3）. （1）求二次函数的表达式； （2）画出此二次函数的图象； （3）若该二次函数图象的顶点为D，与x轴正半轴的交点为A，求△APD的面积. 参考答案 自主学习 1. 知识链接 1.向上 向下 （0,0） （0,0） y轴 y轴 减小 增大 增大 减小 2.y=2x+2 直线y=-2x-3是由直线y=-2x通过向下平移3个单位得到 1. 新知预习 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=ax2+k a＞0 开口向 上 y轴 （0，k） a＜0 开口向 下 y轴 （0，k） 练习：1.向上 y轴 （0，-3） 下 3 2.y=2x2+1 （0,1） ＞0 ＜0 =0 小 1 合作探究 1、 要点探究 探究点1：二次函数y=ax2+k的图象及平移 做一做： （1）填表如下： x ··· －1.5 －1 0 1 1.5 ··· y1=2x2 ··· 4.5 2 0 2 4.5 ··· y2=2x2+1 ··· 5.5 3 1 3 5.5 ··· （2）列表，连线如图①所示： （3） 当自变量x取同一数值时，函数值y2比y1大1. （4） 函数y2=2x2+1的图象上的每一点都在函数y1=2x2的图象上相应点的上方1个单位. 【典例精析】例1 C 【针对训练】（1）y=-x2+3 (2)y=x2-2 图① 图② 探究点2：二次函数y=ax2+k的图象和性质 观察 填表如下： 二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 y=2x2 向上 （0,0） y轴 当x＞ 0时，y随x的增大而增大； y=2x2+1 向上 （0,1） y轴 当x＜0时，y随x的增大而减小 做一做： 二次函数y=－x2，y=－x2-2，y=－x2+2的图象如图②所示. 观察与思考 （1）向下 （2）y轴（或直线x=0） (3)(0,2),(0,0),（0，－2） （4）高 大 y=2 y=0 y=－2 1. 对称轴左侧，y随x的增大而增大，对称轴右侧，y随x的增大而减小 【典例精析】例2 B 【针对训练】C 例3 D 【针对训练】D 二、课堂小结 上 y轴 （0，k） ＞0 ＜0 下 y轴 （0，k） ＜0 ＞0 上 下 当堂检测 1.②③④⑤ 2.（1）y=-2x2-3 （2）-0.5 -3 （3）y=x2+4 y=x2+1 3.解：由题意得m2-4m-3=2，且m-5＜0，则m=-1. 4.解：（1）把（-2，3）代入y=x2+k得4+k=3，解得k=-1， 所以二次函数的表达式为y=x2-1； （2）抛物线y=x2-1的顶点坐标为（0，-1），当y=0时，x2-1=0，解得x1=1，x2=-1，则抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（1，0），如图所示. （3）设直线PD的表达式为y=kx+b,将点（-2,3），（0，-1）代人得解得即直线PD的表达式为y=-2x-1.当y=0时，-2x-1=0,解得x=.设直线PD与x轴的交点为C，则C. ∴S△APD=S△APC+S△ADC==3. 学科网（北京）股份有限公司 $