26.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学导学案聚焦二次函数y=ax²的图象与性质，通过知识链接回顾一次函数、反比例函数的图象及描点法步骤，搭建新旧知识支架，引导学生从已有经验过渡到新知学习。 导学案通过画图象、对比观察、自主归纳等活动培养学生几何直观和推理意识，结合典例与实际应用问题提升模型意识，分层习题设计帮助学生巩固知识，促进自主学习与能力提升。

26.2 二次函数的图象与性质 1. 二次函数y=ax2的图象与性质 学习目标： 1.会用描点法画出二次函数y=ax2 的图象.（重点） 2.根据对特殊函数图象的观察，归纳得出二次函数y=ax2的性质.（难点） 3.进一步理解二次函数和抛物线的有关知识，并能解决一些简单的应用问题. 自主学习 1、 知识链接 1. 一次函数的图象是___________________,反比例函数的图象是_______________. 2. 用描点法画函数图象的步骤：_______________、___________、__________. 3. 下面是一次函数y=x-2的图象，根据图象，你能看出函数的哪些性质？ 合作探究 1、 要点探究 探究点1：二次函数y=ax2的图象 画一画 在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？ （1） 列表如下： x … -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2 … y=2x2 … … y=-2x2 … … （2）在如图所示的坐标系中，描点，连线： （3）观察函数y=2x2与y=-2x2的图象， 写出它们的共同点(至少填写三条）： ①：____________________________________________; ②：____________________________________________; ③：____________________________________________. 写出它们的不同点(至少填写三条）： ①：____________________________________________; ②：____________________________________________; ③：____________________________________________. 【要点归纳】函数y=ax2的图象是一条抛物线，它是轴对称图形，对称轴是y轴（或直线x=0）,抛物线与坐标轴的交点，叫做抛物线的顶点.其顶点坐标为（0,0）. 【典例精析】 例1 在同一直角坐标系中，画出函数，的图象． 【针对训练】 在同一直角坐标系中，画出函数，的图象． 【要点归纳】对于抛物线 y = ax2，当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点；且|a|越大，抛物线的开口越小. 练一练 1.函数的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ； 2.函数的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，顶点是抛物线的最 点； 探究点2：二次函数y=ax2的性质 观察与思考 图① 图② 问题1 如图①，观察二次函数y=x2的图象，y随x的变化如何变化？ 问题2 如图②，观察二次函数y=－x2的图象，y随x的变化如何变化？ 【自主归纳】 抛物线y＝ax2的性质 抛物线 y＝ax2 （a＞0） y＝ax2(a＜0) 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 【典例精析】 例2 已知正方形周长为x cm，面积为S cm2． （1）求S和x之间的函数关系式，并画出图象； （2）判断点（4,2），（8,4），（-4,1）是否在该函数的图象上. 例3已知是二次函数，且其图象开口向上，求m的值和函数表达式. 【针对训练】已知是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k= . 例4 已知二次函数y＝ax2. (1) 若a=2,点(-2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____ y2(填“> ”“＝”或“< ”)； (2)若a＞0,点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则 y1_____ y2(填“> ”“＝”或“< ”)； (3)若a＜0,点(－2，y1)与(3，y2)，(5，y3)在此二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是___________. 方法总结：二次函数y＝ax2中比较函数值的大小的方法： ① 直接代入法:将x的值分别代入函数表达式中,求出y值再比较大小,多用于a值确定的情况,如例4(1); ②性质判断法:结合二次函数的性质(增减性)及自变量x之间的大小关系,得出其对应y值的大小关系；多用于自变量x在对称轴同一侧的情况,如例4(2)； ③草图法：画出二次函数的草图,描点,根据图象直接判断y值的大小.多用于a值不确定且x值不在对称轴同侧的情况，如例4(3). 二、课堂小结 二次函数y＝ax2的图象及性质 画法 描点法→在对称轴两侧对称取点 图象 抛物线→轴对称图形 性质 1.开口方向及大小； 2.对称轴； 3.顶点坐标 4.增减性 当堂检测 1.抛物线y=5x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在对称轴的 侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的 侧,y 随着x的增大而减小,当x = 时,函数y的值最小,最小值是 . 2.抛物线位置在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的增大而 ；在对称轴的右侧,y随着x的增大而 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 ,当x 0时,y<0. 3.如图，观察函数y=(k－1)x2的图象，则k的取值范围是 . 4.已知抛物线y=ax2的图象经过点A（2，-8），求： （1）该抛物线的表达式； （2）判断点B（3，-18）是否在该抛物线上； （3）求出此抛物线上纵坐标是-50的点的坐标． 5.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … -4 -2 0 2 4 … y … 4 1 0 1 4 … （1） 在给定的坐标系中，画出该二次函数的图象； （2）求这个二次函数的表达式； （3）若A(x1，y1)，B(x2，y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0，则y1 y2. 参考答案 自主学习 1、 知识链接 1. 直线 双曲线 2. 列表 描点 连线 3. 解：①一次函数y=x-2的图象经过第一、三、四象限；②函数值y随x的增大而增大 合作探究 一、要点探究 探究点1：二次函数y=ax2的图象 画一画 （1）列表如下： x … -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2 … y=2x2 … 8 4.5 2 0 2 4.5 8 … y=-2x2 … -8 -4.5 -2 0 -2 -4.5 -8 … （2） 描点、连线如图①所示. 图① 图② 图③ （3） 相同点：①对称轴均为y轴 ②顶点坐标均为（0,0） ③开口大小相同 不同点：①开口方向不同； ②y=2x2的图象有最低点，y=-2x2的图象有最高点；③当x＜0时，y=2x2的图象呈下降趋势，y=-2x2的图象呈上升趋势 【典例精析】 例1 解：（1）列表如下： x … -3 -1 0 1 3 … y=x2 … 3 0 3 … x … -2 -1 0 1 2 … y=x2 … 4 1 0 1 4 … 描点、连线，如图②所示. 【针对训练】 解：（1）列表如下： x … -3 -1 0 1 3 … y=x2 … -3 0 -3 … x … -2 -1 0 1 2 … y=-x2 … -4 -1 0 -1 -4 … 描点、连线，如图③所示： 练一练 1.向上 y轴 （0,0） 2.向下 y轴 （0,0） 高 3.向上 y轴 （0,0） 低 4.向下 y轴 （0,0） 探究点2：二次函数y=ax2的性质 问题1 从二次函数y=x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大． 问题2 从二次函数y=-x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小． 【自主归纳】 抛物线 y＝ax2 （a＞0） y＝ax2(a＜0) 顶点坐标 （0,0） （0,0） 对称轴 y轴 y轴 位置 第一、二象限 第三、四象限 开口方向 向上 向下 增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大． 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小． 最值 最小值，为0 最大值，为0 【典例精析】例2 解：（1）由题意得S=（x＞0）.画函数图象略. （2）点（4,2），（-4,1）不在该函数图象上，点（8,4）在该函数图象上. 例3解: 依题意有由①得m>－1，解②得m1=－2，m2=1，∴ m=1，此时，二次函数的表达式为 y=2x2. 【针对训练】 2 例4 ＜ ＜ y1＞y2＞y3 当堂检测 1. （0,0） y轴 右 左 0 0 2.下方 增大 减小 0 ≠ 3.k＞1 4.解：（1）把点A（2，-8）代入y=ax2，得-8=a×22，解得a=-2，则抛物线的表达式为y=-2x2； （2）∵-2×32=-18，∴点B（3，-18）在该抛物线上； （3）由题意得，-2x2=-50，解得x=±5，∴此抛物线上纵坐标是-50的点的坐标为（5，-50）、（-5，-50）． 5.解：（1）画图象略； （2）由图象可设该二次函数为y=ax2,将点（2，1）代入得4a=1,解得a=.则该二次函数的表达式为y=x2. (3) > 学科网（北京）股份有限公司 $