26.2.2 第2课时 二次函数y=a（x-h）2的图象与性质（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学导学案聚焦二次函数y=a(x-h)²的图象与性质，通过知识链接复习直线平移和y=ax²+k的性质，引导学生列表描点画图并观察比较，构建从旧知到新知的学习支架。 导学案通过自主画图培养几何直观（数学眼光），合作探究推理平移规律提升推理意识（数学思维），典例与检测结合问题强化模型意识（数学语言），结构清晰助力自主学习，有效提升学习效率。

26.2 二次函数的图象与性质 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 学习目标： 1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.（重点） 2.掌握二次函数y=a(x-h) 2的性质.(难点） 3.比较函数y=ax2 与 y=a(x-h) 2的联系. 自主学习 一、知识链接 1.将直线y=2x向右平移1个单位，新直线的表达式为____________________. 2.抛物线y=ax2+k(a＜0，k＞0)的开口向______,对称轴为____________,顶点坐标为___________.将抛物线y=ax2向_____平移______个单位，可得到抛物线y=ax2+k. 思考：二次函数y=a(x-h)2的图象能否由y=ax2的图象通过平移得到? 二、新知预习 在如图①所示的直角坐标系中，画出函数y=2x2和y=2(x-1)2的图象． （1）列表: x ··· -2 -1 0 1 2 ··· y=2x2 ··· ··· y=2(x-1)2 ··· ···图① （2）描点、连线，画出这两个函数的图象． 观 察 根据所画出的图象，在下表中填出这两个函数的图象的开口方向、 对称轴和顶点坐标． x 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2x2 y=2(x-1)2 思 考 这两个函数的图象之间有什么关系？ 概 括 （1）通过观察、分析，可以发现：函数y＝2（x－1）2与y＝2x2的图象，开口方向相同，但对称轴和顶点坐标不同． 函数y＝2（x－1）2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线_____，顶点坐标是（_____，_____）． （2）可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2（x－1）2的性质： 当______时，函数值随x的增大而减小；当_____时，函数值随x的增大而增大；当_____时，函数取得最______值，最______值y＝______． 合作探究 1、 要点探究 探究点1：二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 问题 在图②所示的坐标系中画出二次函数，的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.图② 想一想 通过上述例子，函数y=a(x-h)2的性质是什么？ 【要点归纳】二次函数y=a(x-h)2(≠0)的性质 当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，0)，当x=h时，有最小值为0.当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. 当a＜0时，抛物线开口方向向下，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，0)，当x=h时，有最大值为0.当x＜h时，y随x的增大而增大；x＞h时，y随x的增大而减小. 【典例精析】图③ 例1 已知二次函数y＝（x﹣1）2. （1）完成下表； x … -1 0 1 2 3 … y＝（x﹣1）2 … … （2）在图③所示的坐标系中描点，画出该二次函数的图象． （3）写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （4）当x取何值时，y随x的增大而增大？ （5）若3≤x≤5，求y的取值范围； 想一想：若-1≤x≤5，求x的取值范围； （6）若抛物线上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1＜x2＜1，试比较y1与y2的大小． 探究点2：二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系 问题 在图②中画出y=-x2的图象，比较二次函数，y=-x2，的图象，说一说他们之间有什么关系. 【要点归纳】二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系 y=ax2向右平移 h（h>0）个单位得到y=a(x-h)2； y=ax2向左平移 h（h>0）个单位得到y=a(x+h)2. 左右平移规律：括号内左加右减，括号外不变. 【典例精析】 例2将抛物线y=x2向左平移2个单位后，得到的新抛物线的表达式是（　　） A．y＝(x+2)2 B．y=x2+2 C．y=(x−2)2 D．y=x2−2 【针对训练】由抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x-3）2，则下列平移方式可行的是（　　） A． 向上平移3个单位 B．向下平移3个单位 B． 向左平移3个单位 D．向右平移3个单位 例3已知二次函数y=x2，将其图象向右平移，使图象过点（1，3），求平移后的抛物线的表达式. 【针对训练】将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点 （1，-6），求的值． 2、 课堂小结 二次函数y=a(x－h)2(a≠0)的图象和性质 图象的特点 a>0 开口向_____， 对称轴是_________， 顶点坐标是_________. 当x______时，y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小 a<0 开口向_____， 对称轴是_________， 顶点坐标是_________. 当x______时，y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小 平移规律 括号内左加右减；括号外不变.即h_____0,向左平移，h____0，向右平移 当堂检测 1. 抛物线y=（x+1）2的对称轴是（　　） A．直线y=-1 B．直线y=1 C．直线x=-1 D．直线x=1 2.已知二次函数y= -（x-3）2，那么这个二次函数的图象有（　　） A．最高点（3，0） B．最高点（-3，0） C．最低点（3，0） D．最低点（-3，0） 3.把函数y=-3x2的图象向右平移2个单位，所得到的新函数的表达式是（　　） A．y=-3x2-2 B．y=-3（x-2）2 C．y=-3x2+2 D．y=-3（x+2）2 4.已知函数y=-（x-2）2的图象上两点A（a，y1），B（1，y2），其中a＜1，则y1与y2的大小关系为（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．无法判断 5.抛物线y=a（x+h）2的顶点为（2，0），它的形状与y=3x2相同，但开口方向与之相反． （1）直接写出抛物线的表达式； （2）求抛物线与y轴的交点坐标． 6. 将y=x2图象先向右平移3个单位所得的函数记为y1． （1）写出y1的顶点坐标与函数表达式． （2）画出这个函数的大致图象，并利用图象判断: ②当1≤x≤3时，求x的取值范围． ①当-2≤x＜5时，求y1的取值范围； 参考答案 自主学习 1、 知识链接 1.y=2(x-1) 2.下 y轴 （0,k） 上 k 二、新知预习 解：（1）列表如下: x ··· -2 -1 0 1 2 ··· y=2x2 ··· 8 2 0 2 8 ··· y=2(x-1)2 ··· 18 8 2 0 2 ··· （2）描点、连线，画出这两个函数的图象． 观察 x 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2x2 向上 y轴 (0,0) y=2(x-1)2 向上 直线x=1 (1,0) 概括 （1） 右 1 直线x=1 1 0 （2） ＜1 ＞1 =1 小 小 0 合作探究 一、要点探究 探究点1：二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 问题 解：二次函数，的图象如图②所示. 图② 图③ 二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线x=-1,顶点坐标为（-1,0），二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x=1,顶点坐标为（1,0）. 【典例精析】 例1 解：（1）填表如下： x … -1 0 1 2 3 … y＝（x﹣1）2 … 2 0 2 … （2）描点，画出该二次函数图象如图③所示： （3）对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,0). （4）当x＞1时，y随x的增大而增大. （5）∵当x＞1时，y随x的增大而增大，当x=3时，y=2；当x=5时，y=8，∴当3≤x≤5时，y的取值范围为2≤y≤8. 想一想 ∵当-1≤x≤5时，y的最小值为0，∴当-1≤x≤5时，y的取值范围是0≤y≤8. （6）∵当x＜1时，y随x的增大而减小，∴当x1＜x2＜1时，y1＞y2. 探究点2：二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系 问题 解：如图所示.由图象可知，抛物线y=-x2向左平移一个单位，得到抛物线 ，抛物线y=-x2向右平移一个单位，得到抛物线. 【典例精析】例2 A 【针对训练】D 例3解：由题意得平移后的抛物线的表达式为y=(x-h)2，其中h＞0.将点（1,3）代入，得3=（1-h）2，解得h=4或-2.∵h＞0，∴h=4.则平移后的抛物线的表达式为y=(x-4)2. 【针对训练】：由题意得平移后的抛物线的表达式为y=a(x+2)2.将点（1，-6）代入得-6=9a,解得a=. 二、课堂小结 上 直线x=h (h，0） ＞h ＜h 下 直线x=h (h，0） ＜h ＞h ＜0 ＞0 当堂检测 1. C 2.A 3.B 4.B 5.解：（1）∵抛物线y=a（x+h）2的顶点为（2，0），∴-h=2，∴h=-2.∵抛物线y=a（x+h）2的形状与y=3x2的相同，开口方向相反，∴a=-3，则该抛物线的函数表达式是y=-3（x-2）2． （2）在函数y=-3（x-2）2中，令x=0，则y=-12，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，-12）． 6.解：(1)函数y1的顶点坐标为（3,0），函数表达式为y=(x-3)2. (2)画函数图象略.①函数y1的对称轴为直线x=3,此时函数y1有最小值0.当1≤x≤3时，y1随x的增大而减小，则当x=1时，y1取得最大值，此时y1=4.所以当1≤x≤3时，0≤y1≤4. ②当-2≤x＜5时，易知函数的最小值为0.在-2≤x＜3时，y1随x的增大而减小，则当x=-2时,y1有最大值，此时y1=25.当3＜x＜5时,y1随x的增大而增大，当x=5时，y1=4.综上可知，当-2≤x＜5时，y1的取值范围是0≤y1≤25. 学科网（北京）股份有限公司 $