26.1 二次函数（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学导学案聚焦二次函数概念及实际模型抽象，通过知识链接回顾函数、一次函数、反比例函数，建立新旧知识联系，新知预习明确定义并设计辨析练习，搭建从旧知到新知的学习支架。 以矩形花圃、商品利润等实际问题为载体，引导学生用数学眼光抽象数量关系，培养抽象能力和模型意识。合作探究通过填表、列关系式等活动发展推理能力，当堂检测分层巩固，助力学生理解二次函数本质，提升应用意识。

第26章 二次函数 26.1 二次函数 学习目标： 1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点） 2.会利用二次函数的概念解决相关问题. 3.能从实际问题中抽象出二次函数模型.（难点） 自主学习 一、知识链接 1.（1）若在一个变化过程中有两个变量x 和y，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的_________，x 叫做______________. （2）形如y=_____________(______≠0)的函数是一次函数，当b= 0 时，它是_______________函数；形如y=_____________(______≠0)的函数是反比例函数. 2.用含a的代数式填空： （1）矩形ABCD的宽为a cm,长比宽的2倍多1 cm,则矩形的长为______________cm,矩形的面积 S=_____________cm2； （2）某商店销售一种水果，进价为3元/kg，售价为a元/kg,每天可销售20 kg,则一天的销售额为___________元，利润为____________元. 二、新知预习 （预习课本P2-4）填空并完成练习： 形如y=___________________(a,b,c是常数，____≠0）的函数叫做二次函数. 练习：下列函数中，是二次函数的有______________(填序号）： ①S=2x2-x+3;②y-x2=0；③y=x2+;④y=ax2+bx+c;⑤y=(x+2)(x-2)-x2. 合作探究 1、 要点探究 探究点1：二次函数的定义 问题1：如图，总长为20 m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃．怎样围才能使花圃的面积最大？ （1） 填表： AB的长x(m） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC的长(m） 12 面积y(m2) 48 （2） 设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为x m，则BC的长为___________m（用含x的代数式表示）; （3）x的取值范围为_______________________; （4）我们发现，当AB的长（x）确定后，矩形的面积（y）也就随之确定，即y是x的函数，试写出这个函数的关系式:_____________________. 问题2 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可售出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? (1)设每件商品降价x元，则一天的销量增加______件，一天的销量为___________件（用含x的代数式表示）此时每件商品的售价为________元，每件商品的利润为_________元； (2)写出x 的取值范围：_______________________; (3)设每天的利润为y元，易知y是x的函数，试写出这个函数的关系式:_____________________. 思考：观察所得的两个函数关系式，他们有什么共同点？ 它们都是用自变量的 来表示的． 【要点归纳】二次函数的概念： 形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．ax2叫做二次项，a为二次项系数；bx叫做一次项， b为一次项系数；c为常数项 , 注意：（1）关系式都是整式；（2）自变量的最高次数是二次；（3）二次项系数不等于零. 【典例精析】 例1 当函数y=（a-1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（　　） A．a=1 B．a=-1 C．a≠-1 D．a≠1 【针对训练】当m取哪些值时，函数y=(m2-m)x2+mx+m+1是以x为自变量的二次函数？ 易错提醒：解决此类问题需要注意二次项系数a≠0这一限制条件. 探究点2：从实际问题中抽象出二次函数模型 例2 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米． （1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）若墙的最大可用长度为9米，求此时自变量x的取值范围． 分析：根据题意和图形，可得两个等量关系： ①S=AB× ;②BC+ AB=24. 则当AB=x时，BC= ； 由AB＞0可知x ;由_______＞0可知x＜ . 易错提醒：在根据实际问题列二次函数关系式时，要注意自变量的取值范围 【针对训练】写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类型的函数． （1）写出圆的面积y（cm2）与它的直径x（cm）之间的函数关系式； （2）菱形的两条对角线的和为26 cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系式． 二、课堂小结 二次函数的定义 形式 相关概念 判别方式 y=__________(a≠0，a，b，c是常数) ax2叫做 ， 为二次项系数；bx叫做 ，___为一次项系数；c为 . 右边是整式； 自变量的最高次数是2； 二次项系数不等于0. 从实际问题中抽象二次函数模型 ①找：找等量关系； ②列：用含自变量的代数式表示相关量，再根据等量关系列出函数关系式； ③定：确定自变量的取值范围 当堂检测 1. 下列函数中是二次函数的是（　　） A.y= B.y=（x+3）2-x2 C．y= D.y=x（x-1） 2.为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是（　　） A．y=a（1+x）2 B．y=a（1-x）2 C．y=（1-x）2+a D．y=x2+a 3.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品的售价为x元，则可卖出（350-10x）件，销售这批商品所得利润y（元）与售价x（元/件）的函数关系式为 . 4.已知y=（m-2）+3x+6是二次函数，求出它的表达式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项． 5. 某批发市场批发某种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润 y（万元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y=ax2+bx（其中a≠0，a，b为常数，x≥0），且进货量x为1吨时，销售利润y为1.4万元；进货量x为2吨时，销售利润y为2.6万元．求y（万元）与x（吨）之间的函数关系式． 参考答案 自主学习 1、 知识链接 1.（1）函数 自变量 （2）kx+b k 正比例 k 2.(1)(2a+1) a(2a+1) (2)20a 20（a-3） 二、新知预习 ax2+bx+c a 练习：①② 合作探究 一、要点探究 探究点1：二次函数的定义 问题1 （1）填表如下： AB的长x(m） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC的长(m） 18 16 14 12 10 8 6 4 2 面积y(m2) 18 32 42 48 50 48 42 32 18 （2） （20-2x） （3） 0＜x＜10 （4） y=x（20-2x）=-2x2+20x(0＜x＜10) 问题2 （1）100x （100+100x） (10-x) (10-x-8) (2)0≤x≤2 （3）y= (10-x-8)（100+100x）=-100x2+100x+200(0≤x≤2) 思考 二次整式 【典例精析】例1 D 【针对训练】解：由题意得m2-m≠0，则m≠0且m≠1. 探究点2：从实际问题中抽象出二次函数模型 【典例精析】例2 分析：BC（或AD） 3 24-3x ＞0 BC 8 解：（1）S=BC×AB=（24-3x）x=-3x2+24x.由题意得24-3x＞0，解得x＜8，则自变量x 的取值范围为0＜x＜8.             （2）由题意得24-3x≤9，解得x≥5.由（1）知0＜x＜8，则5≤x＜8． 【针对训练】 解：（1）y=,二次函数. （2）S=，二次函数. 二、课堂小结 ax2+bx+c 二次项 a 一次项 b 常数项 当堂检测 1.D 2.A 3.y=-10x2+560x-7350 4.解：由题意可知解得m=-1.当m=-1时，二次函数为y=-3x2+3x+6，其二次项系数为-3，一次项系数为3，常数项为6. 5.解：由题意得解得∴y（万元）与x（吨）之间的函数关系式为y=-0.1x2+1.5x． 学科网（北京）股份有限公司 $