26.2.2 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学导学案聚焦二次函数一般式转化为顶点式及性质，通过知识链接复习配方法和顶点式性质，如填空练习与回顾y=a(x-h)²+k的开口方向等，搭建新旧知识桥梁形成学习支架。 特色在于自主预习与合作探究结合，通过填空、例题解析培养抽象能力和运算能力，探究字母系数与图象关系发展推理意识，当堂检测和能力提升题强化应用意识，符合新课标核心素养，助力学生掌握数学思维与表达。

26.2 二次函数的图象与性质 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 学习目标： 1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点） 2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点） 自主学习 一、知识链接 1.填空： （1）x2+6x+10=（x+_____）2+___________; （2）x2-4x-6=（x-_____）2+___________; （3）3x2+8x-4=3（x+_____）2+___________; （4）x2-3x+1=（x-_____）2+___________. 2. (1)抛物线y=(x-2)2+3的开口向________,对称轴为直线___________,顶点坐标为_________,当x=_____, 二次函数y=(x-2)2+3有最_____值，为______. (2)抛物线y=-3(x+3)2+1的开口向________,对称轴为直线___________,顶点坐标为_________,当x_________时，y随x的增大而减小. 思考：二次函数y=x2+2x+3的开口方向、对称轴、顶点坐标，如何确定呢？ 二、新知预习 填空并完成练习 1.说一说抛物线y=x2+2x+3并说出其开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性. （1） y=x2+2x+3=（x+_____）2+________; （2） 抛物线y=x2+2x+3的开口向___________,对称轴为___________,顶点坐标为_________.当x _________时，y随x的增大而增大，当_________时，y随x的增大而减小. 2.通过配方， 说明二次函数y=-2x2+4x-1的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标. （1）y=-2x2+4x-1=-2（x2-_______）-1=-2(x2-2x+____-____)-1=-2(x-____)2+________. （2）抛物线y=-2x2+4x-1的开口向___________,对称轴为___________,顶点坐标为_________. （3）这个函数有最_____值（填“大”或“小”），其值为_________. 【自主归纳】对于抛物线y=ax2+bx+c,可以先将抛物线通过_______，将其转化为y=a(x-h)2+k的形式，再确定抛物线的对称轴、顶点坐标及其他性质. 练习：写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点 （1） y=-x2+2x-5； （2）y=8x2-48x+30. 合作探究 1、 要点探究 探究点1：将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x－h)2+k 想一想 （1）请将化成y=a(x－h)2+k的形式，并说一说配方的方法及步骤； （1）提出________系数，注意括号内的符号变化 (2)括号内配成完全平方 (3)化成y=a(x－h)2+k的形式 （2）如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x－h)2+k？ 【要点归纳】将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x－h)2+k，则y=a(x+_______)2+_________. 练一练 将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并指出其顶点坐标． （1）y=-3x2-2x+1； （2）y=x2-x+6． 探究点2：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 说一说 （1）抛物线的对称轴、顶点坐标； （2）求抛物线y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标的一般步骤； （3）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标. 【要点归纳】 一般地，二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即y=ax2+bx+c=_________; 因此，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是_____________;对称轴是直线______________; 如果a>0，当x< _________时，y随x的增大而减小；当x> _________时，y随x的增大而增大. 如果a<0，当x<________时，y随x的增大而增大；当x>_________时，y随x的增大而减小. 【典例精析】 例1 已知二次函数y＝x2﹣6x+5． （1）将y＝x2﹣6x+5化成y=a(x-h)2+k的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而减小？ 探究点3：二次函数字母系数与图象的关系（拓展） 问题 二次函数的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空（填“＞”“＜”或“＝”）. ①a1 0，b1 0，c1 0； ② a2 0，b2 0，c2 0； ③a3 0，b3 0，c3 0； ④ a4 0，b4 0，c4 0. 【要点归纳】二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a，b，c的关系如下： ①a＞0开口向上，a＜0开口向下；b=0对称轴为y轴； ②a、b同号对称轴在y轴的左侧，a、b异号对称轴在y轴的右侧； ③c=0图象经过原点；c＞0与y轴交于正半轴，c＜0与y轴交于负半轴. ④当x=±1时，y=a±b+c,当x=±2时，y=4a±2b+c. 【典例精析】 例2 二次函数y=-ax2+bx+c（a≠0）的图象如图①所示，则下列结论中，正确的是（　　） A．a＜0 B．b＞0 C．c＞-1 D．4a+c＞2b 图① 图② 【针对训练】已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图②所示，下列结论： ①abc＞0；②2a+b＜0；③a-b+c＜0；④a+c＞0；其中正确的说法有 （写出正确说法的序号）． 2、 课堂小结 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象和性质 顶点式 y=_____________________ 图象和性质 a＞0 a＜0 顶点坐标：__________________ 对称轴：直线________________ 开口向____________ 开口向____________ 最_____值为________ 最_____值为________ 当x_______时，y随x的增大而增大，当x_________时，y随x的增大而减小 当x_______时，y随x的增大而增大，当x_________时，y随x的增大而减小 当堂检测 1. 抛物线y=x2+4x+7的对称轴是（　　） A．直线x=4 B．直线x=-4 C．直线x=2 D．直线x=-2 2.二次函数y=x2-6x图象的顶点坐标为（　　） A．（3，0） B．（-3，-9） C．（3，-9） D．（0，-6） 3.将抛物线y=x2-2x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的表达式是 . 4.二次函数y=-x2+4x+1的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是 . 5.将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并指出其开口方向、顶点坐标、对称轴及最值． （1）y=2-4x-x2； （2）y=x2-3x-4； （3）y=2x2-3x； （4）y=-x2+6x-7. 5.已知抛物线y=2x2-12x+13. （1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？ （2）当x为何值时，y随x的增大而减小; （3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，请直接写出新抛物线的表达式. 能力提升 6.一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象是（　　） 参考答案 自主学习 一、知识链接 1.(1)3 1 (2)2 (-10) (3) (4)3 2.(1)上 x=2 (2,3) 2 小 3 （2）下 x=-3 (-3,1) ＞-3 二、新知预习 1.（1）1 2 （2）上 直线x=-1 (-1,2) ＞-1 ＜-1 2.（1）2x 1 1 1 1 (2) 下 直线x=1 (1,1) (3)大 1 【自主归纳】配方 练习：解：（1）y=-x2+2x-5=-（x-1）2-4.开口向下， 对称轴为直线x=1,顶点坐标为（1，-4）. （2）y=8x2-48x+30=8（x-3）2-42.开口向上， 对称轴为直线x=3,顶点坐标为（3，-42）. 合作探究 探究点1：将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x－h)2+k 想一想 （1）6 6 9 9 3 3 二次项 （2）y=ax²+bx+c= 【要点归纳】 练一练 解：（1）y=-3x2-2x+1==,则其顶点坐标为. （2）y=x2-x+6==，则其顶点坐标为（2,5）. 探究点2：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 说一说 解：（1）对称轴为直线x=3,顶点坐标为. （2） 先将抛物线y=ax2+bx+c通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，再根据y=a(x-h)2+k的图象和性质，判断抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标和对称轴. （3）抛物线y=ax2+bx+c，易知其对称轴为直线，顶点坐标为. 【要点归纳】 【典例精析】 例1 解：（1）y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4； （2）二次函数的图象的对称轴是x＝3，顶点坐标是（3，﹣4）； （3）∵抛物线的开口向上，对称轴是x＝3，∴当x≤3时，y随x的增大而减小． 探究点3：二次函数字母系数与图象的关系（拓展） 问题 ①＞ ＞ ＞ ②＞ ＜ = ③＜ = ＞ ④ ＜ ＞ ＜ 例2 D 【针对训练】②④ 二、课堂小结 上 下 小 大 ＞ ＜ ＜ ＞ 当堂检测 1.D 2.C 3.y=x2-2 4.x＞2 5.解：（1）y=-x2-4x+2=-（x+2）2+6，开口向下，对称轴为直线x=-2，顶点坐标为（-2，6）， 最大值为6. （2）y=x2-3x-4=（x-）2-，开口向上，对称轴为直线x=，顶点坐标为（，-）， 最小值为-. （3）y=2x2-3x=2（x-）2-，开口向上，对称轴为直线x=，顶点坐标为（，-）， 最小值为-. (4)y=-x2+6x-7=-（x-4）2+5，开口向下，对称轴为直线x=4，顶点坐标为（4，5）， 最大值为5. 5.解：∵y=2x2-12x+13=2(x2-6x+9)-5=2(x-3)2-5，∴抛物线开口向上，顶点为(3，-5)，对称轴为直线x=3. （1）当x=3时，y有最小值，最小值为-5； （2）当x＜3时，y随x的增大而减小； （3）新抛物线的表达式为y=2(x-5)2-3． 能力提升 6.D 学科网（北京）股份有限公司 $