27.2.3 第3课时 切线长定理及三角形的内切圆（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学导学案聚焦切线长定理及三角形的内切圆，通过知识链接复习切线判定与性质、三角形外接圆等旧知，新知预习引入切线长定义与定理，构建新旧知识支架，引导学生逐步深入。 特色在于“做一做”折纸操作培养几何直观，推理验证与典例分析发展推理能力，知识拓展推导面积与内切圆半径关系渗透模型意识，习题分层设计助力学生巩固提升，有效落实数学核心素养。

27.2 与圆有关的位置关系 3. 切线 第3课时 切线长定理及三角形的内切圆 学习目标： 1.掌握切线长的定义及切线长定理. 2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（难点） 3.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心的性质.（重点） 自主学习 一、知识链接 1.圆是轴对称图形，它的对称轴是____________________. 2.（1）切线的判定定理:____________________________________________________________. (2)切线的性质定理:____________________________________________________________. 3.三角形的外接圆是指__________________________________________;其外心是三角形______________ ______________的交点，其到三角形______________的距离相等. 4.角平分线的判定定理:____________________________________________________________； 角平分线的性质定理:____________________________________________________________. 思考： 过☉O外的一点，能作☉O的几条切线？ 二、新知预习 （预习课本P52-54）填空并完成练习： 1.圆的切线上某一点与______之间的线段长， 叫做这点到圆的切线长. 2.切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的_____________相等.这一点和圆心的连线______这两条切线的夹角. 3.与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的________,三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的_________.这个三角形叫做这个圆的__________.三角形的内心是三角形三条__________的交点. 练习：. 1. 如图，P为圆O外一点，PA、PB分别切圆O于A、B两点，若PA=3，则PB=（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 第1题图 第2题图 第3题图 2. 如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，∠APB=50°，则∠AOP=__________． 3.如图，I是△ABC的内心，∠ABC=60°，则∠AIC=__________． 合作探究 1、 要点探究 探究点1：切线长定理 做一做 在纸上画一个圆，在圆外任选一点P，过点P作圆的切线.沿着直线PO将纸张对折，设点A的对应点为点B，连结PB. 问题1 PB是☉O的切线吗？请简要说明理由. 问题2 PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？ 【要点归纳】1.切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长． 2.切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线 的夹角. 推理验证 已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.求证：PA=PB，∠APO=∠BPO. 想一想：若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. 【典例精析】 例1 如图①，AB、AC是⊙O的切线，且∠A=54°，则∠BDC=__________． 图① 图② 【针对训练】如图②，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD=2，∠DAC=∠DCA，则CE=__________． 例2 如图所示，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E．若△PDE的周长为12，求PA的长. 探究点2：三角形的内切圆及内心 概念学习：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. 问题1 如分别过点O作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段OE、OF、OG之间有什么关系？ 问题2 如图，☉O是△ABC的内切圆，那么线段OA、OB、OC有什么特点？ 做一做 已知△ABC，作和△ABC的各边都相切的圆. 【典例精析】 例3 如图，△ABC中，∠ B=43°，∠C=61 °，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数. 例4 △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF、BD、CE的长. 知识拓展 （1）设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？ 解：由三角形内心的性质可知______=______=______=r. 由图形可知，S=S△AOB+S△AOC+S△BOC=________+______+______ =(_____+_____+_____）r=Lr. （2）直角三角形的两直角边长分别是a、b,斜边长为c，则其内切圆的半径r为___________（以含a、b、c的代数式表示r）. 方法一：面积法：由（1）中的结论，可知(a+b+c)r=____________,则r=________________. 方法二：切线长定理：由切线长定理可知AD=AC -DC=________,BE=BC -CE=________, 因为AF=________，BF=________，AF+________=c,所以_______+________=c, 则r=________. 二、课堂小结 切线长 定义 切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长． 切线长定理 定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角. 辅助线作法 ①分别连结圆心和切点；②连结两切点；③连结圆心和圆外一点. 三角形的内切圆 有关概念 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆， 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. 应用 运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程. 当堂检测 1.下列关于三角形的内心说法正确的说法为（　　） A.内心是三角形三个角平分线的交点 B.内心是三角形三边中垂线的交点 C.内心到三角形三个顶点的距离相等 D．钝角三角形的内心在三角形外 2.如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为_______. 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图所示，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列说法：①PA=PB，②∠1=∠2，③OP垂直平分线段AB，其中正确说法的序号是____________. 4.如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=10，CD=12，则四边形ABCD的周长为_______. 5.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=60°． （1）求∠BAC的度数； （2）当OA=2时，求AB的长． 6.如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，且∠C=90°，AB=13，BC=12． （1）求BF的长； （2）求⊙O的半径r． 参考答案 自主学习 1、 知识链接 1.直径所在的直线 2.（1）经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 （2）圆的切线垂直于经过切点的半径 3.经过三角形三个顶点的圆 三边的垂直平分线 三个顶点 4.到角两边距离相等的点在角的平分线上 角平分线上的点到角两边的距离相等 二、新知预习 1.切点 2.切线长 平分 3.内切圆 内心 外切三角形 角平分线 练习：1.B 2.65° 3.120° 合作探究 一、要点探究 探究点1：切线长定理 做一做 解：PB如图所示. 问题1 解：PB是☉O的切线，理由如下：连结OA，OB.由折叠可知∠PAO=∠PBO.∵PA是☉O的切线，∴∠PAO=90°.∴∠PBO=90°.∵OB是☉O的半径，∴PB是☉O的切线. 问题2 解：PA=PB，∠APO=∠BPO. 推理验证：证明：∵PA切☉O于点A，∴ OA⊥PA.同理可得OB⊥PB.∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP.∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 想一想 解：OP垂直平分AB.证明：∵PA、PB是⊙O的切线，点A、B是切点，∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.∴OP垂直平分AB. 【典例精析】例1 63° 【针对训练】2 例2 解：∵PA、PB分别和⊙O切于A、B两点，∴PA=PB.∵DE是⊙O的切线，∴DA=DC，EB=EC.∵△PDE的周长为12，∴PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+AD+EB+PE=PA+PB= 2PA=12.∴PA=6． 探究点2：三角形的内切圆及内心 问题1 解：OE=OF=OG． 问题2 解：线段OA、OB、OC 分别是∠A、∠B、∠C的平分线． 做一做 解：作法： 1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O； 2.过点O作OD⊥BC，垂足为D； 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. ☉O就是所求的圆. 【典例精析】例3 解：连结IB、IC.∵点I是△ABC的内心，∴IB、IC分别是∠ B、∠C的平分线，在△IBC中，∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（43°+61°）=128°. 例4 解：设AE=x，则AF=x，CD=CE =AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x. 由 BD+CD=BC，得 (13-x)+(9-x)=14，解得x=4.∴ AF=4，BD=5，CE=9. 知识拓展 （1） OE OF OG AB·OE AC·OF BC·OG AB AC BC （2） 或 ab b-r a-r AD BE AF BF a-r b-r 当堂检测 1. A 2.70° 3.①②③ 4. 44 5.解：（1）∵PA、PB是⊙O的切线，∴AP=BP，∠PAC=90°. ∵∠P=60°，∴∠PAB=60°. ∴∠BAC=90°-60°=30°． （2）连结OP，则在Rt△AOP中，OA=2，∠APO=30°，∴OP=4，由勾股定理得AP＝2. ∵AP=BP，∠APB=60°，∴△APB是等边三角形. ∴AB＝AP＝2． 6.解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=13，BC=12，∴AC===5． ∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴BD=BF，AD=AE，CF=CE． 设BF=BD=x，则AD=AE=13-x，CF=CE=12-x．∵AE+EC=5，∴13-x+12-x=5．∴x=10． ∴BF=10． （2）连结OE、OF，∵OE⊥AC，OF⊥BC，∴∠OEC=∠C=∠OFC=90°．∴四边形OECF是矩形．∴OE=CF=BC -BF=12-10=2，即r=2． 学科网（北京）股份有限公司 $