26.2.2 第3课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学导学案聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质，引导学生掌握其画法、性质及与y=ax²的联系。通过知识链接复习y=ax²等旧知，结合平移问题搭建学习支架，帮助学生建立前后知识脉络。 资料以自主学习与合作探究为核心，通过描点画图、问题驱动培养学生几何直观和推理意识，典例与检测题设计注重应用，助力学生理解性质并解决实际问题，有效提升数学思维与应用能力。

26.2 二次函数的图象与性质 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 学习目标： 1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象. 2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会应用.(重点） 3.理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系.（难点） 自主学习 一、知识链接 1.分别说说下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况. 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 y=-x2 y=2x2+3 y= -(x+2)2 2.将抛物线y=x2向下平移2个单位，得到的抛物线的表达式为 ;将抛物线y=x2向右平移2个单位得到抛物线的表达式为 . 思考：将抛物线y=x2向下平移2个单位,再向右平移2个单位得到的抛物线有怎样的表达式？ 二、新知预习图① 1.在图①所示的坐标系中画出二次函数y=x2-2,y=(x-2)2,y=(x-2)2-2的图象. 2.结合图象，填空： (1)抛物线y=(x-2)2-2的开口向__________，对称轴为______________， 顶点坐标为_____________； (2)抛物线y=(x-2)2-2，当x_____时，y随x的增大而增大，当x_____时，y随x的增大而减小； (3)抛物线y=(x-2)2-2的可看作由抛物线y=x2-2向____平移_______个单位得到， 也可以看作由抛物线y=(x-2)2向____平移_______个单位得到. 练习：. 1.抛物线y=2（x+1）2-2的对称轴是（　　） A．直线x=1 B．直线x=-1 C．直线x=2 D．直线x=-2 2.抛物线y=-3（x-1）2+3的顶点坐标是（　　） A．（-1，-3） B．（-1，3） C．（1，-3） D．（1，3） 合作探究 1、 要点探究 探究点1：二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质 画一画 在图②所示的坐标系中画出二次函数的图象. 图② 问题1 说一说二次函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 问题2 观察图象，当x满足什么条件时，y随x的增大而增大？ 议一议 观察图①和图②，说一说二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质. 【要点归纳】二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)的性质 当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，k)，当x=h时，y有最小值为k.当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. 当a＜0时，抛物线开口方向向下，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，k)，当x=h时，y有最大值为k.当x＜h时，y随x的增大而增大；x＞h时，y随x的增大而减小. 【典例精析】 例1 二次函数y＝﹣2(x-1)2﹣4，下列说法正确的是( ) A．开口向上 B．对称轴为直线x＝-1 C．顶点坐标为(1，4) D．当x＜1时，y随x的增大而增大 【针对训练】已知抛物线y=（x+2）2-1． （1）求它的顶点坐标和对称轴； （2）在给出的坐标系中，画出函数y=（x+2）2-1的图象； （3）结合图象回答：当x在什么范围时，y随x的增大而减小？ 例2 如图，抛物线y=-（x-1）2+4与y轴交于点C，顶点为D． （1）求顶点D的坐标． （2）求△OCD的面积． 探究点2：二次函数y=a(x－h)2+k与y=ax2的关系 观察与思考 （1）观察图中画出的二次函数y=x2，y=x2-2,y=(x-2)2,y=(x-2)2-2的图象，填空： (2)说一说如何由抛物线y=x2平移得到抛物线y=(x-2)2-2？ 【要点归纳】二次函数y=ax2与y=a(x－h)2+k的关系 上下平移，括号外上加下减，括号内不变；左右平移，括号内左加右减，括号外不变.二次项系数a不变. 例3 将抛物线y=2x2向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线的表达式为（　　） A．y=2（x-4）2-1 B．y=2（x+4）2+1 C．y=2（x-4）2+1 D．y=2（x+4）2-1 【针对训练】将抛物线y＝5（x﹣1）2+1向上平移2个单位，再向右平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（　　） A．y＝5（x+2）2+3 B．y＝5（x﹣4）2﹣1 C．y＝5（x﹣4）2+3 D．y＝5（x﹣3）2+4 二、课堂小结 二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)的图象和性质 图象的特点 a>0 开口向_____， 对称轴是_________， 顶点坐标是_________. 当x______时，y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小 a<0 开口向_____， 对称轴是_________， 顶点坐标是_________. 当x______时，y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小 平移规律 左右平移：括号内左加右减；上下平移：括号外上加下减. 当堂检测 1.二次函数y=-（x+3）2+2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（　　） A． 向下，直线x=3，（3，2） B．向下，直线x=-3，（3，2） C．向上，直线x=-3，（3，2） D．向下，直线x=-3，（-3，2） 2.已知二次函数y=2（x-1）2+3的图象经过平移以后得到新的二次函数为y=2（x+1）2-1，则原图象经过了怎样的平移（　　） A．向左平移2个单位；向下平移2个单位 B．向右平移2个单位；向下平移2个单位 C．向左平移2个单位；向下平移4个单位 D．向右平移2个单位；向上平移2个单位 3.已知函数图象如图所示，根据图象可得： （1）抛物线顶点坐标__________； （2）对称轴为__________； （3）当x=_______时，y有最大值是______； （4）当_______时，y随着x的增大而减小． 4.已知二次函数y=+1，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x=-；③其图象顶点坐标为；④当x＜时，y随x的增大而减小，其中说法正确的有_______(填序号）. 5. 已知二次函数y=-（x-1）2+1． （1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2） 若（x1，m），(x2，n)是抛物线上的两点，且x1＜x2＜0，则m____n(填“＞”“＜”或“＝”); （3）若将此图象沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移1个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式． 6. 如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A． （1）求点M、A的坐标； （2）连结AM、OM，求∠AOM的正切值． 参考答案 自主学习 1、 知识链接 1. 填表如下： 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 y=-x2 向下 y轴 (0,0) 最大值为0 y=2x2+3 向上 y轴 （0,3） 最小值为3 y= -(x+2)2 向下 直线x=-2 （-2,0） 最大值为0 2.y=x2-2 y=（x-2）2 二、新知预习 1.解：二次函数y=x2-2,y=(x-2)2,y=(x-2)2-2的图象如图①所示. 图① 图② 2.（1）上 直线x=2 (2,-2) (2)x＞2 ＜2 （3）右 2 下 2 练习：1.B 2.D 合作探究 一、要点探究 探究点1：二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质 画一画： 二次函数的图象如图②所示. 问题1 答：二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x=-1,顶点坐标为（-1,-2）. 问题2 答：当x＜-1时，y随x的增大而增大. 【典例精析】例1 D 【针对训练】解：（1）顶点坐标为（-2，-1），对称轴为直线x=-2. （2） 画图略. （3）当x＜-2时，y随x的增大而减小. 例2 解：（1）由y= -（x-1）2+4，得顶点D的坐标为（1，4）. （2）把x=0代入y= -（x-1）2+4得y=3，即OC=3，所以△OCD的面积为×3×1=． 探究点2：二次函数y=a(x－h)2+k与y=ax2的关系 观察与思考 （1）从上到下，从左到右，依次填写：右 2 下 2 下 2 右 2 （2）将抛物线y=x2先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y=(x-2)2-2；或将抛物线y=x2先向下平移2个单位，再向由平移2个单位可得到抛物线y=(x-2)2-2. 【典例精析】例3 B 【针对训练】C 2、 课堂小结 上 直线x=h (h，k) ＞h ＜h 下 直线x=h (h，k) ＜h ＞h 当堂检测 1. D 2.C 3.（1）（-3,2） （2）直线x=-3 （3）-3 2 （4）x＞-3 4.①④ 5.解：（1）函数图象如图所示； (2)＜ （3）∵图象沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移1个单位，∴平移后的二次函数图象的顶点坐标为（-2，0），∴平移后图象所对应的函数关系式为：y=-（x+2）2． 6.解：（1）∵抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的函数表达式为y=（x-1）2-3， ∴顶点M（1，-3），令x=0，则y=（0-1）2-3=-2，∴点A（0，-2）. （2）∵M（1，-3），∴tan∠AOM=． 学科网（北京）股份有限公司 $