27.3 第1课时 弧长和扇形面积（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学课件聚焦“弧长和扇形面积”计算，通过运动会跑道起跑线差异的生活情境引入，从圆周长、面积公式出发，结合圆心角比例推导弧长及扇形面积公式，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境激发兴趣，通过合作探究培养数学思维，结合弯形管道、排水管道截面等实例强化数学语言应用。采用类比学习（扇形与三角形面积公式）和系统小结，助力学生构建知识体系，既提升学生探究能力，也为教师提供完整教学流程与实例支持。

27.3 圆中的计算公式 第27章 圆 第1课时 弧长和扇形面积 优翼九下数学教学课件（HS） 图片欣赏 导入新课 如图，在运动会的 4×100 米比赛中，甲和乙分别在第 1 跑道和第 2 跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？ 怎样计算弯道的“展直长度”？ 因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的. 情境引入 图片来源：新浪体育 问题1 半径为 r 的圆，周长是多少？ O r 问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别占圆周长的多少? O r 90° O r 45° O r n° 合作探究 O r 180° 与弧长相关的计算 新课讲授 (1) 圆心角是 180° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 (2) 圆心角是 90° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 (3) 圆心角是 45° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 (4) 圆心角是 n° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ________. ________. ________. ________. 注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中 n 的意义．n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的. 知识要点 弧长公式 算一算 已知弧所对的圆心角为 60°，半径是 4，则弧长为 ． · O A 解：设半径 OA 绕轴心 O 按逆时针方向旋转的度数为 n°，则 解得 n ≈ 90°. 因此，滑轮旋转的角度约为 90°. 例1 一滑轮起重机装置 (如图)，滑轮的半径 R = 10 cm，当重物上升 15.7 cm 时，滑轮的一条半径 OA 绕轴心 O 逆时针方向旋转多少度？(假设绳索与滑轮之间没有滑动，π 取 3.14) 典例精析 练一练 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度 L (单位：mm，精确到 1 mm). 解：弧 AB 的长为 因此所要求的展直长度 L = 2×700 + 500π ≈ 2971 (mm). 答：管道的展直长度约为 2971 mm. 700 mm 700 mm R = 900 mm ( 100° A C B D O 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形. 如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB. 半径 半径 O B A 圆心角 弧 O B A 扇形 与扇形面积相关的计算 概念学习 判断：下列图形是扇形吗？ √ × × × √ 练一练 合作探究 问题1 半径为 r 的圆,面积是多少？ O r 问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几？具体是多少呢? O r 180° O r 90° O r 45° O r n° 圆心角占 周角的比例 扇形面积占 圆面积的比例 扇形 的面积 = 半径为 r 的圆中，圆心角为 n° 的扇形的面积 ①公式中 n 的意义：n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）. 注意 知识要点 ● O A B D C E F ● O A B C D 问题3 扇形的面积与哪些因素有关？ 大小不变时，对应的扇形面积与 有关， 越长，面积越大. 圆心角 半径 半径 圆的 不变时，扇形面积与 有关， 越大，面积越大. 圆心角 半径 圆心角 总结：扇形的面积与圆心角、半径有关. 问题 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？ A B O O 类比学习 例2 如图，圆心角为 60° 的扇形的半径为 10 cm. 求这个扇形的面积和周长（精确到 0.01 cm2 和 0.01 cm）. O r 60° 解：∵ n = 60，r = 10 cm， ∴ 该扇形的面积为 该扇形的周长为 1. 已知扇形的半径为 2 cm，其弧长为 cm，则这个扇形的面积 S = . 2. 已知扇形的圆心角为 120°，半径为 2，则这个扇形的面积 S = . 练一练 例3 如图，点 D 在⊙O 的直径 AB 的延长线上，点C 在 ⊙O 上，AC = CD，∠ACD = 120°． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为 2，求图中阴影部分的面积． （1）证明：连接 OC． ∵ AC = CD，∠ACD = 120°， ∴ ∠A = ∠D = 30°． ∵ OA = OC，∴∠ACO = ∠A = 30°． ∴∠OCD = 180°-∠A -∠D -∠ACO = 90°，即 OC⊥CD， ∴ CD 是⊙O 的切线． (2) ∵∠A = 30°， ∴∠COB = 2∠A = 60°． 在 Rt△OCD 中， 例4 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积 (精确到 0.01 m2). (1) O . B A 讨论：(1) 截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？ 阴影部分. (2) 水面高 0.3 m 是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？ 过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，并延长 OD 交圆 O 于 C. 则线段 DC 的长为水面高. (3) 要求图中阴影部分面积，应该怎么办？ S阴影 = S扇形 OAB - S△OAB O. B A D (2) C ∵ OC＝0.6，DC＝0.3， ∴ OD＝OC - DC＝0.3. ∴ OD＝DC. 又 AD⊥OC， ∴ AD 是线段 OC 的垂直平分线. ∴ AC＝AO＝OC. 从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°. O. B A C D 解：如图，连接 OA、OB，过点 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 D，交 于点 C，连接 AC. 在 Rt△AOD 中，OA = 0.6 m，OD = 0.3 m， ∴ AD = m. ∴ AB = 2AD = m. ∴ 截面上有水部分的面积为 S = S扇形AOB - SΔOAB O. B A C D 左图： S弓形 = S扇形 - S三角形 右图：S弓形 = S扇形 + S三角形 O O 弓形的面积 = 扇形的面积 ± 三角形的面积 知识要点 弓形的面积公式 2. 某扇形的圆心角为 72°，面积为 5π，则此扇形的弧长为（　　） A．π B．2π C．3π D．4π 1. 已知弧所对的圆周角为 90°，半径是 4，则弧长为 . B 4π 当堂练习 3.如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交，且半径都是2 cm，则图中阴影部分的面积是 . A B C D 4.（例题变式题） 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.9 m，求截面上有水部分的面积 (精确到 0.01 m2）. O A B D C E 解： 5. 如图，一个边长为 10 cm 的等边三角形模板 ABC 在水平桌面上绕顶点 C 按顺时针方向旋转到 △A'B'C 的位置，求顶点 A 从开始到结束所经过的路程. 解：由图可知，由于∠A'CB' = 60°，则等边三角形木板绕点 C 按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA' = 120°，这说明顶点 A 经过的路程长等于弧 AA' 的长. ∵ 等边三角形 ABC 的边长为 10 cm， ∴ 弧 AA' 所在圆的半径为 10 cm. ∴ 所求路程为 l弧AA' A B A' B' C 弧长 计算公式： 扇形 公式 阴影部分面积 求法：整体思想 弓形 公式 S弓形 = S扇形 - S三角形 S弓形 = S扇形 + S三角形 割补法 课堂小结 $