26.3 第1课时 运用二次函数解决实际问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学课件聚焦二次函数表达式的确定与应用，以拱桥实例导入，通过建立坐标系、待定系数法求解析式，延伸至运动抛物线（如投篮、喷水）和利润最大问题，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于结合实物与生活情境，通过多种建系方法比较培养几何直观（数学眼光），利润问题用表格分析数量关系发展模型意识（数学语言），例题与练一练结合提升运算能力（数学思维）。帮助学生建立实际问题与数学模型的联系，教师可借助结构化素材提升教学效率。

26.3 实践与探索 第26章 二次函数 3. 求二次函数的表达式 优翼九下数学教学课件（RJ） 问题引入 如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是 4.9 米，水面宽是 4 米时，拱顶离水面 2 米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？ 导入新课 利用二次函数解决实物抛物线形问题 建立函数模型 这是什么样的函数呢？ 拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数 上述问题，你能想出办法来吗？ 探究 新课讲授 怎样建立直角坐标系比较简单呢？ 以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，如图． 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标是(0，0)，因此这个二次函数的形式为 x O y -2 -4 2 1 -2 -1 A x O y -2 2 1 -2 -1 A 问题3 如何确定 a 的值？ 因此， ，其中｜x｜是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化． 已知水面宽 4 m 时，拱顶离水面高 2 m，因此点 A(2，-2)在抛物线上，由此得出 解得 由于拱桥的跨度为 4.9 m，因此自变量 x 的取值范围是： 水面宽 3 m 时， 从而 因此拱顶离水面高 1.125 m 现在你能求出水面宽 3 m 时，拱顶离水面高多少吗？ 这条抛物线表示的二次函数为 y = x O y −2 −4 2 1 −2 −1 B 问题4 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？ 当水面下降 1 m 时，水面的纵坐标为 -3. 令 解得 即水面下降 1 m 时，水面宽度增加 我们来比较下面这些建系的方法 （0，0） （4，0） （2，2） （-2，-2） （2，-2） （0，0） （-2，0） （2，0） （0，2） （-4，0） （0，0） （-2，2） 谁最合适？为什么？ y y y y o o o o x x x x 解：设该拱桥形成的抛物线的表达式为 y = ax2. ∵ 该抛物线过 (10，-4)， ∴ -4 = 100a，a = -0.04. ∴ y = -0.04x2. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的表达式； O A C D B y x 20 m h 练一练 知识要点 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的解 例1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心， OA = 1.25 m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 m 处达到距水面最大高度 2.25 m. 如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少才能使喷出的水流不致落到池外？ 典例精析 解：建立如图所示的坐标系， 根据题意得 A 点坐标为 (0，1.25)， 顶点 B 坐标为 (1，2.25). 数学化 o ● C ● D x y ● B(1，2.25) (0，1.25) A ● 根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要 2.5 m，才能使喷出的水流不致落到池外. 当 y = 0 时，可求得点 C 的坐标为 (2.5，0)； 同理，点 D 的坐标为 (-2.5，0) . 设 y 轴右侧的抛物线为 y = a(x + h)2 + k，由待定系数法可求得抛物线表达式为 y = -(x - 1)2 + 2.25. ●B(1,2.25) (0,1.25) o A x y ● D ● C 例2 如图，一名运动员在距离篮球圈中心 4 m (水平距离)远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为 2.5 m时，篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m，如果篮圈中心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少？ 典例精析 利用二次函数解决运动中抛物线型问题 解：建立如图的直角坐标系. 则点 A 的坐标是 (1.5，3.05)， 篮球在最大高度时的位置为 B (0，3.5). 以点 C 表示运动员投篮球的出手处. x y O 设此以 B (0，3.5) 为顶点的抛物线表达式为 y = ax2 + 3.5. 所以该抛物线的表达式为 y = -0.2x2 + 3.5. 当 x = -2.5 时，y = 2.25. 故该运动员出手时篮球的高度为 2.25 m. 而点 A (1.5，3.05) 在这条抛物线上， 所以有 1.52a + 3.5 = 3.05， x y O 解得 a = -0.2. 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，已知商品的进价为每件 40 元，则每星期销售额是 元，销售利润是 元. 探究交流 18000 6000 数量关系 （1）销售额 = 单价×销售量； （2）利润 = 销售额 - 总成本 = 单件利润×销售量； （3）单件利润 = 销售单价 - 进价. 利润最大问题 例3 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件．市场调查反映：每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．已知该商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？ 涨价销售 ①设每件涨价 x 元，每星期获得的利润为 y 元，填空： 单件利润 (元) 销售量 (件) 每星期利润 (元) 正常销售 涨价销售 20 300 20 + x 300 - 10x (20 + x)(300 - 10x) 则 y = (20 + x)(300 - 10x) = -10x2 + 100x + 6000. 6000 ②自变量 x 的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故 300 - 10x≥0，且 x≥0，因此自变量的取值范围是 0≤x≤30. ③涨价多少元时，利润最大？最大利润是多少？ y = -10x2 + 100x + 6000， 当 时，y = -10×52 +100×5+6000 = 6250. 即涨价 5 元时利润最大，最大利润是 6250 元. 降价销售 ①设每件降价 x 元，每星期获得的利润为 y 元，填空： 单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元) 正常销售 降价销售 20 300 (20 − x) (300 + 20x) (20 − x)(300 + 20x) 所得利润 y = (20 − x)(300 + 20x) = −20x2 + 100x + 6000. 6000 综上可知，定价 65 元时利润最大，最大利润是 6250 元. ②自变量 x 的取值范围如何确定？ 营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故 20 − x≥0，且 x≥0，因此自变量的取值范围是 0≤x≤20. ③降价多少元时，利润最大？最大利润是多少？ 当 时， 即降价 2.5 元时，最大利润是 6125 元. y = −20x2 + 100x + 6000， 由(1)(2)的讨论及现在的销售情况，你知道应该如何定价能使利润最大了吗? 知识要点 求解最大利润问题的一般步骤 (1) 建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润 = 总售价 - 总成本”或“总利润 = 单件利润×销售量”； (2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围； (3) 在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出 函数的简图，利用简图和增减性求出. y = (160 + 10x)(120 - 6x) 某旅馆有客房 120 间，每间房的日租金为 160 元，每天都客满．经市场调查，若一间客房日租金每增加 10 元，则客房每天少出租 6 间．不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？ 解：设每间客房的日租金提高 10x 元，则每天客房出租数减少 6x 间，则有 练一练 =－60(x－2)2 + 19440. ∵ x≥0，且 120－6x＞0， ∴ 0≤x＜20. 当 x = 2 时，y 有最大值，且 y最大 = 19440. 答：每间客房的日租金提高到 180 元时，客房日租金的总收入最高，最高收入为 19440 元. 这时每间客房的日租金为 160 + 10×2 = 180 (元). 1. 某种商品每件的进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元 (20≤x≤30) 出售，可卖出 (600－20x) 件，为使利润最大，则每件售价应定为 元. 25 当堂练习 2.进价为 80 元的某件定价 100 元时，每月可卖出 2000件，价格每上涨 1 元，销售量便减少 5 件，那么每月售出衬衣的总件数 y (件) 与衬衣售价 x(元) 之间的函数关系式为 . 每月利润 w (元) 与衬衣售价 x (元) 之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简). y = 2000 - 5(x - 100) w = [2000 - 5(x - 100)](x - 80) 3. 足球被从地面上踢起，它距地面的高度 h (m) 可用公式 h = -4.9t2 + 19.6t 来表示，其中 t (s) 表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s 后落地. 4 4. 如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度 y (米)关于水平距离 x (米)的函数表达式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面 的距离为 米. x y O 2 5. 某公园草坪的防护栏是由 100 段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距 0.4 m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部 0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 ( ) A. 50 m B. 100 m C. 160 m D. 200 m C x y 5 16 O 7 6. 某种商品每天的销售利润 y (元) 与销售单价 x (元) 之间满足关系：y = ax2 + bx - 75，其图象如图. (1) 销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 解：由题图可求得 y = -x2 + 20x - 75. ∵ -1 < 0，对称轴 x = 10， ∴ 当 x = 10 时，y 值最大，最大值为 25.即销售单价定为 10 元时，销售利润最大，最大利润为 25 元. (2) 销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于 16 元？ 解：由对称性知 y = 16 时，x1 = 7 和 x2 = 13. 故销售单价在 7 元到 13 元之间 (含 7 元和 13 元) 时，利润不低于 16 元. x y 5 16 O 7 13 转化 回归 （二次函数的图象和性质） 拱桥问题 运动中的抛物线问题 （函数建模问题，营销问题） 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法 实际问题 数学模型 转化的关键 课堂小结 商品利润最大问题 建立函数关系式 总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本 确定自变量取值范围 涨价：要保证销售量≥0； 降件：要保证单件利润≥0 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出 课堂小结 $