27.2.3 第2课时 切线长定理及三角形的内切圆（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学课件聚焦“切线长定理及三角形的内切圆”，通过抖空竹、悠悠球旋转情境引入，衔接上节课切线知识，以“过圆外一点作切线”等问题引导，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过推理验证和互动探究发展逻辑推理（数学思维），结合测量铁环半径、木料加工等实例强化应用意识（数学语言），对比外心与内心构建知识体系。学生能提升抽象与推理能力，教师可获得系统教学流程与多样化例题，提高教学效率。

27.2 与圆有关的位置关系 第27章 圆 第2课时 切线长定理及三角形的内切圆 3. 切线 优翼九下数学教学课件（HS） 情境引入 同学们玩过抖空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？ 导入新课 问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如下图所示)，如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ 互动探究 P O B A O. P A B 切线长定理及应用 新课讲授 P 1. 切线长的定义： 圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长． A O ① 切线是直线，不能度量； ② 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点，可以度量． 2. 切线长与切线的区别在哪里？ 知识要点 如：线段 PA 的长就是点 P 到☉O 的切线长. 问题2 PA 为☉O 的一条切线，沿着直线 PO 对折，设圆上与点 A 重合的点为 B． OB 是☉O 的一条半径吗？ PB 是☉O 的切线吗？ （利用图形轴对称性解释） PA、PB 有何关系？ ∠APO 和∠BPO 有何关系？ O P A B *切线长定理： 过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. PA、PB 分别切 ☉O 于 A、B PA = PB ∠OPA = ∠OPB 几何语言： 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 注意 要点归纳 B P O A O. P 已知：如图，PA、PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点. 求证：PA = PB，∠APO =∠BPO. 证明：∵ PA、PB 是☉O 的两条切线， ∵ OA = OB，OP = OP， ∴ Rt△OAP≌Rt△OBP(HL). ∴ PA = PB，∠APO =∠BPO. 推理验证 A B ∴ OA⊥PA，OB⊥PB. 若连接两切点 A、B，AB 交 OP 于点 M. 你又能得出 什么新的结论? 请给出证明. 解：OP 垂直平分 AB. 证明：∵ PA，PB 是 ⊙O 的切线，点 A，B 是切点， ∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB. ∴ △PAB 是等腰三角形， PM 为顶角的平分线. ∴ OP 垂直平分 AB. M 想一想： O P A B 想一想：若延长 PO 交 ⊙O 于点 C，连结 CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明. 证明：∵ PA，PB 是⊙O 的切线，点 A，B 是切点， ∴ PA = PB ，∠OPA = ∠OPB. ∵ PC = PC. ∴ △PCA≌△PCB ( S. A. S. ). ∴ AC = BC. 新的结论：CA = CB. O. P A B C 例1 已知：如图，四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、 DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H. 求证：AB + CD = AD + BC. 证明：∵ AB、BC、CD、DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H， · A B C D O E F G H ∴ AE = AH，BE = BF， CG = CF，DG = DH. ∴ AE + BE + CG + DG = AH + BF + CF + DH， 即 AB + CD = AD + BC. 典例精析 例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30° 的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径. 若三角板与圆相切且测得 PA = 5 cm，求铁环的半径． O B C 解析：取圆的圆心为O，连接 OA，OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在 Rt△OPA 中由勾股定理易求得半径． 在 Rt△OPA 中，PA＝5，∠POA＝30°， 又∵∠BAC＝60°，∴∠PAO＝∠BAO＝60°. 即铁环的半径为 ∴ OA = 2PA = 10. 解：设铁环的圆心为 O，连接 OP、OA. ∴ OP⊥AP，∠PAO＝∠BAO. O B C 5 ∵ AP、AB 为 ⊙O 的切线， ∴ OP = ∴∠POA＝30°. 1. PA、PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点，直线 OP 交☉O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系； OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. （3）写出图中所有的全等三角形； △AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP. （4）写出图中所有的等腰三角形. △ABP △AOB （2）写出图中与∠OAC 相等的角； ∠OAC = ∠OBC = ∠APC = ∠BPC. B P O A C E D 练一练 B P O A 2. PA、PB 是☉O 的两条切线，A，B 是切点，OA = 3. （1）若 AP = 4，则 OP = ； （2）若∠BPA = 60°，则 OP = . 5 6 3.如图，PA、PB 是☉O 的两条切线，点 A、B 是切点，在弧 AB 上任取一点 C，过点 C 作☉O 的切线，分别交PA、PB 于点 D、E. 已知 PA = 7，∠P = 40°. 则 (2) ∠DOE = . (1) △PDE 的周长是 ； 14 O P A B C E D 70° 解析：连接 OA、OB、OC、OD 和 OE. ∵ PA、PB 是☉O 的两条切线， 点 A、B 是切点， ∴ PA = PB = 7. ∠PAO = ∠PBO =90°. ∠AOB = 360° -∠PAO -∠PBO -∠P = 140°. 又∵ DC、DA 是☉O 的两条切线，点 C、A 是切点，∴ DC = DA. 同理可得 CE = CB. ∵ D，E 是切线 PA，PB 上的点， ∴∠DOC = ∠DOA = ∠AOC. ∠DOE = ∠DOC+∠COE = (∠AOC+∠COB) = 70°. ∴∠COE = ∠BOE = ∠AOC. ∴S△PDE = PD + DE + PE = PD + DC + CE + PE = PA + PB = 14. O P A B C E D 切线长问题辅助线添加方法： （1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆外一点. 方法归纳 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 互动探究 三角形的内切圆及作法 问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？ O O O O 最大的圆与三角形三边都相切 问题2 如何求作一个圆，使它与三角形的三边都相切？ (1) 如果半径为 r 的☉I 与△ABC 的三边都相切，那么 圆心 I 应满足什么条件？ (2) 在△ABC 的内部，如何找到满足条件的圆心 I 呢？ 圆心 I 到三角形三边的距离相等，都等于 r. 为什么呢？ 三角形三条角平分线交于一点，这一点到三角形三边的距离相等. 三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？ 圆心 I 应是三角形的三条角平分线的交点. 已知：△ABC. 求作：和△ABC 的各边都相切的圆 O. 做一做 M N D 作法： 1. 作∠ABC 和∠ACB 的平分线 BM 和 CN，交点为 O. 2. 过点 O 作OD⊥BC，垂足为 D. 3. 以O为圆心，OD为半径作圆O. ☉O 就是所求的圆. A B C O 1. 与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. 2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形. B A C I ☉I 是△ABC 的内切圆， 点 I 是△ABC 的内心， △ABC 是☉I 的外切三角形. 知识要点 问题1 如图，☉I 是△ABC 的内切圆，那么 AI、BI、CI 有什么特点？ 互动探究 IA、IB、IC 分别平分 ∠CAB、∠ABC、∠BCA. B A C I 三角形的内心的性质 B A C I 问题2 如图，分别过点作 AB、AC、BC 的垂线，垂足分别为 E、F，G，那么线段 IE、IF、IG 之间有什么关系？ E F G IE = IF = IG 知识要点 三角形内心的性质 三角形的内心在三角形的角平分线上. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. AI、BI、CI 分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA，IE = IF = IG. B A C I E F G 例3 如图，△ABC 中，∠B = 43°，∠C = 61°，点 I 是△ABC 的内心，求∠BIC 的度数. 解：连接 IB，IC. A B C I ∵ 点 I 是△ABC 的内心， ∴ BI，CI 分别平分∠ABC，∠ACB. 在△IBC 中， 例4 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为 3 cm，求圆柱底面圆的半径. 该问题可以抽象为如下所示的几何图形. C A B r O D 解：如图，设圆 O 切 AB 于点 D，连接 OA、OB、OD. ∵ 圆 O 是等边△ABC 的内切圆， ∴ AO、BO 是∠BAC、∠ABC 的平分线. ∴ ∠OAB =∠OBA = 30°. ∵ OD⊥AB，AB = 3 cm， ∴ AD = BD = AB = 1.5 (cm). ∴ OD = AD · tan30° = (cm). 答：圆柱底面圆的半径为 cm. 例5 △ABC 的内切圆 ☉O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB = 13 cm，BC = 14 cm，CA = 9 cm，求 AF、BD、CE 的长. 想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？ B A C E D F O 解： 设 AF = x cm，则 AE = x cm. ∴ CE = CD = AC - AE = 9 - x (cm)， BF = BD = AB - AF = 13 - x (cm). 由 BD + CD = BC，可得 (13 - x) + (9 - x) = 14， ∴ AF = 4 cm，BD = 9 cm，CE = 5 cm. 方法小结：解决本题的关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解. 解得 x = 4. B A C E D F O 比一比 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三边垂直平分线的交点 1.OA = OB = OC； 2.不一定在三角形内部 三角形三条 角平分线的 交点 1.到三边距离相等； 2. AO、BO、CO 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； 3.在三角形内部 A B O C A B C O C A B O D 1. 求边长为 6 cm 的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径. 解：如图，由题意可知 BC = 6 cm， ∠ABC = 60°，OD⊥BC，BO 平分∠ABC. ∴∠OBD = 30°，BD = 3 cm. ∴ 内切圆半径 ∴ 外接圆半径 练一练 变式： 求边长为 a 的等边三角形的内切圆半径 r 与外接圆半径 R 的比. sin∠OBD = sin 30°= C A B O D R r A B C O D E F A B C D E F O 2. 设 △ABC 的面积为 S，周长为 L， △ABC 内切圆 的半径为 r，则 S，L 与 r 之间存在怎样的数量关系？ 3.如图，直角三角形的两直角边分别是 a、b，斜边为 c，则其内切圆的半径 r 为 （以含 a、b、c 的代数式表示）. _________ A B C O c D E r 解析：如图，过点 O 分别作 AC，BC，AB 的垂线，垂足分别为 D，E，F. F 则 AD = AC - DC = b - r， BE = BC - CE = a - r. ∵ AF = AD，BF = BE，AF + BF = AB， ∴ a - r + b - r = c， ∴ b a r r r 1. 如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别是 A、B，若 AP = 4，∠APB = 40°，则∠APO = °，PB = . 20 4 B P O A 第1题图 2. 如图，☉O 为△ABC 的内切圆，AC = 10，AB = 8，BC = 9，点 D，E 分别为 BC，AC 上的点，且 DE 为☉O 的切线，则△CDE 的周长为______. 11 · A B C D O E 第2题图 课堂小结 （3）若∠BIC = 100°，则∠A = °； （2）若∠A = 80°，则∠BIC = °； 130 20 3. 如图，在△ABC 中，点 I 是内心． （1）若∠ABC = 50°，∠ACB = 70°，则∠BIC =_____°； A B C I （4）试探索：∠A 与∠BIC 之间存在怎样的数量关系？ 120 证明：方法①：连接 OD，如图. ∵ AC 切⊙O 于点 D，∴ OD⊥AC. ∴ ∠ODC =∠B = 90°. ∵ OD = OB，OC = OC， ∴ Rt△ODC≌Rt△OBC（HL）. ∴ ∠DOC =∠BOC. ∵ OD = OE，∴∠ODE =∠OED. 4. 如图，已知在△ABC 中，∠B＝90°，O 是 AB 上一点， 以 O 为圆心，OB 为半径的圆与 AB 交于 E，与 AC 相 切于点 D. 求证：DE∥OC. 方法②：连接 BD，如图. ∵ BC⊥AB， ∴ BC 切 ⊙O 于点 B. 又∵ AC 切 ⊙O 于点 D， ∴ DC = BC，CO 平分∠DCB. ∴ OC⊥BD. ∵ BE 为 ⊙O 的直径，∴ DE⊥BD. ∴ DE∥OC． ∵∠DOB =∠ODE +∠OED， ∴∠BOC =∠OED. ∴ DE∥OC． 5. 如图，△ABC 中，I 是内心，∠BAC 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D. 求证：DI＝DB. 证明：连接 BI. ∵ I 是 △ABC 的内心，AD 平分∠BAC. ∴ 点 I 在 AD 上，∠ABI =∠CBI． ∵∠CBD =∠CAD， ∴∠BAD =∠CBD． ∵∠BID =∠BAD +∠ABI，∠IBD =∠CBD +∠CBI， ∴∠BID =∠IBD． ∴ BD = ID． 切线长 切线长定理 作用 提供了证线段和 角相等的新方法 辅助线 分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点 三角形内切圆 运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程 应用 重要结论 内心的概念及性质 图形的轴对称性 原理 课堂小结 $