27.2.3 第1课时 切线的判定与性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学课件聚焦“切线的性质与判定”，通过生活情境（雨伞雨滴、砂轮火花）导入，引导学生观察切线现象，再以“做一做”活动（画半径外端垂线观察交点）引出判定定理，结合定义法、数量关系法构建知识体系，形成从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”观察生活实例激发兴趣，通过动手操作和反证法证明培养“数学思维”（推理能力），辅助线“有交点连半径，无交点作垂直”的归纳形成“数学语言”表达规范。分层例题和练习帮助学生深化理解，教师可借助清晰结构提升教学效率。

27.2 与圆有关的位置关系 第27章 圆 第1课时 切线的性质与判定 3. 切线 优翼九下数学教学课件（HS） 情境引入 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？ 都是沿切线方向飞出的. 生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白. 导入新课 从图可以看出来，对直线 l 上除点 A 外的任一点 P，必有 OP＞OA，即点 P 位于圆外，从而可知直线与圆只有一个公共点，所以直线 l 是圆的切线. P l 如图，画一个圆 O 及半径 OA，经过 ☉O 的半径 OA 的外端点 A 画一条直线 l 垂直于这条半径，这条直线与圆有几个公共点？ 切线的判定定理 做一做 A O P P 新课讲授 经过圆的半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. OA 为⊙O 的半径 OA⊥l 于点 A 直线 l 为⊙O 的切线 切线的判定定理 应用格式 要点归纳 l A O 在此定理中，“经过圆的半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ (1) 不是，因为没有垂直. (2) (3) 不是，因为没有经过圆的半径的外端点 A. 判一判 O. A O. A B A O (1) (2) (3) 注意 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1. 定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线； 2. 数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即 d = r)时，直线与圆相切； 3. 判定定理：经过圆的半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d 要点归纳 O O 例1 如图，线段 AB 是☉O 的直径，直线 AC 与 AB 交于点 A，∠ABC = 45°，且 AB = AC. 求证：AC 是☉O 的切线. 分析：直线 AC 经过半径的一端，因此只要证 OA 垂直于 AC 即可. 证明：∵ AB = AC，∠ABC = 45°， ∴∠ACB =∠ABC = 45°. ∴∠BAC = 180° -∠ABC -∠ACB = 90°， 即 AB⊥AC. ∵ AB 是☉O 的直径， ∴ AC 是☉O 的切线. A O C B 例2 已知直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，并且 OA = OB， CA = CB. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线. O B A C 证明：连接 OC. ∵ OA ＝ OB，CA ＝ CB， ∴ OC 是等腰△OAB 底边 AB 上的中线.　 ∴ OC⊥AB. ∵ OC 是 ⊙O 的半径， ∴ AB 是 ⊙O 的切线. 分析：由于 AB 过⊙O 上的点 C，所以连接 OC，只要 证明 AB⊥OC 即可. 例3 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是 BC 的中点，⊙O 与 AB 相切于 E.求证：AC 是⊙O 的切线． B O C E A 分析：根据切线的判定定理，要证明 AC 是⊙O 的切线，只要证明由点 O 向 AC 所作的垂线段 OF 是⊙O 的半径就可以了，而 OE 是⊙O 的半径，因此只需要证明 OF = OE. F 证明：连接 OE ，OA， 过 O 作 OF ⊥AC. ∵ ⊙O 与 AB 相切于 E ，∴ OE ⊥ AB. 又∵ 在△ABC 中，AB ＝AC ， O 是 BC 的中点， ∴ AO 平分∠BAC， F B O C E A ∴ OE ＝OF. ∵ OE 是⊙O 半径， OF ＝OE，OF ⊥ AC， ∴ AC 是⊙O 的切线． 又∵ OE⊥AB ，OF⊥AC. 如图，已知直线 AB 经过⊙O 上的点 C，并且 OA＝OB，CA＝CB 求证:直线AB是⊙O 的切线. C B A O 如图，OA＝OB＝5， AB＝8，⊙O 的直径为 6. 求证:直线AB是⊙O的切线. C B A O 对比思考 ？ 作垂直 连接 方法归纳 (1) 有交点，连半径，证垂直； (2) 无交点，作垂直，证半径. 证切线时辅助线的添加方法 有切线时常用辅助线添加方法 (1) 见切点，连半径，得垂直. 切线的其他重要结论 (1) 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； (2) 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 要点归纳 例2 例3 思考：如图，如果直线 l 是⊙O 的切线，点 A 为切点，那么 OA 与 l 垂直吗？ A l O ∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点， ∴直线 l⊥OA. 切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径． 应用格式 切线的性质定理 （1）假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作 OM⊥CD，垂足为 M； 理由是：直径 AB 与直线 CD 要么垂直，要么不垂直. （2）则 OM＜OA，即圆心到直线 CD 的 距离小于⊙O 的半径，因此，CD 与⊙O 相交. 这与已知条件“直线 与⊙O 相切”相矛盾； C D B O A （3）所以假设不成立，故 AB 与 CD 垂直. M 证法：反证法 性质定理的证明 反证法的证明视频 点击视频开始播放 → C D O A 证法2：构造法. 作出小⊙O 的同心圆大⊙O，CD 切小⊙O 于点 A，且 A 点为 CD 的中点，连接 OA，根据垂径定理，则 CD⊥OA，即圆的切线垂直于经过切点的半径． 1. 如图①，在⊙O 中，OA、OB 为半径，直线 MN 与⊙O 相切于点 B. 若∠ABN = 30°，则∠AOB = °. 2. 如图②，AB 为⊙O 的直径，D 为 AB 延长线上一点，DC 与⊙O 相切于点 C，∠DAC = 30°. 若⊙O 的半径长 1 cm，则 OD = cm. 60 练一练 图① 图② 利用切线的性质解题时，常需作辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题. 方法总结 例4 如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点．直线 PO 与⊙O交于 B、C 两点，∠P＝30°，连接 AO、AB、AC. (1) 求证：△ACB≌△APO； (2) 若 AP＝ ，求⊙O 的半径． 解析：(1) 根据已知条件我们易得 ∠CAB = ∠PAO = 90°， 由∠P = 30° 可得出∠AOP = 60°， 则∠C = 30° = ∠P，即 AC = AP； 这样就凑齐了角边角，可证得 △ACB≌△APO. O A B P C 又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°， 又 OA＝OB，∴△AOB 为等边三角形． ∴ AB＝AO，∠ABO＝60°. (1) 求证：△ACB≌△APO； O A B P C 在△ACB 和△APO 中， ∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABC＝∠AOP， ∴△ACB≌△APO. (1) 证明：∵ PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点， 又∵ BC 为⊙O 的直径，∴∠BAC＝90°. ∴∠OAP＝90°. (2) 若 AP＝ ，求 ⊙O 的半径． O A B P C ∴ AO＝1，即⊙O 的半径为 1. (2) 解：在 Rt△AOP 中，∠P＝30°，AP＝ ， (2)由已知条件可得△AOP 为直角三角形， 因此可以通过解直角三角形 求出半径 OA 的长. 1. 判断下列命题是否正确. (1) 经过半径外端的直线是圆的切线. ( ) (2) 垂直于半径的直线是圆的切线. ( ) (3) 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的 切线. ( ) (4) 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. ( ) (5) 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. ( ) × × √ √ √ 当堂练习 2. 如图，A 是☉O 上一点，且 AO = 5，PO = 13， AP = 12，则 PA 与☉O 的位置关系是 . A P O 相切 3. 如图，在☉O 的内接四边形 ABCD 中，AB 是直径， ∠BCD = 120°，过 D 点的切线 PD 与直线 AB 交于 点 P，则∠ADP 的度数为 （ ） A．40° B．35° C．30° D．45° C P O D A B C 第2题图 第3题图 4. 如图，PB 切☉O 于点 B，PB = 4，PA = 2，则 ☉O 的半径是多少？ O P B A 解：连接 OB，如图. 则∠OBP = 90°. 设⊙O 的半径为 r，则 OA = OB = r，OP = OA + PA = r + 2. 在 Rt△OBP 中， OB2 + PB2 = PO2， 即 r2 + 42 = (2 + r)2. 解得 r = 3， 即 ⊙O 的半径为 3. O A B C E P 5. 如图，△ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径的 ⊙O 交边 BC 于 P，PE⊥AC 于 E. 求证：PE 是 ⊙O 的切线. 证明：连接 OP，如图. ∵ AB = AC，∴∠B =∠C. ∵ OB = OP，∴∠B =∠OPB. ∴∠OPB =∠C. ∴ OP∥AC. ∵ PE⊥AC，∴ PE⊥OP. ∴ PE为 ⊙O 的切线. 6.如图，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，以 O 为圆心，OA 长为半径的 ⊙O 与 BC 相切于点 M. 求证：CD 与⊙O 相切． 证明：连接 OM，过点 O 作 ON⊥CD 于点 N， ∵ ⊙O 与 BC 相切于点 M， ∴ OM⊥BC. 又∵ ON⊥CD，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点， ∴ OM＝ON ∴ CD 与⊙O 相切． M N 6. 已知：△ABC 内接于☉O，过点 A 作直线 EF. (1)如图1，AB 为直径，要使 EF 为☉O 的切线，还需 添加的条件是（只需写出两种情况）： ① _________ ；② _____________ . (2) 如图2，AB 是非直径的弦，∠CAE = ∠B， 求证：EF 是☉O 的切线. BA⊥EF ∠CAE=∠B A F E O A F E O B C B C 图1 图2 证明：连接 AO 并延长交☉O 于 D，连接 CD， 则 AD 为☉O 的直径. ∴ ∠D +∠DAC = 90°. ∵ ∠D 与∠B 同对 ， ∴ ∠D = ∠B. 又∵ ∠CAE = ∠B， ∴ ∠D = ∠CAE. ∴ ∠DAC+∠EAC = 90°. ∴ EF 是☉O 的切线. A F E O B C 图2 D 切线的 判定方法 定义法 数量关系法 判定定理 1 个公共点，则相切 d = r，则相切 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径 课堂小结 切线的性质 有 1 个公共点 d = r 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 有切线时常用辅助线添加方法： 见切线，连切点，得垂直. 课堂小结 $