27.1.3 圆周角（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学课件聚焦“圆周角”核心内容，涵盖定义、定理及推论（直径对直角、圆内接四边形对角互补）。通过复习圆心角、视频引入及射门位置思考问题，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于结合几何直观与推理能力，如“判一判”图形辨析培养空间观念，分三种情况证明圆周角定理发展逻辑推理，实际问题（船触礁）渗透模型意识。采用视频导入、互动探究及典例精析，学生能提升直观理解与推理能力，教师可借助结构化资源提高教学效率。

27.1 圆的认识 第27章 圆 3. 圆周角 2.圆的对称性 优翼九下数学教学课件（HS） 问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？ 顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角，如∠BOC. 复习引入 导入新课 视频引入 点击视频开始播放 → 导入新课 C A E D B 思考： 图中过球门 A、E 两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置 B、C、D 有关(张开的角度大小)、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？ 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角为圆周角 圆周角的定义 如图 (2) 所示的两条射线所成的角叫做圆周角 (2) (1) (3) (4) 那么根据图 (2)，如何用一句话概括圆周角呢？ 新课讲授 · C O A B · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由. 顶点 A 不在圆上 顶点 A 不在圆上 边 AC 没有和圆相交 是 是 是 想一想 如图，线段 AB 是☉O 的直径，点 C 是 ☉O 上的任意一点 (除点 A、B 外)，那么，∠ABC 就是直径 AB 所对的圆周角. 想一想，∠ACB 会是怎样的角？ · O A C B 解：∵ OA = OB = OC， ∴ △AOC、△BOC 都是等腰三角形. ∴ ∠OAC = ∠OCA，∠OBC = ∠OCB. 又∵∠OAC +∠OBC +∠ACB = 180°， ∴ ∠ACB = ∠OCA +∠OCB = 180°÷2 = 90°. 因此，不管点 C 在 ☉O 上何处 (除点 A、B 外)，∠ACB 总等于 90°. 圆周角和直径的关系 圆周角和直径的关系： 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°. 知识要点 典例精析 例1 如图，AB 是☉O 的直径，∠A = 80°. 求∠ABC 的大小. O C A B 解：∵AB 是☉O 的直径， ∴∠ACB = 90° (直径所对的圆周角等于 90°). ∴∠ABC = 180° - ∠A - ∠ACB = 180° - 90° - 80° = 10°. 测量：如图，连接 BO，CO，得圆心角∠BOC.测测看，∠BAC 与∠BOC 存在怎样的数量关系. 测量与猜测 猜测：圆周角的度数_______它所对弧的圆心角度数的一半. 等于 圆周角定理及其推论 圆心 O 在∠BAC 的内部 圆心 O 在 ∠BAC 的一边上 圆心 O 在 ∠BAC 的外部 圆心 O 与圆周角的位置有以下三种情况，我们一一讨论. 圆心 O 在∠BAC 的一边上 (特殊情形) OA = OC ∠A = ∠C ∠BOC = ∠A + ∠C O A B D O A C D O A B C D 圆心 O 在∠BAC 的内部 O A C D O A B D O A B D O C A D O A B D C O A D C O A B D C O A D O A B D 圆心 O 在∠BAC 的外部 要点归纳 结论1： 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半 问题1 如图，OB，OC 都是⊙O 的半径，点 A，D 是上任意两点，连接 AB，AC，BD，CD. ∠BAC 与∠BDC 相等吗？请说明理由. 互动探究 D ∴∠BAC=∠BDC. 解：相等. 理由如下： ∵ 问题2 如图，若 ∠A 与∠B 相等吗？ 解：相等. 想一想：反过来，如果∠A =∠B，那么 成立吗？ D A B O C E F 1.如图，点 A、B、C、D 在☉O上，点 A 与点 D 在点 B、C 所在直线的同侧，∠BAC = 35°. (1)∠BOC = °，理由 是 ； (2)∠BDC = °，理由是 . 70 35 同弧所对的圆周角相等 一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半 练一练 圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等 圆周角定理 要点归纳 A1 A2 A3 A (1) 完成下列填空： ∠1 = . ∠2 = . ∠3 = . ∠5 = . 2. 如图，点 A、B、C、D 在同一个圆上，AC、BD为四边形 ABCD 的对角线. ∠4 ∠8 ∠6 ∠7 A B C D O 1 ( ( ( ( ( ( ( ( 2 3 4 5 6 7 8 练一练 例2 如图，分别求出图中∠x 的大小. 60° x 30° 20° x 解：(1)∵ 同弧所对圆周角相等，∴∠x = 60°. A D B E C (2) 连接 BF. F ∵ 同弧所对圆周角相等， ∴∠ABF =∠D = 20°，∠FBC =∠E = 30°. ∴∠x = ∠ABF +∠FBC = 50°. 例3 如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm. ∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长. 解：如图，连接 OD. 在 Rt△ABC 中， D C B A O ∴∠ACB = ∠ADB = 90°. ∵ AB 是直径， ∵ CD 平分∠ACB， 解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则应考虑构造直角三角形来求解. 归纳 ∴ AD = BD. ∴∠AOD =∠BOD. ∴∠ACD =∠BCD. 在 Rt△ABD 中，AD2 + BD2 = AB2， D C B A O 如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD ＝30°，则∠A 的度数为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：∵BD 是 ⊙O 的直径， ∴∠BCD＝90°. ∵∠CBD＝30°， ∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°. 故选C. 方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题． 练一练 C 例4 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P， ∠ACD = 60°，∠ADC = 70°. 求∠APC 的度数. . O A D C P B 解：连接 BC，则∠ACB＝90°， ∠DCB＝∠ACB－∠ACD ＝90°－60° = 30°. 又∵∠BAD = ∠DCB = 30°， ∴∠APC = ∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°. 解：∵ AB 是直径，点 O 是圆心， ∴∠AOB = 180°. ∵∠ACB 是直径 AB 所对的圆周角， ∴∠ACB = ∠AOB = 90°. 想一想 如图，线段 AB 是☉O 的直径，点 C 是☉O 上的任意一点 (除点 A、B 外)，那么∠ACB 就是直径 AB 所对的圆周角. 想一想，∠ACB 会是怎样的角？ · O A C B 圆周角定理的推论 能不能直接运用圆周角定理解答？ 90° 的圆周角所对的弦是直径. 知识要点 圆周角定理的推论1 如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆.这个多边形叫做这个圆的内接多边形. 如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形. 探究性质 猜想：∠A 与∠C，∠B 与∠D 之间的关系为： ∠A + ∠C = 180°， ∠B + ∠D = 180°. 想一想： 如何证明你的猜想呢？ ∵ ∠A 所对的圆心角是∠β，∠C 所对的圆心角是∠α， ∴ 同理， 证明猜想 圆内接四边形的对角互补. 连接 OB，OD． α β ∴ 圆周角定理的推论2 C O D B A ∵ 弧 BCD 和弧 BAD 所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°， E 延长 BC 到点 E，有 ∠BCD＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE. 想一想 图中∠A 与∠DCE 的大小有何关系？ 1. 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，且∠A = 110°， ∠B = 80°，则∠C = ° ，∠D = °. 2. ⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3，则∠D = °. 70 100 90 练一练 例5 如图，AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB 于 E，交⊙O 于 D，AF 交⊙O 于 G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 证明：∵ 四边形 ACDG 内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD. 又∵ AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB 于 E，∴ AB 垂直平分 CD. ∴ AC＝AD. ∴∠ADC＝∠ACD. ∴∠FGD＝∠ADC. 如图，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中， ∠BOD＝120°，那么∠BCD 是(　　) A．120° B．100° C．80° D．60° 解析：∵∠BOD＝120°， ∴∠A＝60°. ∴∠C＝180°－60°＝120°. 故选 A. 练一练 A 解：设∠A，∠B，∠C 的度数分别对于 2x，3x，6x， 例6 在圆内接四边形 ABCD 中， ∠A，∠B，∠C 的度数之比是 2︰3︰6.求这个四边形各角的度数. ∵四边形 ABCD 内接于圆， ∴ ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°， ∵ 2x + 6x = 180°， ∴ x = 22.5°. ∴ ∠A = 45°， ∠B = 67.5°， ∠C =135°， ∠D = 180°-67.5° = 112.5°. 1. 判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ） （3）同弦所对的圆周角相等 （ ） √ × × 当堂练习 2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上，∠BAC = 50°， ∠ABC = 47°， 则∠AOB = ． B A C O 166° 3.如图，已知 BD 是 ⊙O 的直径，⊙O 的弦 AC⊥BD于点 E，若∠AOD = 60°，则∠DBC 的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° A 【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题，要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角，然后再灵活运用圆周角定理. A B C D O 4.如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，如果∠BOD = 130°，则∠BCD 的度数是（ ） A 115° B 130° C 65° D 50° 5.如图，等边三角形 ABC 内接于⊙O，P 是 上的一点，则∠APB = . A B C P C 60° ∴∠ACB = 2∠BAC. 证明： 5. 如图，OA，OB，OC 都是 ⊙O 的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC. ∠AOB = 2∠BOC， ∵ A O B C 6. 船在航行过程中，船长通过测定角度数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B 表示灯塔，暗礁分布在经过 A、B两点的一个圆形区域内，优弧 AB 上任一点 C 都是有触礁危险的临界点，∠ACB 就是“危险角”．当船位于安全区域时，∠α 与“危险角”有怎样的大小关系？ 解：当船位于安全区域时，船位于暗礁区域外（即⊙O外） ，与两个灯塔的夹角∠α 小于“危险角”. 拓展提升：如图，在△ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径的圆交 BC 于 D，交 AC 于 E. (1) BD 与 CD 的大小有什么关系? 为什么? A B C D E ∵ AB 是圆的直径，点 D 在圆上， ∴∠ADB = 90°. ∴ AD⊥BC. 又∵ AB = AC， ∴ △ABC 为等腰三角形. ∴ BD = CD. (1) 解：BD = CD. 理由如下：连接 AD，如图. O (2) 求证： . (2) 证明：在等腰△ABC 中，AD⊥BC， ∴∠BAD =∠CAD. ∴ 圆周角 圆周角定义 圆周角定理 圆周角定理的推论 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等 90° 的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 课堂小结 $