27.1.2 第2课时 垂径定理（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学课件聚焦“垂径定理”，以赵州桥主桥拱半径问题情境导入，通过折叠实验引导学生发现相等关系，归纳定理及推论（五条件“知二推三”），结合例题与练习构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于用现实问题激发数学眼光，通过折叠实验和推理证明培养数学思维，以“连半径、作垂线”辅助线方法及弓形数量关系总结强化数学语言。分层练习与实际应用结合，助力学生掌握定理应用，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

27.1 圆的认识 第27章 圆 第2课时 垂径定理 2. 圆的对称性 优翼九下数学教学课件（HS） 问题：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为 37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 情境引入 导入新课 · O A B D P C 问题：如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD⊥AB，垂足为 P. 你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么? 线段：AP = BP 垂径定理及其推论 弧： 理由如下： 把圆沿着直径CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，点 A 与点 B 重合，AP 与BP 重合， 和 ， 与 重合． 新课讲授 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如. 垂径定理 · O A B C D P 垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧. ∵ CD 是⊙O 的直径，CD⊥AB，(条件) 归纳总结 推导格式： ∴ AP = BP， (结论) 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为 CD 没有过圆心 A B O E A B D C O E A B O C D E O A B C 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O C 归纳总结 A B O D C 如果把垂径定理 (垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧) 结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 思考探索 D O A B E C 举例证明其中一种组合方法. 已知: 求证： ① CD 是直径 ② CD⊥AB，垂足为 E ③ AE = BE 证明猜想 ④ 如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD 平分弦 AB 于点 E. (1) CD⊥AB 吗？为什么？ (2) · O A B C D E 解：(1) 连接 AO、BO，则 AO = BO. 又∵ AE = BE， ∴∠AEO =∠BEO = 90°. ∴ CD⊥AB. 证明举例 ∴△AOE≌△BOE(SSS). (2) 由垂径定理可得 与 相等吗？ 与 相等吗？ 为什么？ 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？ 如果不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 垂径定理的推论 · O A B C D 圆的两条直径是互相平分的. 归纳总结 特别说明： 例1 如图，OE⊥AB于 E，若⊙O 的半径为 10 cm， OE = 6 cm，则 AB = cm. · O A B E 解析：连接 OA，∵ OE⊥AB， ∴ AB = 2AE = 16 cm. 16 一 垂径定理及其推论的计算 二 ∴ cm. 典例精析 例2 如图，⊙O 的弦 AB＝8 cm ，直径 CE⊥AB 于 D，DC＝2 cm，求半径 OC 的长. · O A B E C D 解：连接 OA，∵ CE⊥AB 于 D， ∴ 设OC = x cm，则 OD = x - 2，根据勾股定理，得 解得 x = 5. 即半径 OC 的长为 5 cm. x2 = 42 + ( x - 2)2， 证明：作直径 MN⊥AB，如图. ∵ AB∥CD，∴ MN⊥CD. 则 = ， = （垂直 平分弦的直径平分弦所对的弧）. ∴ － = － . ∴ = . 例3 已知：⊙O 中弦 AB∥CD，求证： = . . M C D A B O N 解决有关弦的问题，经常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，并构造半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件. 归纳总结 试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗? 垂径定理的实际应用 解得 R ≈ 27.3. 即赵州桥主桥拱的半径约为 27.3 m. ∴ R2 = (R - 7.23)2 + 18.52， 解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23 m. 由垂径定理，得 AD = AB = 18.5 m， 设⊙O 的半径为 R m. 在 Rt△AOD 中，AO = R， OD = R - 7.23，AD = 18.5. 由勾股定理，得 练一练：如图 1、2，一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为＿_＿＿__cm. C 图 2 D C B O A D O A B 图 1 2 或 12 指弧中点到弦的距离 在圆中有关弦长 a，半径 r， 弦心距 d（圆心到弦的距离），弓形高 h 的计算题，常常通过连半径或作垂线构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 方法归纳 涉及垂径定理时辅助线的添加方法 弦 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r之间有以下关系： 弓形中重要数量关系 A B C D O h r d d+h=r O A B C · 1.已知⊙O中，弦 AB = 8 cm，圆心到 AB 的距离为 3 cm，则此圆的半径为 cm . 5 2.⊙O 的直径 AB = 20 cm， ∠BAC = 30°，则弦 AC = cm. 当堂练习 D · O A B C E 3. 如图，在⊙O 中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，求证：四边形 ADOE 是正方形． 证明：∵ OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC， ∴ 四边形 ADOE 为矩形， 又∵ AC = AB， ∴ AE = AD. ∴ 四边形 ADOE 为正方形. ∴∠OEA =∠EAD =∠ODA = 90°. 4. 如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点. 你认为 AC 和 BD 相等吗？为什么？ 解：AC = BD. 理由如下： 过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E. 则 AE = BE，CE = DE. ∴ AE－CE = BE－DE， 即 AC = BD. . A C D B O E 方法总结：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，这是一种常见辅助线的添法． 解：连接 OC，如图. ● O C D E F ┗ 根据勾股定理，得 5. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中的 ，点 O 是 的圆心)，其中 CD = 600 m，E 为 上的一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF = 90 m. 求这段弯路的半径. 则 OF = (R - 90) m. ∵ OE⊥CD，∴ CF = CD = 300 (m). 设这段弯路的半径为 R m， 解得 R = 545. ∴ 这段弯路的半径约为 545 m. ∴ 拓展提升： 如图，⊙O 的直径为 10，弦 AB = 8，P 为 AB 上的一个动点，那么 OP 长的取值范围 . 3 ≤OP≤5 B A O P 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） 垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧. 两条辅助线：连半径，作垂线 构造直角三角形利用勾股定理计算或建立方程 基本图形及变式图形 课堂小结 $