26.3 第3课时 利用两个函数的图象求方程（组）和不等式的解（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学课件聚焦“利用两个函数的图象求方程(组)和不等式的解集”，通过复习一次函数与方程、不等式的关系，过渡到二次函数与直线交点问题，搭建新旧知识联系的学习支架，帮助学生逐步理解函数图象与代数问题的转化。 其亮点在于通过合作探究、多方法解决问题（如例1用三种函数图象法求近似根），结合归纳总结函数与方程、不等式的对应关系，培养学生的几何直观和推理能力。采用典例精析与当堂练习结合的方式，让学生在实践中发展数学语言表达能力，既帮助学生深化知识理解，也为教师提供高效的教学资源。

26.3 实践与探索 第26章 二次函数 第3课时 利用两个函数的图象求方程(组)和不等式的解集 优翼九下数学教学课件（RJ） 复习引入 1. 已知一次函数 y = ax + b 的图象经过 A(2，0)， B(0，-1) 两点，则关于 x 的一元一次方程 ax + b = 0 的解为_______；关于 x 的一元一次不等式 ax + b≤0 的解集为_________. x = 2 x≤2 1 1 2 x y A B O 导入新课 2. 已知一次函数 y1 = ax + b 的图象经过 A(2，0)， B (0，-1) 两点，y2 = kx + c 的图象经过 A(2，0)，C(0，2) 两点，则关于 x、y 的二元一次方程组 关于 x 的一元一次不等式 ax + b≤kx + c 的解集 为_________. 的解为_______； 1 1 2 y2 y1 x y A B C O 3.已知二次函数 y = x2 + 5x - 6，该函数图象与 y 轴的交点坐标为_______，与 x 轴的交点坐标为_________________；根据图象可知当____________ 时，y＞0. x -6 1 y (0，-6) (-6，0)，(1，0) x＜-6 或 x＞1 O 4.已知二次函数 y = ax2 + bx+ c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2 + bx+ c = 0 的解为_____________；当 时 y＜0；当_______时 y 随 x 的增大而减小. x1 = -4，x2 = 2 x < -4 或 x > 2 x > -1 -4 2 x y -1 O 通过观察以下图象，一元二次方程 ax2 + bx+ c = 0 的解是_______________. 合作探究 x y k2 k1 二次函数 y = ax2 + bx+ c 的图象如图所示： x1 = k1，x2 = k2 二次函数的图象与 x 轴的交点. y = 0 利用两个函数图象求方程或方程组的解 O 新课讲授 问题1 二次函数 y = ax2 + bx+ c 的图象与 x 轴 (直线 y = 0) 的交点的横坐标是一元二次方程 ax2 + bx+ c = 0 的根，那么二次函数 y = ax2 + bx + c 与直线 y = h 的交点的横坐标是否也是某一个一元二次方程的根呢？ A (x1，ax2 + bx+ c) x y 思考：点 A 的坐标有几种表示方式？ 答：是方程 ax2 + bx + c = h 的实数根. O x2 x1 或 (x1，h) A B x y x1 x2 问题2 如图，二次函数 y = ax2 的图象与一次函数 的图象交于两点，观察以下图象，你能得到哪些信息？ x1 ，x2 可以看做是方程 ax2 = bx + c 的解. (x1，y1 )， (x2，y2 ) 也可以看做是方程组 的解. 2 x y -2 O 1 -3 -4 -4 -6 -8 典例精析 例1 利用二次函数的图象求一元二次方程 x2 + 2x - 1 = 3 的近似根. 解：① 原方程可变形为 x2 + 2x - 4 = 0； ③观察估计抛物线 y = x2 + 2x - 4 和 x 轴的交点 的横坐标. ② 用描点法作二次函数 y = x2 + 2x - 4 的图象； y = x2 + 2x - 4 由图象可知，它们有两个交点，其横坐标一个在 -4 与 -3 之间，另一个在 1 与 2 之间，分别约为 -3.2 和 1.2. ④ 由此可知，一元二次方程 x2 + 2x - 1 = 3 的近似根为：x1≈3.2，x2≈1.2. 想一想：还有没有别的办法求这个方程的近似根？ ① 用描点法作二次函数 y = x2 + 2x - 1 的图象； ③ 观察估计抛物线 y = x2 + 2x - 1 和直线 y = 3 的交点的横坐标； ② 作直线 y = 3； 方法二： 2 x y 2 4 1 -3 -4 O -2 由图象可知，它们有两个交点，其横坐标一个在 -4 与 -3 之间，另一个在 1 与 2 之间，分别约为 -3.2 和 1.2. ④ 由此可知，一元二次方程 x2 + 2x - 1 = 3 的近似根为 x1≈3.2，x2≈1.2. y=x2+2x-4 y = 3 方法三： ① 作二次函数 y = x2 的图象； ② 作一次函数 y = -2x + 4 的图象； ③ 观察估计抛物线 y = x2 和直线 y = -2x + 4 的交点的横坐标； 由图象可知，它们有两个交点，其横坐标一个在 -4 与 -3 之间，另一个在 1 与 2 之间，分别约为 -3.2 和 1.2. 2 x y 2 4 1 -3 -4 o -2 ④ 由此可知，一元二次方程 x2 + 2x - 1 = 3 的近似根为 x1≈3.2，x2≈1.2. y=x2+2x-4 y = 3 两个函数图象的交点坐标就是对应函数表达式所组成的方程组的解. 函数表达式对应方程的根，就是该函数图象与 x 轴交点的横坐标； 归纳总结 例2 已知抛物线 (a＞0) 与直线 相交于点 O（0，0）和点 A（3，2），求不等式 的解集. 分析：根据题目提供的条件，无法求出抛物线的表达式.因此，我们可以换一个思路，利用函数的图象来判求不等式的解集. 利用两个函数图象求不等式的解集 解：根据题目提供的条件，画出草图： x y O 3 2 由图可知，不等式 的解集为 或 . 方法归纳 已知函数 y1＝x2 与函数 的图象大致如图，若 y1＜y2，则自变量 x 的取值范围是( ) 做一做 A. C. B. 或 D. 或 A 解析：先根据方程 求出图象交点的横坐标，然后再结合图象，得出答案. 1.若二次函数 y = x2 + bx 的图象的对称轴是经过点 (2，0) 且平行于 y 轴的直线，则关于 x 的方程 x2 + bx = 5 的解为 ( ) A. x1 = 0，x2 = 4 B. x1 = 1，x2 = 5 C. x1 = 1，x2 = -5 D. x1 = -1，x2 = 5 D 当堂练习 2.若二次函数 y = ax2 + bx + c (a＜0) 的图象经过点 (2，0)，且其对称轴为 x = -1，则使函数值 y＞0 成立的 x 的取值范围是( ) A. x＜-4 或 x＞2 B. -4≤x≤2 C. x≤-4 或 x≥2 D. -4＜x＜2 D 3.二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0，a，b，c 为常数)的图象如图所示，则方程 ax2 + bx + c = m 有实数根的条件是( ) A. m≥-2 B. m≥5 C. m≥0 D. m≥4 解析：方程 ax2 + bx + c = m 有实数根，即表示二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与直线 y = m 有交点. A x y 4 O 5 -2 解：y1 = kx + 1 经过点 A(1，0)， 则 0 = k + 1，解得 k = -1. y2 = ax2 + bx - 2 经过点 A(1，0)， 则 0 = a + b - 2 ①. 抛物线的对称轴是 ，故 ②，联立①②，解得 4. 如图，一次函数 y1= kx + 1 与二次函数 y2 = ax2 + bx - 2 交于 A、B 两点，且 A (1，0)，抛物线的对称轴是 (1) 求 k 和 a、b 的值； x y A O B (2) 求不等式 kx + 1＞ax2 + bx - 2 的解集. 解：解方程 -x + 1 = x2 + x - 2，得 x1 = -6，x2 = 1. ∴ 点 B 的横坐标为 -6. 根据图象可以看出， kx + 1＞ax2 + bx - 2 的解集为 -6＜x＜1. x y A O B 变 形 函数图象交点的横坐标 变 形 函数图象交点的横坐标 课堂小结 变形 变形 解集是抛物线图象在直线下方的点的横坐标所组成的取值范围 解集是抛物线图象在直线上方的点的横坐标所组成的取值范围 $