26.2.2 第5课时 图形面积的最大值（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学课件聚焦二次函数图象与性质，核心讲解图形面积最大值问题，通过复习引入表格对比a值对函数性质的影响，结合“做一做”练习巩固抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标，搭建从二次函数基础到面积最值应用的学习支架。 其亮点在于以合作探究和典例变式培养数学眼光与思维，如通过篱笆围矩形场地及靠墙变式，引导学生抽象函数模型，分析自变量范围对最值的影响，小结提炼“建立函数关系式”关键和“注意自变量范围”要点，助力学生提升应用能力，也为教师提供结构化教学资源。

26.2 二次函数的图象与性质 第26章 二次函数 第5课时 图形面积的最大值 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 优翼九下数学教学课件（HS） 复习引入 y=ax2+bx+c a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 当x位于对称轴左侧时，y随x的增大而减小；x位于对称轴右侧时，y随x的增大而增大. 当x位于对称轴右侧时，y随x的增大而减小；x位于对称轴左侧时，y随x的增大而增大. 直线 直线 导入新课 做一做 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. （1）y = x2 - 4x - 5; (2) y = -x2 - 3x + 4. 解：(1) 开口方向：向上；对称轴：x = 2； 顶点坐标：(2，-9). (2) 开口方向：向下；对称轴：x = ； 顶点坐标：( ， ). 合作探究 问题1 二次函数 的最值由什么决定？ x y O x y O 最小值 最大值 二次函数 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定. 求二次函数的最大（或最小）值 新课讲授 问题2 当自变量 x 为全体实数时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值是多少？ 当 a＞0 时，有 ，此时 ； 当 a＜0 时，有 ，此时 . 问题3 当自变量 x 限定范围时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值如何确定？ 先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在 x = 时取得一个最值，另一个最值需考察限定范围的端点处来决定；若不在，则根据二次函数的增减性确定其最值. 例1 求下列函数的最大值与最小值： x O y 解： -3 1 (1) ∴ 当 时，有 当 时，有 典例精析 解： O x y 1 -3 (2) ∴ 当 x = -3 时，有 ∴ 当 -3≤x≤1 时 y 随着 x 的增大而减小. 当 x = 1 时，有 方法归纳 当自变量的范围有限制时，二次函数 的最值可以根据以下步骤来确定： 1. 配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴； 2. 画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明 x 的取值范围； 3. 判断，判断 x 的取值范围与对称轴的位置关系，根据二次函数的性质及图象，确定当 x 取何值时函数有最大或最小值，然后根据 x 的值，求出函数的最值. 典例精析 例2 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S (m2) 随矩形一边长 l (m) 的变化而变化. 当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？ 问题1 矩形面积公式是什么？ 问题2 如何用 l 表示另一边？ 问题3 面积 S 的函数关系式是什么？ 矩形面积 = 长×宽 另一边长为 (30 − l) m S = (30−l)l = −l2+30l 几何图形的最大面积 问题4 当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？ 解：根据题意得 S = l (30 - l) = -l2 + 30l (0＜l＜30)， 当 时， 有 S最大值 = 也就是说，当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大. 5 10 15 20 25 30 100 200 l/m S/m2 O 变式1 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ x x 60 - 2x 问题2 我们可以设面积为 S，如何设自变量？ 问题3 面积 S 的函数关系式是什么？ 问题1 变式 1 与例 2 有什么不同？ S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x＝－2(x－15)2＋450. 设垂直于墙的一边长为 x 米 篱笆长不等于周长 (少了一边) 12 问题4 如何求自变量 x 的取值范围？墙长 32 m 对此题有什么作用？ 问题5 如何求面积 S 的最大值？ 最大值在其图象顶点处， 即当 x = 15 m 时，有 S最大值 = 450 m2. 0＜60－2x≤32，即 14≤x＜30. x x 60 - 2x 变式2 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ x 问题1 变式 2 与变式 1 有什么异同？ 问题2 可否模仿变式 1 设未知数、列函数关系式？ 问题3 可否试设与墙平行的一边长为 x 米？则如何表示另一边长与面积？ 答案：设矩形面积为 S m2，与墙平行的一边为 x 米，则 14 问题4 当 x = 30 时 S 取最大值吗？为什么？ 问题5 如何求自变量的取值范围？ 0 ＜ x ≤18. 问题6 如何求面积最大值？ 由于 30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当 x = 18 m 时，S 有最大值是 378 m2. 不是，未考虑 x 的实际范围. 15 例3 用长为 6 米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框. 窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计） x 解：设矩形窗框的宽为 x m， 则高为 m. 由于 这里应有 x＞0，故 0＜x＜2. 矩形窗框的透光面积 y 与 x 之间的函数关系式是 即 配方得 所以，当 x = 1 时，函数取得最大值，y最大值 = 1.5. 这时 因此，所做矩形窗框的宽为 1 m、高为 1.5 m 时，它的透光面积最大，最大面积是 1.5 m2. 实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围确定. 通过变式 1 与变式 2 的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际意义的最值. 方法总结 知识要点 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1. 求出函数解析式和自变量的取值范围； 2. 当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式 求它的最大值或最小值； 3. 当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式， 然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的 范围求函数最值. 1. 如图1，用长 8 m 的铝合金条制成如图的矩形窗框，那么最大的透光面积是 m2. 图1 当堂练习 2.如图1，在△ABC 中， ∠B = 90°，AB = 12 cm，BC = 24 cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B 以 2 cm/s 的速度移动(不与点 B 重合)，动点 Q 从点 B 开始沿 BC 以 4 cm/s 的速度移动(不与点 C 重合). 如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么经过 s，四边形 APQC 的面积最小. 3 A B C P Q 图1 3. 某广告公司设计一幅周长为 12 m 的矩形广告牌，广告设计费用每平方米 1000 元，设矩形的一边长为x(m),面积为 S (m2). (1) 写出 S 与 x 之间的关系式，并写出自变量 x 的取值范围； 解：(1) 因为矩形一边长为 x，则另一边长为(6 - x)， ∴ S = x(6 - x) = -x2 + 6x，其中 0＜x＜6. 解：S = -x2 + 6x = -(x - 3)2 + 9. ∴ 当 x = 3，即矩形的一边长为 3 m 时，矩形的面积最大，为 9 m2. 这时设计费最多，为 9×1000 = 9000 (元). (2) 请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用. 图形面积的最大值 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，要根据自变量的范围，利用函数的增减性来确定 课堂小结 $