26.2.2 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质，通过复习顶点式y=a(x-h)²+k的开口方向、顶点坐标等性质，以问题链引导学生将一般式转化为顶点式，搭建前后知识衔接的学习支架。 其亮点在于通过“提、配、化”三步配方法教学，结合实例（如y=1/2x²-6x+21配方）和练一练强化转化能力，培养运算能力与推理意识。通过系数a、b、c与图象关系的探究（如例3分析图象得abc符号），发展抽象能力与应用意识，帮助学生深化理解，教师可高效开展教学。

26.2 二次函数的图象与性质 第26章 二次函数 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 优翼九下数学教学课件（HS） 复习引入 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 向上 向下 (h，k) (h，k) x = h x = h 当 x＜h 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x＞h 时 y 随着 x 的增大而增大. 当 x＜h 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x＞h 时，y 随着 x 的增大而减小. x = h 时，y最小值 = k x = h 时，y最大值 = k 抛物线 y = a(x - h)2 + k 可以看作由抛物线 y = ax2 经过平移得到 导入新课 顶点坐标 对称轴 最值 y = -2x2 y = -2x2 - 5 y = -2(x + 2)2 y = -2(x + 2)2 - 4 y = (x - 4)2 + 3 y = -x2 + 2x y = 3x2 + x - 6 (0，0) y 轴 0 (0，-5) y 轴 -5 (-2，0) 直线 x = -2 0 (-2，-4) 直线 x = -2 -4 (4，3) 直线 x = 4 3 ? ? ? ? ? ? 合作探究 我们已经知道 y =a(x-h)2+k 的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？ 问题1 怎样将 化成 y=a(x-h)2+k 的形式？ 二次函数 y=ax2+bx+c的图象和性质 新课讲授 配方 想一想：配方的方法及步骤是什么？ 配方 你知道是怎样配方的吗？ (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 提示:配方后的关系式通常称为配方式或顶点式. 问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？ 答：对称轴是直线 x = 6，顶点坐标是（6，3）. 问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？ 答：平移方法1： 先向上平移 3 个单位，再向右平移 6 个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位得到的. 问题4 如何用描点法画二次函数 的图象？ … … … … 9 8 7 6 5 4 3 x 解：先利用图形的对称性列表 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 5 10 x y 5 10 然后描点画图，得到图象 如右图. O 问题5 结合二次函数 的图象，说出其增减性. 5 10 x y 5 10 x=6 当 x＜6 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大. O 例1 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质. x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y ··· ··· -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 解: 函数 通过配方可得 ， 先列表： 典例精析 2 x y -2 O 4 -2 -4 -4 -6 -8 然后描点、连线，得到图象如下图. 由图象可知，这个函数具有如下性质： 当 x＜1 时，函数值 y 随x 的增大而增大； 当 x＞1 时，函数值 y 随x 的增大而减小； 当 x = 1 时，函数取得最大值，最大值 y = -2. 求二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴和顶点坐标. 因此，二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴是直线 x = 2，顶点坐标为(2，-1). 解： 练一练 我们如何用配方法将一般式 y = ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式 y = a(x-h)2+k？ 将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k y = ax² + bx + c 要点归纳 二次函数 y=ax2+bx+c的图象和性质 1.一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 的可以通过配方化成 y = a(x - h)2 + k 的形式，即 因此抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点坐标是 对称轴是直线 (1) x y O 如果 a > 0，当 x < 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x > 时，y 随 x 的增大而增大；当 x = 时，函数达到最小值，最小值为 . 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 (2) x y O 如果 a < 0，当 x < 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x > 时，y 随 x 的增大而减小；当 x = 时，函数值达到最大，最大值为 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 例2 已知二次函数 y =－x2＋2bx＋c，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是( ) A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1 解析：由题设可知， 当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小， ∴抛物线 y =－x2＋2bx＋c 的对称轴应在直线 x = 1 的 左侧，而抛物线 y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，即 b≤1，故选 D. D 填一填 顶点坐标 对称轴 最值 y = -x2 + 2x y = -2x2 - 1 y = 9x2 + 6x - 5 (1，1) x = 1 最大值 1 (0，-1) y 轴 最大值 -1 最小值 -6 ( ，-6) 直线 x = 合作探究 问题1 一次函数 y = kx + b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空： x y O y=k1x+b1 x y O y=k3x+b3 y=k2x+b2 k1 ___ 0 b1 ___ 0 k3 ___ 0 b3 ___ 0 ＜ ＞ ＞ ＜ k2 ___ 0 b2 ___ 0 ＞ ＞ 二次函数的图象与系数的关系 x y O 问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： a1 ___ 0 b1___ 0 c1___ 0 a2___ 0 b2___ 0 c2___ 0 ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＝ 开口向上，a＞0 对称轴在 y 轴左侧， 对称轴在 y 轴右侧， x=0 时，y=c x y O a3___ 0 b3___ 0 c3___ 0 a4___ 0 b4___ 0 c4___ 0 ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ ＜ 开口向下，a＜0 对称轴是 y 轴， 对称轴在 y 轴右侧， x =0时，y =c. 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 a、b、c 的关系 字母符号 图象的特征 a＞0 开口_____________________ a＜0 开口_____________________ b=0 对称轴为_____轴 a、b 同号 对称轴在 y 轴的____侧 a、b 异号 对称轴在 y 轴的____侧 c=0 经过原点 c＞0 与 y 轴交于_____半轴 c＜0 与 y 轴交于_____半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 要点归纳 例3 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4 D 【解析】由图象开口向下可得 a＜0， 由对称轴在 y 轴左侧可得 b＜0， 由图象与 y 轴交于正半轴可得 c＞0， 则 abc＞0，故①正确； 由对称轴 x >－1可得 2a－b＜0，故②正确； 则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0， 即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2， 故④正确．故正确的结论是①②③④. 选 D. 由图象上横坐标为 x＝－2 的点在第三象限 可得 4a－2b＋c＜0，故③正确； 由图象上 x＝1 的点在第四象限得 a＋b＋c＜0， 由图象上 x＝－1 的点在第二象限得 a－b＋c＞0， 练一练 二次函数 的图象如图，反比例函数 与正比例函数 在同一坐标系内的大致图象是（ ） 解析：由二次函数的图象得知a＜0，b＞0.故反比例函数的图象在二、四象限， 正比例函数的图象经过一、三象限. 故选C. C 1.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的 x、y的部分对应值如下表： x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 A. y 轴 B.直线 x= C. 直线 x = 2 D.直线 x= 则该二次函数图象的对称轴为( ) D 当堂练习 O y x –1 –2 3 2.已知二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0) 的图象如图所示，则下列结论： (1) a、b 同号； (2) 当 x = –1 和 x = 3 时，函数值相等； (3) 4a + b = 0； (4) 当 y = –2 时，x 的值只能取 0； 其中正确的是 . 直线 x = 1 （2） 3.如图是二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0) 图象的一部分，x= -1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若 (-3，y1)，( ，y2) 是抛物线上两点，则 y1 > y2.其中正确的是( ) A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④ x y O 2 x= -1 B 4.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标： 直线 x = 3 直线 x = 8 直线 x = 1.25 直线 x = 0.5 顶点： 对称轴： y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) 课堂小结 $