第26章 二次函数 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学课件系统梳理了二次函数的概念、图象、表达式、性质及应用，通过要点梳理分模块呈现核心知识，结合表格对比不同形式的对称轴、顶点坐标等性质，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于设置七大考点例题与方法总结，如用配方和公式法求顶点培养运算能力，通过面积最值问题强化模型意识，针对训练分层设计满足不同学情。这种设计助力学生巩固知识，教师可精准开展复习教学。

小结与复习 第26章 二次函数 优翼九下数学教学课件（HS） 1. 二次函数的概念 一般地，形如　 (a，b，c是常数， 　 　)的函数，叫做二次函数． y＝ax2＋bx＋c a ≠ 0 [注意] (1) 等号右边必须是整式；(2) 自变量的最高次数是 2；(3) 当 b＝0，c＝0 时，y＝ax2 是特殊的二次函数． 2. 二次函数的图象 二次函数的图象是一条　 ，它是　 对称图形，其对称轴平行于_____轴. 抛物线 轴 y 要点梳理 (1) 一般式：____________________； 3. 二次函数的表达式 y = ax2 + bx + c (a≠0) (2) 顶点式：____________________； y = a(x - h)2 + k (a≠0) (3) 交点式： . y = a(x - x1)(x - x2) (a≠0) 4. 二次函数的平移 一般地，平移二次函数 y＝ax2 的图象可得到二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象． y＝ax2 上、下平移 y＝ax2 左、右平移 左、右平移 上、下平移 上、下移且左、右移 [注意] 抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律： 左加右减，上加下减． 二次函数 y = a(x − h)2 + k y = ax2 + bx + c 开口 方向 对称轴 顶点坐标 最值 a＞0 a＜0 增减性 a＞0 a＜0 5. 二次函数的图象与性质： a＞0 时开口向上 a＜0 时开口向下 x = h (h，k) y最小 = k y最大 = k 在对称轴左边 x↗y↗，在对称轴右边 x↗y↘ 在对称轴左边 x↗y↘ ，在对称轴右边x↗y↗ y最小= y最大= 6.二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系： b2-4ac 的符号 二次函数 y = ax2+bx+c (a＞0) 的图象 一元二次方程 ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) 的根 不等式 ax2+bx+c＞0 (a＞0)的解集 不等式 ax2+bx+c＜0 (a＞0)的解集 x2 x1 x y O O x1= x2 x y O y x b2-4ac＞0 b2-4ac＝0 b2-4ac＜0 x1，x2 x1 = x2 = 没有实数根 x＜x1 或 x＞x2 x ≠ x1 全体实数 x1＜x＜x2 无解 无解 考点一 求抛物线的顶点、对称轴、最值 例1 抛物线 y＝x2－2x＋3 的顶点坐标为_______． 【解析】 方法一：配方，得 y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 则顶点坐标为 (1，2)． 方法二：代入公式 ， ， 则顶点坐标为(1，2)． (1，2) 考点讲练 解决此类题目可以先把二次函数 y＝ax2＋bx＋c 配方为顶点式 y＝a(x－h)2＋k 的形式，得到其对称轴是直线 x＝h，顶点坐标为 (h，k)，当自变量范围没有限制时，其最值为 y＝k；也可以直接利用公式求解. 方法归纳 1. 对于 y＝2(x－3)2＋2 的图象，下列叙述正确的是 (　 ) A. 顶点坐标为 (－3，2) B. 对称轴为 y＝3 C. 当 x≥3 时，y 随 x 的增大而增大 D. 当 x≥3 时，y 随 x 的增大而减小 C 针对训练 y x 考点二 二次函数的图象与性质及函数值的大小比较 例2 二次函数 y＝-x2＋bx＋c 的图象如图所示，若点 A(x1，y1)，B(x2，y2) 在此函数图象上，且 x1＜x2＜1，则 y1 与 y2 的大小关系是 (　　) A. y1≤y2 B. y1＜y2 C. y1≤y2 D. y1＞y2 【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是 x＝1，当 x＜1时，y 随 x 的增大而增大. ∵ x1＜x2＜1，∴ y1＜y2. B 当二次函数的表达式与已知点的坐标中含有未知字母时，可以用如下方法比较函数值的大小： (1) 用含有未知字母的代数式表示各函数值，然后进行比较； (2) 在相应的范围内取未知字母的特殊值，采用特殊值法求解； (3) 根据二次函数的性质，结合函数图象比较. 方法总结 2. 下列函数中，当 x＞0 时，y 值随 x 值增大而减小的是（ ） A. y = x2 B. y = x - 1 C. D. y = -3x2 D 针对训练 例3 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　 B．2　　　　　 C．3　　　 D．4 y x 考点三 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a ≠ 0) 的图象与系数 a，b，c 的关系 ①abc＞0 解析：由图象开口向下可得 a＜0，由对称轴在 y 轴左侧可得 b＜0，由图象与 y 轴交于正半轴可得 c＞0， 则 abc＞0，故①正确. y x ②2a－b＜0 由对称轴 x＞－1 可得 2a－b＜0，故②正确. ③4a－2b＋c＜0 由图象上横坐标为 x＝－2 的点在第三象限可得 4a－2b＋c＜0，故③正确 由图象上横坐标为 x＝1 的点在第四象限得 a＋b＋c＜0，由图象上横坐标为 x＝－1 的点在第二象限得 a－b＋c＞0，则 (a＋b＋c)(a－b＋c)＜0， 即 (a＋c)2－b2＜0， 所以 (a＋c)2＜b2， 故④正确. 故选 D. y x ④(a＋c)2＜b2 方法总结 1. 可根据对称轴的位置确定 b 的符号： b＝0 ⇔ 对称轴是 y 轴； a、b 同号 ⇔ 对称轴在 y 轴左侧； a、b 异号 ⇔ 对称轴在 y 轴右侧. 这个规律可简记为“左同右异”. 2. 当 x＝1 时，函数值 y＝a＋b＋c， 当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴上方时，a＋b＋c＞0；当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴上时，a＋b＋c＝0； 当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴下方时，a＋b＋c＜0. 同理，可由图象上横坐标 x＝－1，±2 的点判断 a－b＋c，4a±b＋c 的符号. 针对训练 解析：∵二次项系数为－1＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为 由题意知，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，∴抛物线的对称轴应在直线 x = 1 的左侧. 3. 已知二次函数 y =－x2＋2bx＋c，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是 ( ) A. b≥－1 B. b≤－1 C. b≥1 D. b≤1 D x y O b 1 ∴ b≤1. 如图所示. 考点四 抛物线的几何变换 例4 将抛物线 y＝x2－6x＋5 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线解析式是 (　 ) A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－5 【解析】因为 y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的解析式为 y＝(x－3－1)2－4＋2，即 y＝(x－4)2－2. 故选 B. B 4. 若抛物线 y =－7(x + 4)2－1 平移得到 y =－7x2，则可以（ ） A. 先向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 B. 先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 C. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位 D. 先向右平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位 B 针对训练 考点五 二次函数表达式的确定 例5 已知关于 x 的二次函数，当 x = -1 时，函数值为 10；当 x = 1 时，函数值为 4；当 x = 2 时，函数值为 7.求这个二次函数的表达式. 待定系数法 解：设所求的二次函数为 y = ax2 + bx + c，由题意得 解得 a = 2，b = -3，c = 5. ∴ 所求的二次函数表达式为 y = 2x2 - 3x + 5. 方法总结 1. 若已知图象上的任意三个点，则设一般式求表达式； 2. 若已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最值时，则可设顶点式求表达式，最后化为一般式； 3. 若已知二次函数图象与 x 轴的交点坐标为 (x1，0)、(x2，0) 时，可设交点式求表达式，最后化为一般式. 5. 已知抛物线 y = ax2 + bx + c 与抛物线 y =－x2－3x + 7 的形状相同，顶点在直线 x = 1 上，且顶点到 x 轴的距离为 5，请写出满足此条件的抛物线的表达式. 解：由题意，得 a = ±1. 又∵ 顶点在直线 x = 1 上，且到 x 轴的距离为 5， ∴ 顶点为 (1，5) 或 (1，－5). ∴ 表达式可为： (1) y = (x－1)2 + 5； (2) y = (x－1)2－5； (3) y =－(x－1)2 + 5；(4) y =－(x－1)2－5. 针对训练 例6 若二次函数 y = x2 + mx 的对称轴是 x = 3，则关于 x 的方程 x2 + mx = 7 的解为（　　） A．x1 = 0，x2 = 6 B．x1 = 1，x2 = 7 C．x1 = 1，x2 = -7 D．x1 = -1，x2 = 7 解析：∵二次函数 y = x2 + mx 的对称轴是 x = 3， ∴ = 3，解得 m = －6. ∴ 关于 x 的方程 x2 + mx = 7 可化为 x2－6x－7 = 0， 即 (x + 1)(x－7) = 0，解得 x1 = －1，x2 = 7． 故选 D． 考点六 二次函数与一元二次方程 D 例7 某广告公司设计一幅周长为 12 m 的矩形广告牌，广告设计费用每平方米 1000 元，设矩形的一边长为 x (m)，面积为 S (m2). (1) 写出 S 与 x 之间的关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2) 请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用. 考点七 二次函数的应用 解：(1) 设矩形一边长为 x，则另一边长为 (6 - x)， ∴ S = x(6 - x) = -x2 + 6x，其中 0＜x＜6. (2) S = -x2 + 6x = -(x - 3)2 + 9， ∴ 当 x = 3 时，即矩形的一边长为 3 m 时， 矩形面积最大，为 9 m2. 这时设计费最多，为 9×1000 = 9000 (元). 二次函数 图象画法 抛物线的开口方向 抛物线的顶点坐标和对称轴 二次函数的性质 抛物线的平移 最值 确定 表达式 应用 课堂小结 见教材章末练习 课后作业 $