26.2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=a(x-h)^2+k\)的图象与性质，课堂导入通过复习\(y=ax^2\)等基础形式的开口方向、对称轴等性质，结合\(y=-2x^2\)平移实例，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生自然过渡。 其亮点在于通过列表描点画图、性质对比表格及喷水池高度计算等实际问题建模，培养学生几何直观、模型意识与推理能力。课堂小结结构化梳理平移规律与性质，帮助学生系统掌握，既提升学生数学思维，也为教师提供清晰教学路径。

26.2 二次函数的图象与性质 第26章 二次函数 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 优翼九下数学教学课件（HS） (1) y = ax2； (2) y = ax2 + k； (3) y = a(x - h)2. 复习引入 1. 说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况： y y y y x x x x O O O O y y y y x x x x O O O O y y x x O O 导入新课 2. 请说出抛物线 y = -2x2 的开口方向、顶点坐标、对称 轴及最值. 3.把 y = -2x2的图象 向上平移3个单位长度 y=-2x2+3 向左平移2个单位长度 y=-2(x+2)2 4. 请猜测一下，二次函数 y = -2(x + 2)2 + 3 的图象是否可以由 y = -2x2 平移得到？学完本课时你就会明白. 开口向上，顶点坐标是 (0，0)，对称轴是 y 轴，y最大值 = 0 例1 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标. 探究归纳 二次函数 y=a(x - h)2 + k 的图象和性质 新课讲授 … … … … 2 1 0 -1 -2 -3 -4 x 解：先列表； 再描点、连线. -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 2 4 x -2 -4 -6 y O -2 -4 直线 x = -1 开口向下； 对称轴是直线 x = -1； 顶点坐标是 (-1，-1). 试一试 画出二次函数 y = 2(x + 1)2 - 2 的图象，并说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标. 开口向上； 对称轴是直线 x = -1； 顶点坐标是 (-1，-2). -2 2 x y O -2 4 6 8 -4 2 4 二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 x = h 直线 x = h 顶点坐标 （h，k） （h，k） 最值 当 x = h 时，y最小值 = k 当 x = h 时，y最大值 = k 增减性 当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小；x＞h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x＜h 时，y 随 x 的增大而增大；x＞h 时，y 随 x 的增大而减小. 知识要点 顶点式 例1 已知二次函数 y＝a(x－1)2－k 的图象如图所示，则一次函数 y＝ax＋k 的大致图象是 (　　) 解析：根据二次函数开口向上得 a＞0，根据 －k 是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出 k＞0，故一次函数 y＝ax＋k 的图象经过第一、二、三象限．故选 A. A 典例精析 例2 已知二次函数 y＝a(x－1)2－4 的图象经过点 (3，0). (1) 求 a 的值； (2) 若 A (m，y1)、B (m＋n，y2) (n＞0) 是该函数图象上的两点，当 y1＝y 2 时，求 m、n 之间的数量关系. (1) 将 (3，0) 代入二次函数解析式，得 0＝4a－4， (2) 方法一： 根据题意，得 y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4. ∵ y1＝y2， ∴ (m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即 (m－1)2＝(m＋n－1)2. ∵ n＞0，∴ m－1＝－(m＋n－1). 化简，得 2m＋n＝2. 解： 解得 a＝1. 方法二： ∵ 二次函数 y＝(x－1)2－4 的图象的对称轴为直线 x＝1，且图象上两点 A (m，y1)、B (m＋n，y2) (n＞0) 满足 y1＝y 2， ∴ 点 A，B 关于直线 x＝1 对称. ∴ m＋n－1＝1－m. 化简，得 2m＋n＝2. 方法总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的关系式，代入即可求得相关的参数值. 例3 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3 m， 水管应多长? C(3，0) B(1，3) A x O y 1 2 3 1 2 3 解：建立如图的平面直角坐标系， 点( 1，3 )是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数解析式为 ∵ 这段抛物线经过点 ( 3，0 )， ∴ 0 = a(3－1)2＋3. 解得 ∴ 抛物线的解析式为 y = a(x－1)2＋3 (0≤x≤3). 当 x = 0 时，y = 2.25. 答：水管长应为 2.25 m. a = - . 3 4 y = (x－1)2＋3 (0≤x≤3). 3 4 - 探究归纳 例4 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ 向左平移1个单位长度 平移方法1 1 个单位长度 向下平移 2 4 x -2 -4 y O -2 -4 二次函数 y=a(x+h)2+k 与 y=ax2(a≠0) 的关系 怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？ 平移方法2 向左平移 向下平移 1个单位 1 个单位 2 4 x -2 -4 y O -2 -4 知识要点 二次函数 y = ax2 与 y = a(x±h)2±k 的关系 图象的形状和开口方向均相同，可以通过互相平移得到. y = ax2 y = ax2±k y = a(x±h)2 y = a( x±h )2±k 上下 平移 左右 平移 上下 平移 左右 平移 平移规律(设 h＞0，k＞0)： 简记为： 上下平移， 常数项上加下减； 左右平移， 自变量左加右减. 二次项系数 a 不变. 1.请回答抛物线 y = 4(x－3)2＋7 由抛物线 y = 4x2 怎样平移得到? 由抛物线向上平移 7 个单位再向右平移 3 个单位得到的. 2. 如果一条抛物线的形状与 形状相同，且顶点坐标是(4，-2)，试求这个函数关系式. 练一练 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = 2(x＋3)2＋5 向上 (1，－2) 向下 向下 (3，7) (2，－6) 向上 直线 x = －3 直线 x = 1 直线 x = 3 直线 x = 2 (－3，5) y =－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y =－5(2－x)2－6 1. 完成下列表格： 当堂练习 2.把抛物线 y = -3x2 先向上平移 2 个单位，再向右平移1 个单位，那么所得抛物线是___________________. 4. 二次函数 y = -2x2 的图象如何平移得到二次函数 y = -2(x + 2)2 + 3 的图象？ 3.抛物线 y = -3x2+2 的图象向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，得到抛物线的关系式为______________ O x y 3 -2 O y 3 -2 x 5.已知一个二次函数图象的顶点为 A (-1，3)，且它是由二次函数 y = 5x2 平移得到，请直接写出该二次函数的关系式. y = 5(x - 1)2 + 3 一般地，抛物线 y = a( x - h )2 + k (a≠0) 与 y = ax2 (a≠0) 的形状相同，位置不同. 二次函数 y = a(x - h)2 + k (a ≠ 0) 的图象和性质 图象特点 当a＞0，开口向上；当a＜0，开口向下. 对称轴是 x = h， 顶点坐标是 (h，k) 平移规律 左右平移：自变量左加右减； 上下平移：常数项上加下减 课堂小结 $