7.2《平行线》导学案--2025-2026学年人教版数学七年级下册

7.2 平行线 一、平行线的概念 观察在同一平面内的三根木条，木条b、c不动，不断转动木条a，（把木条abc想象成直线），观察下图： 可以发现，在a转动过程中，存在a与b不相交的位置，在同一平面内，当直线ab不相交时，我们说直线ab互相平行，记作”a∥b“叫做平行线。 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，平行和相交． （对线段或射线来说，指的是它们所在的直线） 如图，过点B画直线a的平行线，能画出几条？ 再过点C画直线a的平行线，它和前面过点B画出的直线平行吗？ 解析：只能画一条．画出的这条直线与已知直线平行． 总结： 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（平行公理）。 也就是说，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（推论）。 符号表示为： ∵b∥a，c∥a，∴b∥c 练习1 1．下列说法正确的是（ ）． A.在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、垂直、平行三种 B.在同一平面内，不垂直的两直线必平行 C.在同一平面内，不平行的两直线必垂直 D.在同一平面内，不相交的两直线一定不垂直 2．直线a，b，c，d在同一平面内，且a∥b，c∥a，d∥b，c与d平行吗？为什么？ 3． 如图所示，在∠AOB内有一点P． （1）过P画l1∥OA； （2）过P画l2∥OB； （3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？ 作业1 1． 下列说法错误的有( ) ①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若a∥b，b∥c，那么a∥c；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中错误的有( )． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．已知三条直线a1，a2，a3，若a1⊥a3，a2∥a3，则a1与a2的关系是( )． A．a1∥a1 B．a1⊥a2 C．a1与a2重合 D．a1与a2斜交 3．直线l同侧有A，B，C三点，若过点A，B的直线l1和过点B，C的直线l2都与l平行，则A，B，C三点__________，理论依据是__________． 4．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，P是AB的中点，过点P作AD的平行线交DC于Q点 （1）PQ与BC平行吗？为什么？ （2）测量DQ与CQ的长，DQ与CQ是否相等？ 检测1 1．在同一平面内，下列说法中，错误的是( )． A．过两点有且只有一条直线 B．过一点有无数条直线与已知直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．在同一平面内有3条直线，若其中有两条且只有两条直线平行，则它们交点的个数为( )． A．0 B．1 C．2 D．3 3．如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，与棱AB平行的棱有________条，它们是________． 4．在下图的方格纸中： （1）找出互相平行的线段，并用符号表示出来； （2）用三角尺试着画出与CD平行的线段，并用符号表示出来． 5．读下列语句，并画出图形： （1）点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行，直线EF也经过点P，且与直线AB垂直． （2）直线AB，CD是相交直线，点P是直线AB，CD外一点，直线EF经过点P且与直线AB平行，与直线CD相交于点E． 二、平行线的判定 思考： 如右图，是以前学过的用直尺和三角尺画平行线的方法， 且∠1与∠2是同位角，那...... 总结结论： 1.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 即，同位角相等, 两直线平行 符号语言：∵∠1＝∠2（已知）， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）． 继续思考， ∠1与∠2是同位角，那么∠2与∠3，∠2与∠4具有怎样的位置关系？ 由同位角相等，可以判定两条直线平行，那么能否利用内错角， 或同旁内角来判定两条直线平行呢？ 推理过程： ∵∠2＝∠3（已知）而∠3＝∠1（对顶角相等）， ∴∠1＝∠2（等量代换）， ∴a∥b (同位角相等，两直线平行)． 总结结论： 2.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 即，内错角相等，两直线平行 推理过程： ∵∠2＋∠4＝180°（已知）而∠3＋∠4＝180°（邻补角的定义）， ∴∠2＝∠3（同角的补角相等）， ∴a∥b (内错角相等，两直线平行)． 总结结论： 3.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 即，同旁内角互补，两直线平行 练一练：如图，BE是AB的延长线． （1）由∠CBE＝∠A可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ （2）由∠CBE＝∠C可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ 例题精析 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗?为什么? 这两条直线平行．理由如下：如图， ∵ b⊥a，c⊥a(已知)， ∴∠1＝∠2＝90°(垂直定义)． ∴b∥c(同位角相等，两直线平行)． 练习2 1．如图，下列判断不正确的是（　 ）． A．因为∠1＝∠4，所以DE∥AB B．因为∠2＝∠3，所以AD∥EC C．因为∠5＝∠A，所以AB∥DE D．因为∠ADE＋∠BED＝180°，所以AD∥BE 2．如图，直线AB，CD被直线EF所截，使∠1=∠2≠90°，则（ 　）． A．∠2＝∠4 B．∠1＝∠4　　　　C．∠2＝∠3 D．∠3＝∠4 3.如图：∠1＝∠4，∠1＋∠3＝180°，则直线a，b，c的位置关系如何？ 作业2 1． 如右图： （1）如果∠1＝∠B，那么 ∥ ，根据是 ． （2）如果∠4＋∠D＝180°，那么 ∥ ，根据是 ． （3）如果∠3＝∠D，那么 ∥ ，根据是 ． （4）如果∠B＋∠ ＝180°，那么AB∥CD，根据是 ． （5）要使BE∥DF，必须∠1＝ ，根据是 ． 2．填空题． 如图∵∠1＝∠2 （已知）， ∴____∥____（     ）． 又∵∠1＝∠D（已知）， ∴_______＝∠D（       ）． ∴_____∥______（      ）． 检测2 1．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是( )． A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 2．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中能使直线a∥b的是( )． A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠5 3．如图，能判断EB∥AC的条件是( )． A．∠C＝∠ABE B．∠A＝∠EBD C．∠C＝∠ABC D．∠A＝∠ABE 4．如图，下列推理判断错误的是( )． A．因为∠1＝∠2，所以c∥d B．因为∠3＝∠4，所以c∥d C．因为∠1＝∠3，所以c∥d D．因为∠2＝∠3，所以a∥b 5．如图，因为∠ADE＝∠DEF(已知)， 所以AD∥__________( )． 又因为∠EFC＋∠C＝180°(已知)，所以EF∥__________( )， 所以__________∥__________( )． 三、平行线的性质 探究：用直尺和三角尺画两条平行线a∥b，然后，画一条截线c与这两条平行线相交，标出如图的角（下图）．并度量这些角的大小，如∠1=120°，∠2、∠3....... ∠1~∠8中，哪些是同位角？它们的度数之间有什么关系？ 由此猜想两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系？ 两条平行线被第三条直线所截，同位角 ，(相等) 内错角 ，（相等）同旁内角 ．（互补） 总结结论： 1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单地说: 两直线平行，同位角相等. 2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单地说: 两直线平行，内错角相等. 3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单地说: 两直线平行，同旁内角互补. 平行线的性质和判定的区别： 性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 例题讲解 如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝115°， 梯形的另外两个角分别是多少度？ 解：因为梯形上、下两底AB与DC互相平行， 根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠A与∠D互补，∠B与∠C互补． 于是，∠D＝180°－∠A＝80°，∠C＝180°－∠B＝65°． 练习3 1． 如图，添加 （只需写出一个条件） 可使AB∥CD，你的根据是 ． 2．如图，如果a∥b则下列结论：（1）∠1＝∠2；（2）∠1＝∠3；（3）∠3＝∠2正确的个数是（ ）． A．0个 　　B．1个 　 C．2个　 D．3个 3．如图，AB∥CD，∠D＝∠C，∠1＝45°，求∠B，∠C，∠D的度数． 4．如图，已知AB∥CD，∠B＝40°，∠BED＝100°，求∠D的度数． 作业3 1．如图，AD∥BC，∠B＝30°，DB平分∠ADE，则∠DEC的度数为（ ）． A．30° B．60° C．90° D．120° 2．如图，AB∥EF，BC∥DE，则∠E＋∠B的度数为________． 3．如图，AB∥CD，AE，DF分别是∠BAD，∠CDA的角平分线，AE与DF平行吗？为什么？ 检测3 1. 如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B=60°，下列结论成立的是(　　)． A． ∠C=60° B．∠DAB=60° C．∠EAC=60° D．∠BAC=60° 2．如图，已知AB∥CD，直线l分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝40°，则∠EGF的度数为(　　)． A．60°　　　　　 B．70° C．80° D．90° 3．已知两个角的两条边都平行，并且这两个角的差是90°，则这两个角分别为(　　)． A．60°，150° B．20°，110° C．30°，120° D．45°，135° 4．如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝__________°． 5．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，EG平分∠AEF，∠1＝40°，求∠2的度数． 答案 练习1： 1、 D． 2、解析：要判定c与d是否平行，可以考虑利用定义或平行公理解答． 答案：因为a∥b，c∥a，所以b∥c（两直线都与第三条直线平行，这两条直线也相互平行）． 又因为d∥b，所以c∥d（两直线都与第三条直线平行，这两条直线也相互平行）． 3、（1）（2）如图所示， （3） l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2＋∠O＝180°， 所以l1与l2的夹角与∠O相等或互补． 作业1： 1．A． 2．B．3．在一条直线上 经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 4．解：（1）平行．因为PQ∥AD，AD∥BC，所以PQ∥BC．（2）DQ＝CQ． 检测1： 1．B． 2．C． 3．3； A′B′，C′D′，CD． 4．解：（1）CD∥MN，GH∥PN．（2）略． 5．解：（1）如图①所示． （2）如图②所示． 练一练： 解：（1）由∠CBE＝∠A可以判定AD∥BC，理由是同位角相等，两直线平行． （2）由∠CBE＝∠C可以判定AB∥CD，理由是内错角相等，两直线平行． 练习2： 1、 C 2、D 3、解：因为∠1＝∠4（已知）， 所以a∥c （同位角相等，两直线平行）． 因为∠1＋∠3＝180°（已知）， ∠2＋∠3＝180°（互为邻补角）， 所以∠1＝∠2（同角的补角相等）． 所以a∥b（同位角相等，两直线平行）， 所以a∥b∥c（平行与同一直线的两直线平行） 作业2： 1．(1)AB，CD，同位角相等，两直线平行． (2) BE，DF，同旁内角互补，两直线平行．(3)BE，DF，内错角相等，两直线平行． (4)∠2，同旁内角互补，两直线平行．(5)∠D，同位角相等，两直线平行． 2．AE，BD，内错角相等，两直线平行；∠2；等量代换； AC，ED，同位角相等，两直线平行． 检测2: 1．A．　　 2．B．　　 3．D．　　 4．C． 5．EF；内错角相等，两直线平行．BC；同旁内角互补，两直线平行． AD； BC；平行于同一条直线的两直线平行． 练习3： 1：∠D＝∠2；同位角相等，两直线平行；（或∠D＝∠4；内错角相等，两直线平行；或∠D＋∠3＝180°；同旁内角互补，两直线平行）． 2：D． 3、解：∵AB∥CD（已知）， ∴∠D＝∠1＝45°（两直线平行，同位角相等）． ∵∠D＝∠C（已知）， ∴∠C＝45°（等量代换）， ∴∠B＋∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠B＝180°－45°＝135°． 4、解：过点E作EF∥CD， ∵AB∥CD（已知）， ∴EF∥AB（平行于同一条直线的两条直线平行）． ∴∠1＝∠B，∠2＝∠D（两直线平行，内错角相等）． ∵∠1＋∠2＝∠BED＝100°（已知）， ∴∠B＋∠D＝100°（等量代换）． ∴∠D＝100°－∠B＝100°－40°＝60°． 作业3： 1．B．2．180°．3．平行． 检测3： 1．B． 　2．B．　3．D．　4．118°． 5．解：因为AB∥CD，所以∠AEG＝∠1＝40°． 又因为EG平分∠AEF，所以∠AEF＝2∠AEG＝2×40°＝80°． 所以∠2＝180°－∠AEF＝180°－80°＝100°． 学科网（北京）股份有限公司 $