16.4.1 反比例函数（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学课件聚焦反比例函数概念、表达式及解析式确定，通过小明买笔记本的生活情境导入，结合表格观察数量关系，再以汽车行驶、长方形饲养场问题抽象出概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活实例驱动，培养数学眼光（抽象能力）和数学思维（推理能力），通过问题链构建知识体系，例题练习层次分明。小结涵盖定义、表达式及模型建立，帮助学生形成知识网络，教师可高效教学，学生提升应用意识和解决问题能力。

16.4 反比例函数 第 1 课时 反比例函数 第 16 章 函数及其图象 八年级下册数学（华师版） 学习目标 1. 理解并掌握反比例函数的概念. (重点) 2.从实际问题中抽象出反比例函数的模型，能根据已知条件确定反比例函数的解析式. (重、难点) ？ ？ 新学期伊始，小明想买一些笔记本为以后的学习做准备. 妈妈给了小明 30 元钱，小明可以如何选择笔记本的价钱和数量呢？ 笔记本单价 x/元 1.5 2 2.5 3 5 7.5 … 购买的笔记本数量 y/本 … 通过填表，你发现 x，y 之间具有怎样的关系？你还能举出这样的例子吗？ 20 15 12 10 6 4 ？ 情境导入 问题1 甲、乙两地相距 120 km，汽车从甲地匀速驶往乙地. 显然，汽车的行驶时间由行驶速度确定，时间是速度的函数，试写出这个函数的关系式. 反比例函数的概念 设汽车行驶的速度是 v 千米/时，从甲地到乙地的行驶时间是 t 小时. 时间＝路程÷速度 1 探究新知 4 问题2 学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为 24 cm2 的长方形饲养场. 设它的一边长为 x (m)，求另一边 y (m) 与 x 之间的函数关系. 长方形面积＝长×宽 xy＝24 思考 请大家观察这两个式子有什么共同点？ 　　一般地，形如　　 ( k 是常数，k ≠ 0 ) 的函数，叫做反比例函数 ，其中 x 是自变量，y 是函数. 自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数. 问题 1、2 中得到的函数，都是反比例函数. 知识要点 思考 反比例函数 (k ≠ 0) 的自变量 x 的取值范围，什么是所有非零实数？ 因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围. 例如，在前面得到的第一个表达式 中，作为行驶时间的 t 的取值应满足 t＞0，且当 t 取每一个确定的值时，v 都有唯一确定的值与其对应. 想一想 反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式表示之外，还有没有其他表达方式？ 反比例函数的三种表达方式 ( 注意 k ≠ 0 )： 1.下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值. 是，k = 3 不是 不是 不是 是， 练一练 解：因为 是反比例函数， 所以 4－k2 = 0， k－2 ≠ 0. 解得 k =－2. 所以该反比例函数的表达式为 方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程 (组) 求解即可. 例1 若函数 是反比例函数，求 k 的值，并写出该反比例函数的表达式. 典例精析 2. 已知函数 是反比例函数，则 k 必须 满足 . 3. 当 m = 时， 是反比例函数. k≠2 且 k≠-1 ±1 练一练 例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x = 2 时，y = 6. (1) 写出 y 关于 x 的函数表达式； 提示：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 .把 x = 2 和 y = 6 代入上式，就可求出常数 k 的值. 解：设 . 因为当 x = 2 时，y = 6，所以有 解得 k = 12. 因此 确定反比例函数的表达式 2 (2) 当 x = 4 时，求 y 的值. 解：把 x = 4 代入 ，得 方法总结：用待定系数法求反比例函数表达式的步骤： ① 设出含有待定系数的反比例函数表达式； ② 将已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式，得到关于待定系数的方程； ③ 解方程，求出待定系数的值； ④ 写出反比例函数的表达式. 4. 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x = 3 时，y =－4. (1) 求 y 关于 x 的函数表达式； (2) 当 y = 6 时，求 x 的值. 解：(1) 设 . 因为当 x = 3 时，y =－4，所以有 解得 k =－12. 因此 (2) 把 y = 6 代入 ，得 解得 x = －2. 练一练 例3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50 km/h 时，视野为 80 度. 如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数表达式，并计算当车速为 100 km/h 时视野的度数. 反比例函数简单应用 3 当 v = 100 时，f = 40. 所以当车速为 100 km/h 时视野为 40 度. 解：设 . 由题意知，当 v = 50 时，f = 80，所以 解得 k = 4000. 因此 建立反比例函数模型 用待定系数法求反比例函数表达式 反比例函数：定义/三种表达方式 反比例函数 当堂小结 1. 生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中， y 和 x 成反比例函数关系的有 ( ) ① x 人共饮水 10 kg，平均每人饮水 y kg；②底面半径为 x m，高为 y m 的圆柱形水桶的体积为10 m3；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成的圆的半径为 y cm；④在水龙头前放满一桶水，出水的速度为 x，放满一桶水的时间为 y. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 B 当堂练习 A. B. C. D. 2. 下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是 ( ) A 3. 填空： (1) 若 是反比例函数，则 m 的取值范围是 . (2) 若 是反比例函数，则 m 的取值范 围是 . (3) 若 是反比例函数，则 m 的值是 . m ≠ 1 m ≠ 0 且 m ≠ －2 －1 4. 已知 y 与 x + 1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4. (1) 写出 y 关于 x 的函数表达式； (2) 当 x = 7 时，求 y 的值． 解：(1) 设 ，因为当 x = 3 时，y = 4 ， 所以有 ，解得 k = 16，因此 . (2) 当 x = 7 时， 5. 小明家离学校 1000 m，每天他往返于两地之间，有 时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速 度为 v (m/min)，所用的时间为 t (min)． (1) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式； 解： (t > 0)． (2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自行 车上学用了 8 min，那么他星期三上学时的平均 速度比星期二快多少？ 125－40 = 85 (m/min)． 答：他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min. 解：当 t = 25 时， ； 当 t = 8 时， . 能力提升 6. 已知 y = y1 + y2，y1 与 (x－1) 成正比例，y2 与 (x + 1) 成反比例，当 x = 0 时，y =－3；当 x = 1 时，y = －1， 求： (1) y 关于 x 的关系式； 解：设 y1 = k1(x－1) (k1 ≠ 0)， (k2 ≠ 0)， 则 . ∵ x = 0 时，y =－3；x = 1 时，y = －1， －3 =－k1 + k2， 解得 k1 = 1，k2 =－2. ∴ ∴ 对于 ， (2) 当 x = 时，y 的值. 解：把 x = 代入 (1) 中函数关系式，得 y = 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $