16.4.2 反比例函数的图象和性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学课件聚焦反比例函数的图象和性质，通过复习回顾正比例函数与反比例函数的对比表格导入，引导学生思考两者在解析式、图象形状等方面的区别，搭建前后知识联系的学习支架。 其亮点在于通过动手绘制y=6/x和y=-6/x的图象培养几何直观，结合“思考与讨论”探究k值对图象位置和增减性的影响体现推理意识，联系汽车行驶时间与速度等实际问题渗透模型意识。小结用表格清晰对比k>0和k<0的情况，帮助学生系统掌握知识，既提升学生的数学探究能力，也为教师提供高效的教学支持。

第 2 课时 反比例函数的 图象和性质 16.4 反比例函数 第 16 章 函数及其图象 八年级下册数学（华师版） 学习目标 1. 进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象. (重点) 2. 能根据图象和表达式探索并理解 k > 0 和 k < 0 时图象的变化情况. (难点) 1.下列哪些关系式中的 y 是 x 的反比例函数？ （1）y = 4x；　（2） 　 （3） （4）y = 6x+1；（5）y = x2-1；（6） （7）xy = 123 ． √ √ 复习回顾 函数 正比例函数 反比例函数 解析式 y=kx（k≠0） 图象形状 直线 k＞0 位置 一、三象限 增减性 从左到右上升 y随x的增大而增大 k＜0 位置 二、四象限 增减性 从左到右下降 y随x的增大而减小 ？ 反比例函数的图象和性质 例1 画反比例函数 y = 的图象. 这个函数中自变量 x 的取值范围是不等于零的一切实数，列出 x 与 y 的对应值表： x … -6 -3 -2 -1 … 1 2 3 6 … y … -1 -2 -3 -6 … 6 3 2 1 … 1 探究新知 双曲线 描点连线 思考 这两条曲线会与 x 轴、y 轴相交吗？为什么 ? 试一试 画出函数 的图象. 解：这个函数中自变量 x 的取值范围是不等于零的一切实数，列出 x 与 y 的对应值表： x … -6 -3 -2 -1 … 1 2 3 6 … y … 1 2 3 6 … -6 -3 -2 -1 … 描点连线 思考 这两条曲线与 有什么区别 ? 1.函数 的图象在哪两个象限？和函数 的图象有什么不同？ 【思考与讨论】 第二象限 第四象限 第一象限 第三象限 在每一个象限内， y 随 x 的增大而增大. 在每一个象限内， y 随 x 的增大而减小. 2. 反比例函数 的图象在哪两个象限由什么确定 ? 当 k > 0 时，函数的图象分布在一、三象限； 当 k < 0 时，函数的图象分布在二、四象限。 3. 试由所画出的两个函数的图象，总结一下反比例函数的变化规律：随着自变量 x 的增大，函数值 y 将会怎样变化 ? 反比例函数 有下列性质: (1) 若 k > 0 ，函数的图象在第_____、_____ 象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是说，当 x ＞ 0 (或 x < 0) 时， y 随 x 的增大而 _____ ； (2) 若 k < 0 ，函数的图象在第_____、_____ 象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是说，当 x > 0 ( 或 x < 0 ) 时， y 随 x 的增大而 _____ . 二 一 三 四 增大 减小 知识要点 【深入思考】这一性质在本节问题 1 和问题 2 中 反映了怎样的实际意义? 问题1 汽车的行驶时间与行驶速度的函数： 问题2 长方形饲养场一边长与另一边 y 的函数关系： 问题 1 反映的实际意义是当所走路程不变时，所用时间随速度的增大而减小. 问题 2 反映的实际意义是当长方形的面积一定时，它的一条边的长度增大时，它的另一边的长度减小. 思考 讨论反比例函数的增减性时 ，这里与一次函数不同 ，强调了“在每个象限内”，应该怎么理解 ? 因为自变量 x 的取值范围不同，一次函数自变量 x 的取值范围为全体实数，而反比例函数自变量 x 的取值范围为不等于 0 的一切实数，0 将自变量 x 的取值分为两个部分 ( 两个象限 )，在每个象限讨论增减性才是合理的. 例2 已知 y 是 x 的反比例函数，当 x = 2 时， ，求这个反比例函数的表达式. 解：设这个反比例函数的表达式为______(其中 k 为待定系数). 已知当 x = 2 时， 可得_______. 可以求得 k=_______. 所以这个反比例函数的表达式是_______. 典例精析 1.反比例函数 的图象大致是 ( ) C y A. x y o B. x o D. x y o C. x y o 图象在第一、第三象限 练一练 2. 已知反比例函数 的图象过点(－2，－3)函 数图象上有两点 A( ，y1)，B(5，y2)，则 y1 与 y2 的大小关系为 ( ) A. y1 > y2 B. y1 = y2 C. y1 < y2 D. 无法确定 C 提示：由题可知反比例函数的表达式为 ，因为 6＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限部分，根据 >5，可知 y1，y2 的大小关系. 3. 点 (2，y1) 和 (3，y2) 在函数 的图象上， 则 y1 y2 (填“>”“<”或“=”). < -2＜0，在每个象限，y 随 x 的增大而增大 练一练 例3 已知反比例函数的图象经过点 A(2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？ 解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. 反比例函数的图象和性质的初步运用 2 (2) 点 B (3，4)，C ( ， )，D (2，5) 是否在这个函数的图象上？ 解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12. 因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D 的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. 所以该反比例函数的解析式为 . (1) 图象的另一支位于哪个象限？m 的取值范围是什么？ O x y 例4 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题： 解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以根据对称性知另一支位于第三象限. 又因为这个函数图象位于第一、三象限， 所以 m－5＞0，解得 m＞5. 典例精析 (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和 点 B (x2，y2). 如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？ 解：因为 m－5 ＞ 0， 所以在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小. 因此，当x1＞x2时，y1＜y2. O x y 3.已知反比例函数 的图象经过点 A ( 2 ，3 )． (1) 求这个函数的解析式； 解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)， ∴ 把点 A 的坐标代入解析式，得 ，　　 解得 k = 6. ∴ 这个函数的解析式为 . 练一练 (2) 判断点 B (－1，6)，C( 3，2 ) 是否在这个函数的 图象上，并说明理由； 解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式， 所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函 数的图象上． (3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围． 解：∵ 当 x = －3时，y =－2； 当 x = －1时，y =－6，且 k > 0， ∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小. ∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2. 反比例函数 (k ≠ 0) k k > 0 k < 0 图象 性质 图象位于第一、第三象限 图象位于第二、第四象限 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大 当堂小结 1. 反比例函数 的图象在 ( ) A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D.第二、四象限 B 2. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与 的 图象大致是 ( ) O x y A O x y B O x y C O x y D D 当堂练习 3. 已知反比例函数 的图象在第一、三象 限内，则 m 的取值范围是________. m ＞ 2 图象在第一、三象限，则 m-2 ＞ 0 4. 在反比例函数　　　(k>0) 的图象上有两点 A (x1，y1)， B (x2，y2)， 且 x1＞x2＞0，则 y1－y2 0. ＜ 5. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论： (1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)； (2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； (3) 双曲线位于第二、四象限. 其中正确的是 (填序号). (1)(3) 都满足解析式，符合题意 -12＜0，图象位于第二、四象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而增大，故（2）不对，（3）对 6. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，－4). (1) 求 k 的值； (2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大如何变化? 解：(1) 依题意把点 A (2，－4) 代入解析式，得 ， 解得 k = －8. (2) 这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个 象限内，y 随 x 的增大而增大. (3) 画出该函数的图象； (4) 点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数的图象上？ 因为点 B 的坐标满足该函数解析式，而点 C 的坐标不满足该函数解析式， 所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数的图象上. (4) 该反比例函数的解析式为 . O x y 解：(3) 如图所示. 7. 已知反比例函数 y = mxm²－5，它的两个分支分别在 第一、第三象限，求 m 的值. 解：因为反比例函数 y = mxm²－5 的两个分支分别在第 一、第三象限， 所以有 m2－5=－1， m＞0， 解得 m=2. 能力提升 8. 已知点 (a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数 ( k＞0 ) 的图象上，若 y1＜y2，求 a 的取值范围. 解：由 k＞0知在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. ① 当这两点在图象的同一支上时， ∵y1＜y2，∴a－1＞a+1，无解； ②当这两点分别位于图象的两支上时， ∵y1＜y2，∴ y1＜0＜y2. ∴a－1＜0，a+1＞0， 解得－1＜a＜1. 故 a 的取值范围为－1＜a＜1． 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $