16.1 第2课时 求自变量的取值范围与函数值（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学课件聚焦“求自变量的取值范围与函数值”，通过“做一做”实例（汽车行驶路程、多边形内角和）导入，衔接上一课时气温变化等问题，搭建从实际情境到数学表达的学习支架。 其亮点是结合生活实例（如汽车油箱油量、出租车收费）与数学表达式（整式、分式、根式），培养抽象能力和推理意识，归纳总结分表达式类型与实际意义，助力学生提升问题解决能力，为教师提供结构化教学资源。

第 2 课时 求自变量的取值 范围与函数值 第 16 章 函数及其图象 16.1 变量与函数 八年级下册数学（华师版） 学习目标 1.进一步理解和掌握函数的概念，分清实例中的自变量与因变量. 2.能根据题意列出正确的函数关系式，并确定出自变量的取值范围.(重、难点) 3.会求给定函数关系式的函数值. 做一做：请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系： (1) 汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t (单位：h)，行驶的路程为 s (单位：km)； (2) 多边形的边数为 n ，内角和的度数为 y ． 问题 (1) 中，t 取－2 有实际意义吗？ 问题 (2) 中，n 取 2 有意义吗？ 思考 上个课时的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？ 自变量 t 的取值范围: __________. 0 ≤ t ≤24 自变量的取值范围 8 6 4 2 0 -2 -4 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 T / ℃ t/h 1.某地一天内的气温变化图 1 探究新知 自变量的取值范围：___________. n 取正整数 周岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 体重/kg 7.9 12.2 15.6 18.4 20.7 23.0 25.6 28.5 31.2 34.0 37.6 41.2 44.9 2.小蕾的各周岁时的体重，如下表 : 自变量的取值范围：______. r＞ 0 半径 r / m 1 1.5 2 2.6 3.2 ··· 圆面积 S / cm2 ··· π 2.25π 4π 6.76π 10.24π 3.圆的半径与面积的关系，如下表 : 　　根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取任意值吗? 　　在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围． 解：根据等腰三角形的性质和三角形 内角和定理，可知 2x + y = 180， 得 y = 180 - 2x. 由于等腰三角形的底角只能是锐角， 所以自变量的取值范围是 0＜x＜90. y x 例1 等腰三角形顶角的度数 y 是底角度数 x 的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量 x 的取值范围. 典例精析 做一做：下列函数中自变量 x 的取值范围是什么？ -2 x 取全体实数 x 取全体实数 使函数关系式有意义的自变量的全体. ① 函数表达式有意义 求函数自变量的取值范围时，需要考虑： ② 符合实际 4.表达式是复合式时，自变量的取值是使各式成立的公共解. 3.表达式是偶次根式时，自变量的取值必须使被开方数为非负数.表达式是奇次根式时，自变量取全体实数； 1.表达式是整式时，自变量取全体实数； 2.表达式是分式时，自变量的取值要使分母不为 0； 归纳总结 t/ 分 0 1 2 3 4 5 … h / 米 … 3 11 45 37 37 11 由图象或表格可知：当 t = 0 时，h = 3， 那么，3 就是当 t = 0 时的函数值. 问题：右图反映了摩天轮上的一点的高度 h (m) 与旋转时间 t (min) 之间的关系，那么怎么表示它们各自大小呢？ 求函数值 2 例2 已知函数 (1) 求当 x = 2，3，-3 时，函数的值； (2) 求当 x 取什么值时，函数的值为 0. 把自变量 x 的值代入关系式中，即可求出函数的值. 解： (1) 当 x = 2 时，y = ； 当 x = 3 时，y = ； 当 x = -3 时，y = 7； (2)令 解得 x = ，即当 x = 时，y = 0. 典例精析 (1) 试写出重叠部分面积 y cm2 与 MA 长度 x cm 之间的函数关系式． 解 (1) 重叠部分的面积 у 与线段 MA 的长度 x 之间的函数关系式为 典例精析 这里自变量 x 的取值范围是什么？ 例3 如图，已知等腰直角三角形 ABC 的直角边长与正方形 MNPQ 的边长均为 10 cm，CA 与 MN 在同一直线上，开始时 A 点与 M 点重合，让△ABC 向右运动，最后A 点与 N 点重合． (2) 当 A 点从点 M 开始向右移动 1 cm 时，重叠部分的面积是多少?   所以当点 A 从点 M 开始向右移动时，重叠的部分面积是 cm2. 解 ：点 A 从点 M 开始向右移动 1 cm， 即 MA＝1 时，x＝1. 当 x＝1 时， 例4 汽车的油箱中有汽油 50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y（单位：L）随行驶里程 x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为 0.1 L/km. (1) 写出表示 y 与 x 的函数关系的式子. 解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x 0.1x 表示的意义是什么？ 典例精析 (2) 指出自变量 x 的取值范围； 自变量的取值范围是 0≤x≤500 汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！ (3) 汽车行驶 200 km 时，油箱中还有多少油？ 当 x = 200 时，函数 y 的值为 y = 50－0.1×200 = 30. 因此，当汽车行驶 200 km时，油箱中还有油 30 L . 问题二：x，y 之间存在怎样的数量关系？这种数量关系可以以什么形式给出？ 例5 一个三角形的周长为 y cm，三边长分别为 7 cm，3 cm 和 x cm. (1) 求 y 关于 x 的函数关系式； y = x + 10 这些函数值都有实际意义吗？ 分析：问题一：问题中包含了哪些变量？x，y 分别表示什么？ 根据题设，可得 y = x + 7 + 3 典例精析 例5 一个三角形的周长为 y cm，三边长分别为 7 cm，3 cm 和 x cm. (2) 求自变量 x 的取值范围. 4 < x < 10 分析：三角形的三边关系应满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 即 7 - 3 < x < 7 + 3. y = x + 10 (4 < x < 10) y 关于 x 的函数关系式： 对于实际问题中的函数，自变量的取值要符合实际意义. 函数 自变量对应的因变量的值 符合实际意义 函数值 自变量的取值范围 当堂小结 1.下列说法中，不正确的是（ ） A.函数不是数，而是一种关系 B.多边形的内角和是边数的函数 C.一天中时间是温度的函数 D.一天中温度是时间的函数 2.下列各表达式不是表示 y 是 x 的函数的是( ) A. B. C. D. C C 当堂练习 3.求下列函数中自变量 x 的取值范围： x 取全体实数 4.我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过 3 公里，一律收费 8 元；超过 3 公里时，超过 3 公里的部分，每公里加收 1.8 元；设乘坐出租车的里程为 x（公里）（x为整数），相对应的收费为 y（元）. （1）请分别写出当 0＜x≤3 和 x＞3 时，表示 y 与 x 的关系式，并直接写出当 x = 2 和 x = 6 时对应的 y 值； 解：（1）当 0＜x≤3 时，y = 8； 当 x＞3 时，y = 8＋1.8(x－3) = 1.8x＋2.6. 当 x = 2 时，y = 8；x = 6时，y = 1.8×6＋2.6 = 13.4. (2) 当 0＜x≤3 和x＞3时，y 都是 x 的函数吗？为什么？ 当 0＜x≤3 和 x＞3 时，y 都是 x 的函数，因为对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应. 5.一长方形的周长为 8 cm，设它的长为 x cm，宽为 y cm. (1) 求 y 关于 x 的函数关系式； (2) 并写出自变量的取值范围. 解：(1) y 关于 x 的函数关系式为：y＝4－x (2) 自变量的取值范围为：0＜x＜4. 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $