16.5 第1课时 一次函数与二元一次方程(组)（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学课件聚焦一次函数与二元一次方程（组）的联系，通过“数学王国家庭聚会”情境导入，以“x + y = 5”引发归属疑问，衔接二元一次方程与一次函数旧知，借助印刷厂收费问题搭建学习支架，构建知识脉络。 其亮点是情境导入激发兴趣，结合实际问题引导学生用数学思维分析，通过数形结合（函数图象交点与方程组解的对应）培养几何直观和模型意识。典例与分层练习助力学生发展抽象能力，教师可直接用于教学，提升课堂效率。

16.5 实践与探索 第 1 课时 一次函数与二元一次方程(组) 第 16 章 函数及其图象 八年级下册数学（华师版） 学习目标 1．认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、 的联系．（重点、难点） 2．会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义. 　　 今天数学王国搞了个家庭聚会，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x + y = 5”. 二元一次方程 一次函数 到我这里来 到我这里来 x + y = 5 这是怎么回事？ x + y = 5 应该坐在哪里呢？ 情境导入 一次函数与二元一次方程（组) 问题1 某单位准备印制一批证书 ，当地有甲、乙两个印刷厂 ，它们的印制质量都很好，甲厂收费分为制版费和印刷费两部分；乙厂不收制版费 ，直接按印刷数量收费 ，当印刷证书超过 2 千本时单价有优惠 ，甲、乙两厂的收费 y (千元) 关于印制的证书数量 x (千本) 的函数图象如图所示： 1 探究新知 ② 印制证书多少本时，两厂实际收费相同? ③ 当印制证书 8 千本时，选择哪个印刷厂比较划算? (1) 根据图象回答: ① 甲厂的制版费及印刷费 单价各是多少? 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x / 千本 y/千元 O 甲 乙 甲厂制版费 1 千元， 印刷费单价 0.5 千元/千本. 6 千本 甲厂 (2) 如果甲厂想把 8 千本证书印制的订单争取到手 ，在不降低制版费的前提下，印刷费部分的单价至少应降低多少? 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x / 千本 y / 千元 O 甲 乙 y乙 = ( x ≥ 2 ). (2) 由图象经过点(0，1)和(2，2)，求得 当 x≥2 时，由图象经过点(2，3)和 (6，4)，求得 y甲 = . 根据题意，甲厂至少降价 500 元才能将印制工作承揽下来. 因为不降低制版费， y甲 = y乙 = (x≥2) 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x/千本 y/千元 O 甲 乙 所以证书印刷单价至少降低 (元) 所以当印制 8 千本证书时，选择乙厂能节省费用 500 元. 当 x = 8 时，计算得 y甲 = 5，y乙 = 4.5， 思考 (1)“收费相同”在图象上怎样反映出来? 可以通过函数图象的交点反映出来 在图象上，点的位置越高， 对应的函数值就越大，收费就越多； 反之，点的位置越低，对应的函数值就越小，收费就越少. 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x/千本 y/千元 O 甲 乙 (2) 如何在图象上看出收费的多少? 思考1 一次函数与二元一次方程有什么关系？ 一次函数 二元一次方程 一次函数 y = x+1 二元一次方程 y - x = 1 二元一次方程 y = x + 1 用方程观点看 用函数观点看 　　从式子（数）角度看： 由函数图象的定义可知： 直线 y = x + 1 上的每个点的坐标(x，y) 都能使等式 y = x + 1 成立，即 直线 y = x + 1 上的每个点的坐标都是二元一次方程 y = x + 1 的解. 思考2 从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？ y甲 = 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x/千本 y/千元 O 观察 在坐标系中分别画出两条直线 y = 2x - 5 和 y = -x +1 . 1.它们的交点坐标_____________. 2.方程组的解是__________. 这两个函数图象交点的坐标就是这个方程组的解. (2，-1) “数”的角度 “形”的角度 两个一次函数 y = k1x + b1 (k1≠0)， y = k2x + b2 (k2≠0) 的自变量 x，y 的一组相同的值⇔二元一次方程组 的解 直线 y = k1x + b1 (k1≠0)，y = k2x + b2 (k2≠0)的交点坐标 为(m，n) ⇔二元一次方程组 的解为 x = m，y = n 一次函数与二元一次方程组的关系 例2 利用一次函数的图象，求二元一次方程组 的解. 典例精析 分析：方程组中的第一个方程已经变化为一次函数的形式，第二个方程可变化成 y = . x y 例2 利用一次函数的图象，求二元一次方程组 的解. 解 分别作出一次函数的图像，得到两个函数的图象的交点是 (-4 ，1) . 即方程组的解为 典例精析 x y 1.如图，一次函数 y = 2x + 1 的图象与 y = kx + b 的图象相交于点 A，则方程组 的解是(　 　) A. B. C. D. B 练一练 解方程组 y = 2x+2， y = -x+3， 解：因为直线 l1过点 (-1，0)， (0，2) ，用待定系数法可求得 直线 l1的解析式为 y = 2x + 2. 同理 可求得直线 l2 的解析式为 y = -x + 3. 得 x= y= 即直线 l1 与 l2 的交点坐标为 【练一练】 1.如图，求直线 l1 与 l2 的交点坐标. 拓展：一次函数 y1 = k1x + b1，y2 = k2x + b2 的图象与对应方程组的解 (1) 当 k1≠k2 时，两个一次函数的图象相交，对应的方程组有唯一的解； (2) 当 k1 = k2，b1≠b2时，两个一次函数的图象平行，对应的方程组无解； (3) 当 k1 = k2，b1 = b2 时，两个一次函数的图象重合，对应的方程组有无数个解. 一次函数与方程、不等式 解二元一次方程组 求对应两条直线交点的坐标 当堂小结 2.若方程组 的解为 则一次函数 y = 2x + 1 与 y = 3x - 1 的图象交点坐标为______. (2，5) 当堂练习 2.小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象 l1，l2 如图 ，他解的这个方程组是( ) 点拨：由图象知l1，l2 的 x 的系数都应为负数，排除A,C. 又 l1，l2的交点为(2,－2)，代入验证可知只有 D 符合． D 3. 如图，直线 PA 是一次函数 y = x + 1 的图象，交 y 轴于点 Q，交 x 轴于点 A，直线 PB 是一次函数 y = -2x + 2 的图象，交 y 轴于点 M，交 x 轴于点 B，两直线交于点 P. (1) 求 A，B，P 三点的坐标； 解：(1) 在 y = x + 1 中，当 y = 0 时，x = -1， ∴ A(-1，0). 在 y = -2x + 2 中，当 y = 0 时，x = 1， ∴ B(1，0). 联立 ∴P. 解得 (2)求四边形PQOB的面积. (2) 由 (1) 得 AB = 2，OA = 1. ∵ 一次函数 y = x + 1 的图象交 y 轴于点Q， ∴ 点Q的坐标为 (0，1)，∴OQ = 1， ∴ S四边形PQOB = S△APB－S△AOQ = ×2× ×1×1 = . 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 A. B. C. D. $