16.5 实践与探索（第1课时 一次函数与二元一次方程（组））（教学课件）数学新教材华东师大版八年级下册

5.1 一次函数与二元一次方程（组） 第十六章 函数及其图像 章节导读 16.1变量与函数 16.2 函数的图像 16.3一次函数 16.4反比例函数 从函数图像中获取信息 平面直角坐标系 一次函数的认识 一次函数的图像的画法 反比例函数的认识 反比例函数的图像和性质 自变量取值范围与函数值 变量与函数的概念 函数的图像 16.5实践与探索 一次函数的性质 求一次函数的表达式 一次函数与方程 一次函数的综合应用 一次函数与不等式 一次函数图像的应用 2 学 习 目 标 1 2 3 认识一次函数与二元一次方程（组）的联系.； 能根据一次函数的图象求二元一次方程（组）的解.； 体会一次函数与二元一次方程（组）在实际问题中的应用。 复习回顾 一次函数图像的画法： 描点法：列表→描点→连线。 也可以利用“两点法”快速画出一次函数图像。 回顾训练 运用两点法在同一坐标系中画出函数和函数的图像。 4 新知探究 一次函数与二元一次方程 小明在画好函数的图像后，发现同桌选的两点与他的不一样。 实际上函数的图像是一些离散的点。 P(-1,2) P(1,0) P(0,1) P(2,-1) 我们将函数变形为，即二元一次方程。 二元一次方程有无数组解， 如：等， 都是这个方程的解. 你发现了什么？ 5 每一个二元一次方程都能变形为一次函数的解析式，对应一个图象（无数个点组成的直线），这个直线上无数个点的坐标就是二元一次方程的无数组解。即一次函数图像上的点的坐标和对应的二元一次方程的解是一一对应的关系。 归纳总结 一般地,一次函数图象上任意一点的坐标都是二元一次方程的一个解,以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上. 一次函数与二元一次方程 新知探究 观察交流 一次函数与二元一次方程组 小明在画好函数和函数的图像后，发现两个图像交于一点。 这个点有什么特点呢？ 由于一次函数的坐标与二元一次方程的解一一对应，所以函数和函数的交点坐标 是方程和方程的解。 你发现了什么？ 7 二元一次方程组 归纳总结 我们看到，两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式．而这两个函数关系式可以看成关于、的两个方程，所以交点的坐标就是这两个方程组成的方程组的解． 一次函数与二元一次方程组 一次函数 方程组的解 相互转化 一 一对应 两个一次函数图象的交点坐标 典例分析 例1 利用一次函数的图象，求解二元一次方程组的解. 一次函数与二元一次方程组 分析：方程组中的第一个方程已经变化为一次函数的形式，第二个方程可变化成 . 解：分别作出一次函数的图像，得到两个函数的图象的交点是 . 即方程组的解为 x y 9 归纳总结 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 （1）变函数：把方程组 中的方程化为一次函数 ． （2）画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象． （3）找交点：由图象确定两直线交点的坐标． （4）写结果：依据点的坐标写出方程组的解． 一次函数与二元一次方程组 例2 某单位准备印制一批证书．当地有甲、乙两个印刷厂，它们的印制质量都很好．甲厂收费分为制版费和印刷费两部分；乙厂不收制版费，直接按印刷数量收费，当印刷证书超过 2 千本时单价有优惠．甲、乙两厂的收费 （千元）关于印制的证书数量 （千本）的函数图象如图所示． （1）根据图象回答： ①甲厂的制版费及印刷费单价各是多少？ ②印制证书多少本时，两厂实际收费相同？ ③当印制证书 8 千本时，选择哪个印刷厂比较划算？ （2）如果甲厂想把 8 千本证书印制的订单争取到手，在不降低制版费的前提下，印刷费部分的单价至少应降低多少？ 典例分析 一次函数与二元一次方程（组）的应用 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x / 千本 y/千元 O 甲 乙 11 （1）根据图象回答： ①甲厂的制版费及印刷费单价各是多少？ 典例分析 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x / 千本 y/千元 O 甲 乙 从图象上看甲厂：当时，，即甲厂的制版费为1千元， 当时，,（千元） 即印刷单价为每千本0.5千元. 方程验证：设甲厂的收费（千元）与印刷数量（千本）的函数关系式为. 将点（0,1）和（2,2）代入得 ，解得, 所以甲厂的函数解析式为 一次函数与二元一次方程（组）的应用 12 ②印制证书多少本时，两厂实际收费相同？ 典例分析 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x / 千本 y/千元 O 甲 乙 从图象上可以看出图象的交点横坐标为1和6，故当印制1千本或6千本时,两厂实际收费相同. 方程验证：在时，设第一段乙的函数关系式为 将点（0,0）和（2,3）代入得， 解得,所以第一段乙厂的函数解析式 为。同理得，在时， 第二段乙厂的函数解析式为 一次函数与二元一次方程（组）的应用 要使两厂收费相同，即或， 解得或 13 ③当印制证书 8 千本时，选择哪个印刷厂比较划算？ 典例分析 从图象上可以看出：时，甲厂图象所对应的点比乙厂图象所对应的点更高，故选乙厂比较划算. 一次函数与二元一次方程（组）的应用 方程验证：在时， 所以 所以选乙厂更划算，能节省千元（即500元） 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x / 千本 y/千元 O 甲 乙 14 （2）如果甲厂想把 8 千本证书印制的订单争取到手，在不降低制版费的前提下，印刷费部分的单价至少应降低多少？ 典例分析 一次函数与二元一次方程（组）的应用 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x / 千本 y/千元 O 甲 乙 由③可知，甲厂至少降价500元才能将印制工作争取到手。 因为不降低制版费，所以证书印刷单价至少降低 思考：（1）＂收费相同＂在图象上怎样反映出来？ （2）如何在图象上看出收费的多少？ ＂收费相同＂在图象上通过两个函数图象的交点反映出来． 在图象上，点的位置越高，对应的函数值就越大，收费就越多；反之，点的位置越低，对应的函数值就越小，收费就越少． 15 归纳总结 核心技巧总结 1.分段函数：先分区间，再分别建模； 2.图像结合：利用图像的交点、转折点快速确定分段分界； 3.方案对比：通过联立方程找临界点，代入数值比较； 4.逆向问题：以竞争对手的费用为目标，列不等式求解。 关键是分段清晰、计算准确、对比明确，只要按步骤拆分，即可快速解决。 一次函数与二元一次方程（组）的应用 1.在16.3节问题一中，已知小明由地乘车前往北京，汽车距北京的路程与行驶时间之间的函数关系式为，若另有小亮同时从北京乘车沿同一路线回地，其函数关系式为，这里（h）表示汽车行驶的时间，s（km）表示汽车距北京的路程。 在同一个平面直角坐标系中画出这两个函数的 图像，并说明交点的实际意义。 随堂练习 基础过关(P63) t/h s/km O 1 2 3 4 285 190 95 解：函数的图像过（0,285）；（3,0） 函数的图像过（0,0）；（,285） 交点的实际意义是此时小明与小亮距离北京的距离相等。 17 随堂练习 基础过关(P63) 2.利用图像解下列方程组： （1）；（2） 分析：画出函数图像，找到交点坐标即可。 答案：（1） （2） 18 随堂练习 3.下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程的解的是(　　) 能力提升 B 19 随堂练习 能力提升 4.如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为( ) A. B. C. D. 解：在同一平面直角坐标系中， 直线与直线交于点， ∴， ∴， ∴，则关于x、y的方程组的解为. 故选：B. B 随堂练习 能力提升 5.如图，直线 PA 是一次函数的图象，交 轴于点Q，交轴于点A，直线PB 是一次函数的图象，交轴于点M，交轴于点B，两直线交于点P. (1) 求A，B，P 三点的坐标； (2)求四边形PQOB的面积. 解：(1) 在 中，当 时，， 在 中，时，，∴ . 联立 ，解得 ∴P. 21 随堂练习 能力提升 5.如图，直线 PA 是一次函数的图象，交 轴于点Q，交轴于点A，直线PB 是一次函数的图象，交轴于点M，交轴于点B，两直线交于点P. (1) 求A，B，P 三点的坐标； (2)求四边形PQOB的面积. (2) 由 (1) 得 AB = 2，OA = 1. ∵ 一次函数 的图象交 轴于点Q， ∴ 点Q的坐标为 (0，1)，∴OQ = 1， ∴ S四边形PQOB = S△APB－S△AOQ = ×2× ×1×1 = . 22 随堂练习 能力提升 6.小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已存有50元，从现在起每个月存12元，小张的同学小王以前没有存过零用钱，听到小张在存零用钱，表示从小张存款当月起每个月存17元，争取追上小张．请你写出小张和小王的存款和月份之间的函数关系式，并计算半年后小王的存款是多少，能否追上小张？若不能，则存几个月，小王的存款能追上小张？ 23 随堂练习 能力提升 解：(1)设小张存x个月的存款是y1元，小王存x个月的存款是y2元，则 ，，这两个函数的图象如图． 半年后，即当时，， . ∵102＜122， ∴半年后小王的存款不能追上小张． (2)如果要求小王的存款追上小张， 即要求，即， 解得. ∴存10个月，小王的存款能追上小张． 24 课堂小结 一次函数与二元一次方程 二元一次方程的解 直线上点的坐标 二元一次方程组的解 两条直线交点的坐标 一次函数与二元一次方程组 感谢聆听! $