8.1 与三角形有关的边和角（习题课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（华东师大版）

该初中数学课件聚焦三角形的性质与应用，涵盖等腰三角形分类、内角和定理、三边关系及稳定性等核心知识点。通过动手画图（如不同类型等腰三角形）、实际问题（木工选木条长度）等导入，衔接几何基础，为后续学习提供支架。 其亮点在于以数学眼光引导观察（画正三角形培养空间观念），用数学思维深化推理（内角和计算、外角性质推导），借数学语言规范表达（三线合一结论描述）。学生能提升动手与逻辑能力，教师可依托丰富实例高效教学。

七（下）数学教材习题 习题 8.1 华 师 版 【教材P83】 1. 在练习本上画出: (1) 等腰锐角三角形; (2) 等腰直角三角形; (3) 等腰钝角三角形. (1) (2) (3) 8.1.1 练习 2. 6个点如图所示那样放置，相邻两点的距离相等. 把这些点作为三角形的顶点，可以画多少个正三角形？ 解：可以画5个正三角形. 【教材P84】 1. 如图，△ABC 是等腰三角形， AB = AC. 试画出边 BC 上的中线和高以及∠A 的平分线，从中你发现了什么？ A B C 解：如图所示，等腰三角形底边上的中线、高和顶角的平分线三条线重合，即三线合一. 8.1.1 练习 2. 在一个直角三角形中，画出斜边上的中线，先观察一下图形中有几个等腰三角形，再用刻度尺验证你的结论. 解：若该直角三角形是等腰直角三角形， 则图形中有3个等腰三角形； 若该直角三角形不是等腰三角形， 则图形中有2个等腰三角形. 8.1.2 练习 【教材P86】 1 A C B 2 4 3 D E 1. 如图，∠A = 40°， 则∠1 +∠2 +∠3 +∠4 =_____. 280° 2. 在△ABC中，∠A + ∠B = 80°，∠C =2∠B. 求∠A、∠B和∠C的度数. 解：∵∠A +∠B = 80°， ∴∠C = 180°–（∠A +∠B）= 100°. ∴∠A = 80°–∠B = 30°. ∵∠C = 2∠B ， ∴∠B = ∠C = 50°. 3. 在△ABC中，∠B =∠A + 30°， ∠C =∠B + 30°. 求△ABC 的各内角的度数. 解：∵∠B =∠A + 30°，∠C =∠B + 30°， ∴∠C = ∠A + 60°. ∴∠A = 30°. ∵∠A +∠B + ∠C = 180°， ∴∠A +∠A + 30°+∠A + 60° = 180°. ∴∠B =∠A + 30° = 60°， ∠C =∠A + 60° = 90°. 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，D、E 分别是边CB、AB 延长线上的点，∠A = ∠D. 试说明△BDE 是直角三角形. 解：∵∠C = 90°，∴∠A +∠ABC = 90°. 又∵∠A = ∠D ，∠ABC =∠DBE， 在△BDE 中， ∵∠D +∠DBE +∠E = 180°， ∴∠E = 180° – (∠D +∠DBE). ∴△BDE 是直角三角形. A C B D E ∴∠E = 180° – (∠A +∠ABC) = 180° – 90° = 90°. 8.1.2 练习 【教材P88】 1. 一个三角形可以有两个内角都是直角吗？可以有两个内角都是钝角或锐角吗？为什么？ 解：一个三角形不可以有两个内角都是直角，不可以有两个内角都是钝角，可以且一定有两个内角都是锐角. 当一个三角形中有两个直角或钝角时，三个内角之和会大于 180°，这与三角形的内角和等于 180°矛盾. 2. 说出下列各图中∠1 的度数. 30° 60° 1 ① 45° 50° 1 ② 35° 120° 1 ③ ∠1 = 90° ∠1 = 95° ∠1 = 85° 3. 如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，∠BCD = 35°. （1）求∠EBC 的度数； （2）求∠A 的度数. 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）. C B D E A 解：(1)∵ CD⊥AD（已知）， ∴∠CDB = ________. ∵∠EBC = ∠CDB +∠BCD （________________________ _________________________）， ∴∠EBC =_______+ 35°=_______ （等量代换）. C B D E A 90° 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 90° 125° (2)∵ ∠EBC =∠A +∠ACB （________________________ __________________________）， ∴∠A =∠EBC –∠ACB（等式的性质）. ∵∠ACB = 90°（已知）， ∴∠A =_______– 90°=_______ （等量代换）. C B D E A 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 125° 35° 解：∵ ∠BCA =∠BCD +∠DCA， ∴∠DCA =∠BCA –∠BCD. ∵∠BCA = 90°，∠BCD = 35°， ∴∠DCA = 90°– 35°=55°. ∵∠A + ∠DCA = 90°， ∴∠A = 90°–∠DCA = 90°– 55°= 35°. ∴∠EBC =∠BCA +∠A = 90°+ 35°= 125°. 你还能用其他方法解决这一问题吗？ C B D E A 8.1.3 练习 【教材P91】 1. 下列长度的各组线段能否组成一个三角形？ （1）15 cm、10 cm、7 cm； （2）4 cm、5 cm、10 cm； （3）3 cm、8 cm、5 cm； （4）4 cm、5 cm、6 cm. √ × × √ 2. 一木工有两根长分别为 40 cm 和 60 cm 的木条，要另找一根木条，钉成一个三角木架. 问：第三根木条的长度应在什么范围内？ 解：第三根木条的长度应小于两根木条的长度和： 40 + 60 = 100（cm） 还应大于两根木条的长度差： 60 – 40 = 20（cm） 即第三根木条的长度应大于 20 cm 且小于 100 cm. 3. 举两个三角形的稳定性在实际生活中应用的例子. 习题 8.1 1．已知△ABC是等腰三角形． （1）如果它的两条边的长分别为8 cm和3 cm，那么它的周长是 cm； （2）如果它的周长为18 cm，一条边的长为 4 cm，那么它的腰长是 cm． 19 7 2．按图中所给的条件，可得∠1= ， ∠2= ， ∠3= ． 25° 118° 62° 3．如图，飞机要从A地飞往B地，因受大风影响，一开始就偏离航线（AB）18°（即∠A=18°），飞到了C地，经B地的导航站测得∠ABC=10°．此时飞机必须沿某一方向飞行才能到达B地．求这一方向与AC方向的夹角∠BCD的度数． 解：∵∠BCD是△ABC的外角，∴∠BCD=∠A+∠B=18°+10°=28°． ∴这一方向与AC方向的夹角∠BCD的度数为28°． 4．如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠ACB=50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：∵BP平分∠ABC（已知）， ∴∠PBC= ∠ABC= ×80°=40°． 同理可得∠PCB= ． ∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180° （ ）， ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB（等式的性质） =180°-40°- = ． 25° 三角形的内角和等于180° 25° 115° 5. 如图，在△ABC 中，∠ABC 和 ∠ACB 的外角平分线相交于点 D，若∠BDC = 40°，则∠A =________. 100° A D B C B 组 6. 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于点 D . (1)试找出∠D 与 △ABC 的内角∠A 之间的关系. (2)结合 A 组第 4 题和第 5 题，从这 3 道题目的情况看，你能发现其中的规律吗？ A D B C B 组 解：（1）∠D = ∠A. （2）规律：在三角形中，两内角平分线的夹角等于等于 90 度与第三个内角的一半的和，两内角的外角平分线的夹角等于 90 度与第三个内角的一半的差，一内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角等于第三个内角的一半. A D B C B 组 7. 用一条长为 20 cm 的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边长的 2 倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长是 5 cm 的等腰三角形吗？为什么？ B 组 解：设等腰三角形的腰长为 x cm，则底边长为(20-2x) cm. (1)∵腰长是底边长的 2 倍，∴x = 2(20-2x). ∴x = 8. ∴20 – 2x = 4. 因此，各边的长分别是 4 cm，8 cm，8 cm. B 组 （2）能. 理由如下： 若腰长为 5 cm，则 x = 5. ∴20 – 2x = 10. ∵5 + 5 = 10，∴不合题意. 若底边长为 5 cm，则 20 – 2x = 5，∴x = 7.5. ∵5 + 7.5 > 7.5，∴符合题意. 因此，能围成有一边长为 5 cm 的等腰三角形. B 组 8. 在平面内，分别用3根、4根、5根、6根······火柴首尾依次相接(不能折断，且需全部用完)，能搭成什么形状的三角形？小明通过尝试，发现用3根、5根、6根火柴分别可以搭成一些三角形， 如下表所示： 火柴数 3 5 6 示意图 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 2 2 2 1 2 2 1 1 1 B 组 现在请你与小明一起继续尝试，并回答下列问题： (1) 用 4 根火柴能搭成三角形吗？ (2) 用 8 根、12 根火柴能搭成几种不同形状的三角形？请在下表中画出它们的示意图. 不能 B 组 火柴数 8 12 示意图 形状 等腰 三角形 等腰三角形、等边三角形、直角三角形 3 2 3 5 2 5 4 4 4 5 4 3 B 组 $