河北沧州市沧县中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试卷

沧县中学高二年级2025-2026学年度上学期第二次月考 数学试卷 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1．直线在轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 2．已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 3．已知离心率为3的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（   ） A．13 B．21 C．29 D．31 4．已知椭圆C：（且），直线与椭圆C相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为（   ） A．2 B．4 C． D． 5．已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．7 D．8 6．已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线AB与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．曲线的左，右焦点为，C上有一点P，与y轴交于点Q，满足以P为圆心，为半径的圆与x轴相切，恰交y轴于Q，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A．4 B ．8 C．12 D． 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆，直线，则（    ） A．直线恒过定点 B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C．直线被圆截得的最小弦长为 D．若圆与圆恰有三条公切线，则 10．如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（    ） A．，，，四点共面 B．与所成角的大小为 C．在线段上存在点，使得平面 D．在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值 11．如图所示．已知椭圆方程为，F1、F2为左右焦点，下列命题正确的是（    ） A．P为椭圆上一点，线段PF1中点为Q，则为定值 B．直线与椭圆交于R ，S两点，A是椭圆上异与R ，S的点，且、均存在，则 C．若椭圆上存在一点M使，则椭圆离心率的取值范围是 D．四边形 为椭圆内接矩形，则其面积最大值为2ab 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．若双曲线的左、右焦点分别为，，P是C右支上的动点，则的最小值为 ． 13．若关于的不等式的解集是，则值是 ． 14．已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 四、解答题 15．已知圆经过点，，且圆C与直线，均相切. (1)若经过圆心C的直线与，平行，求直线的方程； (2)求圆C的标准方程. 16．如图，在斜三棱柱中，平面平面是边长为2的等边三角形，为的中点，且为的中点，为的中点，. (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17．已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点． (1)求双曲线C的方程，并写出其离心率与渐近线方程； (2)已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值． 18．如图，在平行六面体中，底面是矩形，，，点E，F分别为，，的中点，且. (1)证明：平面平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 19．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到原点的最短距离为，且椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3.设点分别为椭圆的右顶点和左焦点，过点的直线交椭圆于点，直线分别与直线交于点. (1)求椭圆的方程； (2)证明：直线和直线的斜率之积为定值； (3)求与面积之和的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 11.4月考参考答案 1．B 2．B 3．C 4．B 5．C 6．D 7．C由题：轴，故， 由定义知，， 又，为中点，所以， 所以， 故C的渐近线方程为， 故选：C. 8．B因为为线段的垂直平分线， 根据对称性，，， 所以的周长等于的周长， 利用椭圆的定义得到的周长为． 9．ACD 对于A，直线的方程为， 变形可得：， 令，解得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆，其圆心为，半径为， 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 由于，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故B错误； 对于C，因为直线过定点，且点在圆内， 则经过，两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时圆心到直线的距离为， 所以最小弦长为，故C正确； 对于D，圆的方程，即， 其圆心为，半径为，需满足， 若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切， 则有，解得，故D正确. 故选：ACD. 10．ABD 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系， 则， 故， 设，即， 所以，解得， 所以共面， 又为公共始点，所以，，，四点共面，故A正确； ，则， 所以， 所以与所成角的余弦值为， 所以与所成角的大小为，故B正确； 对于C，假设在线段上存在，可设 ，， 则，， 由，得 由，得， 即与垂直和与垂直不能同时成立， 所以与平面不垂直，故C错误； ，则，所以， 又不共面，所以， 又平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离即为点到平面的距离，为定值， 又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故D正确. 11．ACD A：连接，由椭圆的定义可知， 线段中点为Q，所以， 于是有，所以本选项命题正确； B：直线与椭圆交于R ，S两点， 因为直线经过原点，而椭圆是关于原点的中心对称图形， 所以R ，S两点关于原点对称，不妨设，， ， 因为A是椭圆上异与R 的点， 所以有，两个式相减，得 ， 因此， 所以本选项命题是假命题； C：椭圆上存在一点M使， 由余弦定理可知：， 即， 即， 而 ，当且仅当时取等号，即M为上（下）顶点时取等号， 而，所以，因此本选项命题是真命题； D：因为矩形和该椭圆的对称轴和对称中心相同， 所以设矩形在第一象限的顶点为，即， 所以矩形的面积为， 因为， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 因此本选项命题是真命题， 故选：ACD 12．3 13．2 不等式， 令，即表示以点为圆心，1为半径的圆在x轴及上方的半圆， 表示过定点的直线，      因此不等式的解集是， 等价于半圆在直线及上方时，的取值集合恰为， 观察图象得直线恰过点，则有， 所以. 14．依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 15．(1) (2) （1）由题意直线到直线，的距离都等于圆的半径， 设直线的方程为， 则，解得， 所以直线的方程为； （2）由题意可得， 解得， 所以圆C的标准方程为. 16．(2)(3)（1）如图，连接. ， 平面平面，平面平面平面， 平面. 是边长为2的等边三角形，. 以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，则， . 是平面的一个法向量，令. ， ， . （2）. 设平面的法向量为， 则 令，可得， 平面的一个法向量为， 点到平面的距离为. （3）. 设平面的法向量为， 则令，可得， 平面的一个法向量为. 由（2）可知平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为.. 17．(1)双曲线C的方程为，离心率，渐近线方程为 (2) （1）因为双曲线C与有相同的渐近线， 所以可设双曲线C的方程为，代入，得，得，故双曲线C的方程为， 所以，，，故离心率， 渐近线方程为． （2）联立直线AB与双曲线C的方程，得， 整理得， ． 设，，则AB的中点坐标为，由根与系数的关系得，，， 所以AB的中点坐标为， 又点在圆上，所以， 所以． 18（1）设，则， 则， 所以， 因为为的中点， 所以，， 则，所以， 又平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）由，可得，则， 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 设， 则， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 解得， 所以的长度为. 19．（1）依题意得，， 所以椭圆的方程为：. （2）设直线的方程为： ， 由于在椭圆内，所以直线与椭圆必有个交点， 所以， 方程，同理， ， 为定值. （3） ， 当且仅当时取“. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $