24.5 三角形的内切圆（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该教案聚焦三角形内切圆与内心的概念及计算，通过李明加工三角形废料的实际问题导入，设计三个探索问题引导学生思考圆与边的位置关系、圆心位置等，搭建从圆与直线位置关系到内切圆概念的学习支架。 资料特色在于情境导入贴近生活激发数学眼光，探究题分层设计涵盖求半径、周长、角度及内心判定等类型，培养推理能力与运算能力。通过例题解析、方法总结和变式训练引导学生自主探索，提升几何直观与空间观念，为教师提供结构化教学资源，助力高效教学。

24.5 三角形的内切圆 1．了解并掌握有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念； 2．学会解决与三角形的内切圆和三角形内心有关的计算，进一步体会数形结合思想(重点，难点)． 一、情境导入 李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大．应该怎样画出裁剪图？ 探索：(1)当裁得圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？ (2)与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？ (3)如何确定这个圆的圆心？ 二、合作探究 探究点一：与三角形内切圆有关的计算 【类型一】 求三角形的内切圆的半径 如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________． 解析：如图，连接OD.由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD＝30°，OD⊥BC，所以CD＝BC，OC＝2OD.又由BC＝2，则CD＝1.在Rt△OCD中，根据勾股定理得OD2＋CD2＝OC2，所以OD2＋12＝(2OD)2，所以OD＝.即⊙O的半径为. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】 求三角形的周长 如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧(不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为(　　) A．r B.r C．2r D.r 解析：连接OD，OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC.又∵MD，MP都是⊙O的切线，且D、P是切点，∴MD＝MP，同理可得NP＝NE，∴CRt△MBN＝MB＋BN＋NM＝MB＋BN＋NP＋PM＝MB＋MD＋BN＋NE＝BD＋BE＝2r，故选C. 方法总结：本题没有明确告诉数据，因此要从转化入手，连接切点与圆心，运用三角形内切圆的相关性质，得到等量关系，从而求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题 探究点二：三角形的内心及相关计算 【类型一】 根据三角形的内心求角度 已知O是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BOC等于(　　) A．100° B．115° C．130° D．125° 解析：∵O是△ABC的内心，∠A＝50°，∴∠OBC＋∠OCB＝(180°－∠A)＝(180°－50°)＝65°，∴∠BOC＝180°－65°＝115°.故选B. 方法总结：在三角形中三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心，而三角形内切圆的圆心叫三角形的内心． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题 【类型二】 三角形内心的有关判定 如图，⊙O与△ABC的三条边相交所得的弦长相等，则下列说法正确的是(　　) A．点O是△ABC的内心 B．点O是△ABC的外心 C．△ABC是正三角形 D．△ABC是等腰三角形 解析：过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF，由垂径定理得：DM＝DE，KQ＝KH，FN＝FG，∵DE＝FG＝HK，∴DM＝KQ＝FN.∵OD＝OK＝OF，∴由勾股定理得OM＝ON＝OQ，即O到△ABC三边的距离相等，∴点O是△ABC的内心，故选A. 方法总结：本题考查了垂径定理、勾股定理和三角形内心的综合应用，解题时要注意三角形的内心到三角形三边的距离相等． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 三、板书设计 1．三角形的内切圆 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆． 2．三角形的内心 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是这个三角形三个内角的角平分线交点．三角形的内心到三角形的三边距离相等． 教学过程中，需要向学生强调三角形的内切圆圆心的性质与特点，针对难以理解的概念性问题，可以在练习中让学生自己探索解题方法，引导学生发现规律，使学生成为课堂真正的主人. 学科网（北京）股份有限公司 $