第24章 圆复习题（习题课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学单元复习课件系统梳理了图形变换（平移、旋转、中心对称）与圆的性质（弦、弧、圆心角、切线）等核心知识，通过从基础识别到综合证明的递进设计，串联起变换特征、圆的计算及正多边形应用，构建完整知识网络。 其亮点在于分层设计与核心素养培养，A组基础题如观察图案变换培养几何直观，B组综合题如切线性质证明锻炼推理能力，C组拓展题如正多边形计算提升应用意识。这种设计让学生逐步深化理解，教师可精准实施分层复习，有效巩固知识。

九（下）数学教材习题 复习题 24 沪 科 版 1．仔细观察下列镶边图案： （1）每幅镶边图案具有什么特征？ 解：每幅镶边图案都是由一个基本图形演变而来，其基本图形的形状、大小都相同，只是位置不同． A组 1．仔细观察下列镶边图案： （2）说出每幅镶边图案的变换名称并加以解释． 解：图（1）是由树叶经过平移变换得到的；图（2）是由一个蝴蝶图形经过中心对称变换得到的． A组 2．已知：⊙O的半径为2，点P在⊙O上，该平面上另有一点Q，PQ为2．画出图形，标注点Q可能的位置． 解：如图所示．点Q在以点P为圆心，2为半径的圆上． A组 3．如图，把Rt△ABC的斜边AB放在直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置．若BC=1，AC= ，则当点A转动到点A″的位置时，求点A两次转动所经过的路程． A组 解：∵BC=1，AC= ，∴tan∠ABC= ． ∴∠ABC=60°． ∴∠CAB=30°．∴AB=2BC=2． ∴点A两次转动所经过的路程为 ． A组 4．如图，在⊙O中，弦AB所对劣弧为圆的 ，圆半径为2cm，求AB的长及∠AOB的大小. 解：如图,作OC⊥AB于C．∵劣弧AB为 圆的 ，∴∠AOB= ×360°=120°． ∵OA=OB，∴∠A=（180°-120°）÷2=30°． ∴OC= OA=1．由勾股定理得AC= ． ∵OC⊥AB，∴AB=2AC=2 （cm）． A组 5．如图，在⊙O中，如果 ，OD，OE是弦心距，且OD=OE，那么△ABC是什么三角形，为什么？ 解：△ABC是等边三角形．理由如下： ∵OD=OE，OD，OE是弦心距， ∴AC=BC． ∵ ，∴AB=BC． ∴AB=AC=BC，即△ABC是等边三角形． A组 6．已知：⊙O的半径为5，点A到圆心O的距离OA为3，求过点A最短的弦长. 解：与OA垂直且过点A的弦的长最短． 设该弦为CD， 在Rt△OAC中，AC= =4． ∵OA⊥CD， ∴CD=2AC=8，即最短弦的长为8． A组 7．已知：两弦AB和CD相交于圆内的一点P，并且两弦夹角被经过点P的直径平分.求证：AB=CD． 证明：如图，过点O分别做AB，CD的垂线，垂足为E，F，连接OC，OB． ∵OP为∠CPB的平分线， ∴OE=OF． A组 在Rt△BOE与Rt△COF中， ∴Rt△BOE≌Rt△COF（HL）． ∴BE=CF． ∵OF⊥CD，OE⊥AB， ∴CD=2CF，AB=2BE． ∴AB=CD． A组 8．已知：在⊙O中，弦AB的长是半径OA的 倍，点C是 的中点，问四边形OACB是什么图形，为什么？ 解：四边形OACB是菱形．理由如下：如图，连接OC． ∵点C是 的中点， ∴OC⊥AB． ∴AD=BD= AB． A组 在Rt△AOD中，sin∠AOD= ， ∴∠AOD=60°． 又OA=OC，∴△AOC为等边三角形． ∴OA=OC=AC． 同理可知OB=OC=BC， ∴OA=AC=CB=OB． ∴四边形OACB是菱形． A组 9．如图，AB，CD，EF是⊙O的三条弦，AB∥CD∥EF，问△ACE与△BDF有什么关系，为什么？ 解：△ACE≌△BDF．理由如下： 如图，连接AF． ∵四边形ACEF和四边形ABDF为圆的内接四边形，∴∠ACE+∠AFE=180°，∠BDF+∠BAF=180°． A组 ∵AB∥EF， ∴∠BAF=∠AFE． ∴∠ACE=∠BDF． ∴AE=BF． 同理可得AC=BD，CE=DF， ∴△ACE≌△BDF（SSS）． A组 10．如图，AB是⊙O的直径，C，D是半圆上两点，且AC=CD=DB，AB=10cm． （1）求AC的长度； 解：如图，连接OC，OD． ∵AB为⊙O的直径，AB=10cm, ∴OA=OB=5cm. ∵AC=CD=DB，∴∠AOC=∠COD=∠BOD=60°． ∴△AOC是等边三角形．∴AC=OA=5cm． A组 10．如图，AB是⊙O的直径，C，D是半圆上两点，且AC=CD=DB，AB=10cm． （2）证明CD∥AB． 证明：∵由（1）知∠AOC=∠COD=∠BOD=60°， ∴△AOC、△COD与△BOD均是等边三角形． ∴∠A+∠ACD=180°．∴CD∥AB． A组 11．已知：如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径.求证：AB•AC=AE•AD． 证明：如图，连接CE． 由圆周角定理可知∠B=∠E． ∵∠ADB=∠ACE=90°，∠B=∠E， ∴△ADB∽△ACE．∴ ． ∴AB•AC=AE•AD． A组 12．如图，花园围墙上有一宽为1m的矩形门ABCD，量得门框对角线AC的长为2m.现准备打掉部分墙体，使其变为以AC为直径的圆弧形门，问要打掉墙体的面积是多少？（π≈3.14， ≈1.73） A组 解：如图，在Rt△ABC中， ∵AC=2m,BC=1m. ∴∠BAC=30°，AB= m． ∴∠BCO=60°，即△OBC是等边三角形． ∠BOC所对的弧与弦BC所围成的弓形的面积S1= （m2 ）． A组 ∴要打掉的墙体的面积=S⊙O-S矩形ABCD-S1= ≈1.32（m）． A组 13．已知：如图，AD是∠EAC的平分线，AD与△ABC的外接圆交于点D.求证：DB=DC. 证明：∵AD平分∠EAC， ∴∠EAD=∠CAD． ∵A，D，C，B四点共圆， ∴∠EAD=∠DCB． 由圆周角定理得∠CAD=∠CBD， ∴∠DCB=∠DBC．∴DB=DC． A组 14．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB. 证明：如图，连接OC． ∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD． ∵AD⊥CD，∴OC∥AD． ∴∠OCA=∠DAC． ∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC． ∴∠OAC=∠DAC．∴AC平分∠DAB． A组 15．如图，在△ABC中，∠A=90°，O是BC边上的一点，以点O为圆心的半圆分别与边AB，AC相切于点D，E，连接OD．已知BD=2，AD=3．求橘红色部分的面积． 解：如图，连接OE，设⊙O与BC交于M，N两点． ∵AB，AC分别切⊙O于点D，E， ∴AD⊥OD，AE⊥OE． ∴∠ADO=∠AEO=90°． A组 又∵∠A=90°，∴四边形ADOE是矩形． ∵OD=OE，∴四边形ADOE是正方形． ∴OD∥AC，OD=AD=3．∴∠BOD=∠C． ∴在Rt△BOD中，tan∠BOD= ．∴tanC= ． ∵四边形ADOE是正方形， ∴∠DOE=90°．∴∠COE+∠BOD=90°． A组 ∵在Rt△EOC中，tanC= ，OE=3， ∴EC= ． ∴S扇形DOM+S扇形EON=S扇形DOE= S⊙O= ． ∴S橘红色部分=S△BOD+S△COE-（S扇形DOM+S扇形EON）= ． A组 16．已知：过⊙O外的定点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O于点A，B.在劣弧 上任取一点C，经过点C作⊙O的切线，分别交PA，PB于点D，E．求证： （1）△PDE的周长是定值（PA+PB）； A组 证明：如图，由题意得DA=DC，EC=EB， ∴△PDE的周长=PD+PE+DE= PD+DC+EC+PE=PA+PB． 故△PDE的周长是定值（PA+PB）． A组 16．已知：过⊙O外的定点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O于点A，B.在劣弧 上任取一点C，经过点C作⊙O的切线，分别交PA，PB于点D，E．求证： （2）∠DOE的大小是定值（ ∠AOB）． A组 证明：如图，连接AO，BO，CO． ∵PA，PB，DE为⊙O的切线， ∴∠OAD=∠DCO=∠OBE=90°，∠ADO=∠CDO，∠CEO=∠BEO． ∴∠AOD=∠DOC，∠COE=∠BOE． ∴∠DOE= ∠AOB， 即∠DOE的大小是定值（ ∠AOB）． A组 17．如图是正四边形、正五边形、正六边形，试分别计算其相邻两条对角线的夹角α4、α5、α6，并探究正n边形相邻两条对角线的夹角存在什么规律． α4 α5 α6 A组 解：由正方形ABCD，可得α4=90°． 由正五边形ABCDE， 可得AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=108°， ∴∠DBC=∠ACB= =36°． ∴α5=180°-∠DBC-∠ACB=108°． 同理：α6=120°． ∴正n边形相邻两条对角线的夹角αn＝ ． A组 1．如图是4个全等的图形. （1）将S变换为S2、将S变换为S3分别是什么变换？如果是旋转，找出旋转中心，并量一下旋转角的度数； 解：将S变换为S2，是旋转变换，旋转中心为点O，旋转角的度数为90°． 将S变换为S3，是旋转变换，旋转中心为O′，旋转角的度数为90°．如图． B组 1．如图是4个全等的图形. （2）S到S1、S2到S3各是什么变换？如果是旋转，找出旋转中心；如果是轴对称，找出对称轴；如果是平移，求平移方向及距离． 解：如图．S到S1，是轴对称变换，对称轴为直线l,S2到S3各是平移变换，S2向右平移AB个单位长度，再向上平移BC个长度单位可以得到S3． B组 2．在平面直角坐标系中，有两个正方形ABCD和PQRS，顶点分别为A（-3，1），B（1，1），C（1，-3），D（-3，-3）与P（-1，3），Q（3，3），R（3，-1），S（-1，-1），试在方格纸上画出它们，并完成下列要求： （1）找出旋转中心和旋转角度，使正方形ABCD变换成正方形QRSP；正方形ABCD变换成正方形SPQR；正方形ABCD变换成正方形RSPQ； B组 解：如图，正方形ABCD，正方形PQRS即为所求． 正方形ABCD绕点M顺时针旋转90°可以得到正方形QRSP；正方形ABCD绕点N逆时针旋转90°可以得到正方形SPQR；正方形ABCD绕点O旋转180°可以得到正方形RSPQ． B组 （2）在（1）中，两个正方形是否成轴对称？如是，找出其对称轴； 解：是轴对称图形，对称性是直线MN． B组 （3）什么变换可以使正方形ABCD变换成正方形PQRS？ 解：正方形ABCD向右平移2个单位，向上平移2个单位可以得到正方形PQRS． B组 3．已知：在两个同心圆中，大圆的弦AB，AC分别与小圆相切于点D，E.求证：DE∥BC且DE= BC． 证明：如图，连接OD，OE， 则OD⊥AB，OE⊥AC． 由垂径定理得AD=BD，AE=CE， ∴DE∥BC且DE= BC． B组 4．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE，BF垂直于DC的延长线，垂足分别为E，F.求证：EC=DF. 证明：如图，过点O作OM⊥CD于点M， 则CM=DM． 易知AE∥OM∥BF． ∵AB是⊙O的直径， ∴OA=OB． ∴点M是EF的中点，即EM=FM． ∴EM-CM=FM-DM，即EC=DF． B组 5．证明：以等腰三角形的一腰为直径的圆平分底边. 证明：设△ABC为等腰三角形，AB=AC． 以AC长为直径作圆交BC于点D． 连接AD，则∠ADC=90°，即AD⊥BC． 故点D为BC的中点． B组 6．如图，P，C是以AB为直径的半圆上的两点， 所对的圆心角为90°.连接PB，AC交于点M，试分别比较MC与BC、MP与AP的大小，问∠BMC为多大？ 解：∵ 所对的圆心角度数为90°， ∴∠PBC=45°． ∵AB是直径，∴∠BCA=90°． ∴∠BMC=45°．∴∠BMC=∠PBC． ∴MC=BC．同理MP=AP． B组 7．如图，在△ABC中，∠B=90°，点O在AB上，以点O为圆心、OB为半径的圆与AB交于点E，与AC相切于点D，AD=2，AE=1，求CD的长． 解：∵AD是⊙O是切线， ∴AD2=AE•AB． ∵AD=2，AE=1． ∴22=1×AB，解得AB=4． B组 ∵∠B=90°，AB是⊙O的直径， ∴CB是⊙O的切线． ∴CD=CB． ∵∠B=90°， ∴AC2=AB2+BC2． 设CD=a,∴（2+a）2=42+a2， 解得a=3．即CD=3． B组 8．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，分别以点A，B，C，D为圆心、a为半径作弧，相互交于点E，F，G，H，求橘红色部分的周长. 解：如图，连接AH，BH． 由圆的定义，得AB=AH=BH， ∴△ABH是等边三角形． B组 ∵∠BAD=90°，∠BAH=60°， ∴∠DAH=90°-60°=30°． 同理， 所对的圆心角是30°， ∴ 所对的圆心角是90°-30°×2=30°． ∴ ． 由对称性知，图中阴影部分的外围四条弧都相等， ∴图中橘红色部分的周长= ． B组 9．如图，一个边长为4的大正方形被分成4个全等的小正方形，橘红色部分由3段圆弧围成，大圆弧半径是4，两个小圆弧半径是2，求橘红色部分的面积． 解：橘红色部分面积 = -22= 4π-8． B组 10．如图，圆半径为R，分别以圆上3等份点为圆心，R为半径的圆内作弧，求橘红色部分的面积． 解：如图，取弧AB中点P，连接OA， OP，AP，则△OAP的面积是 R2． ∵扇形OAP的面积是 R2， ∴橘红色部分的面积为 B组 1．已知：在如图的⊙O中，弦AB是圆内接正六边形的一边，弦AC是圆内接正十边形的一边．求证：BC是圆内接正十五边形的一边． C组 证明：如图，连接OA，OB，OC． ∵弦AB是圆内接正六边形的一边，弦AC是圆内接正十边形的一边， ∴∠AOC= =36°，∠AOB= =60°． ∴∠BOC=60°-36°=24°． 则n= =15．则BC是正十五边形的一边． C组 2．求边长为a的正五边形对角线的长. 解：如图.∵ABCDE是正五边形， ∴∠BAF=∠GBF， ∠AFB=∠BFG. ∴△AFB∽△BFG. ∴ . C组 ∵AF=AB=a,AG=BG=BF=FC， 设AG=BG=BF=FC=x, 则GF=a-x. ∴ .解得x= a.（负值已舍） ∴AC=x+a= a. 答：边长为a的正五边形对角线的长为 a. C组 3．已知：正十边形外接圆的半径为R.求证：正十边形的边长a10= ． 证明：如图，设AB是圆内接正十边形的一条边，则OA=OB=R，设AB=a10.连接OA，0B，在OB上截取OM=AM. ∵∠AOB= =36°， C组 ∴∠OAM=∠AOB=36°． ∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=72°． ∴∠MAB=72°-36°=36°． ∴∠AMB=36°+36°=72°． ∴∠B=∠AMB．∴AB=AM=OM=a10． ∵∠B=∠B，∠MAB=∠AOB，∴△OAB∽△ABM． C组 ∴ = . ∴ ∴a102+a10R-R2=0． ∴a10= （负值已舍去）． ∴a10= R ． C组 4．已知：过点P作一直线与半径为R的⊙O相交于A，B两点.求证：PA•PB=|R2-OP2|． 证明：①当点P在圆内时，过点P作直径CD，如图1．∵PA•PB=PC•PD， 而PC=OC-OP=R-OP，PD=OD+OP= R+OP，∴PA•PB=(R-OP)(R+OP)=R2-OP2． C组 ②当点P在圆外时，直线OP交⊙O于C，D，如图2．∵PD和PB都为⊙O的割线， ∴PA•PB=PC•PD． 而PC=OP-OC=OP-R， PD=OP+OD=OP+R， ∴PA•PB=（OP-R）（OP+R）=OP2-R2． 综上所述：PA•PB=|R2-OP2|． C组 5．三人各带一根长100m的绳子在荒滩上围地开垦，甲围成正三角形，乙围成正方形，丙围成圆，问三人中谁围的地面积最大？ 解：S正三角形= ， S正方形= ，S圆= . 易知S圆＞S正方形＞S正三角形，故丙围的地面积大. C组 $