第24章 专题7 圆中与相似有关的2种题型[教材拓展]（作业课件）【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦九年级下册第24章“圆”中与相似有关的两种题型，以教材习题为导入，通过弦相交结论证明及应用、切线长定理延伸，搭建圆的性质与相似三角形知识的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于立足教材原题推导模型（如证明AP·BP=CP·DP），结合变式练习（如已知弦长求CD、切线长计算半径），培养学生推理能力与模型意识。学生能深化知识应用，教师可提升教学效率，强化数学思维与表达。

2026春季学期 《学练优》·九年级数学下·HK 第24章　圆 专题 7　圆中与相似有关的2种题型[教材拓展] 类型一　圆中两条弦相交结论证明及应用 教材P31习题24.3第4题 如图，☉O的两条弦 AB，CD相交于点P. 求证：AP·BP＝CP·DP. 证明：连接AD，BC. ∵∠A＝∠C，∠D＝ ∠B，∴△ADP∽△CBP. ∴ ＝ .∴AP·BP＝ CP·DP. 1. 如图，☉O的弦AB，CD相交于点P，若AP＝ 6，BP＝8，CP＝4，则CD的长为(　A　) A. 16 B. 24 C. 12 D. 不能确定 A 2 3 4 5 1 2. 如图，☉O的弦AB，CD相交于点E，若 AE∶DE＝3∶5，则AC∶BD＝ ⁠. 3∶5　 2 3 4 5 1 3. 如图，P为弦AB上一点，CP⊥OP交☉O于点 C，AB＝8， ＝ ，求PC的长. 2 3 4 5 1 解：如图，延长CP交☉O于点D. ∵CP⊥OP，∴CP＝DP. ∵AB＝8， ＝ ， ∴AP＝ AB＝2，PB＝ AB＝6. ∵AB，CD是☉O的两条相交弦，交点为P， ∴由模型证明，得PC·PD＝AP·PB. ∴PC2＝2×6 ＝12.∴PC＝2 . 解：如图，延长CP交☉O于点D. ∵CP⊥OP，∴CP＝DP. ∵AB＝8， ＝ ， ∴AP＝ AB＝2，PB＝ AB＝6. ∵AB，CD是☉O的两条相交弦，交点为P， ∴由模型证明，得PC·PD＝AP·PB. ∴PC2＝2×6 ＝12.∴PC＝2 . 2 3 4 5 1 类型二　切线长定理延伸 教材P71C组复习题第4题 已知C为☉O上一点，P 为☉O外一点，CP与☉O交于点B，PA与☉O相切 于点A. 求证：PA2＝PB·PC. 2 3 4 5 1 证明：连接AO并延长交☉O于点D，连接AB， BD，AC. ∵PA和☉O相切，∴∠PAD＝ 90°.∴∠PAB＋∠BAD＝90°.又∵AD为直径， ∴∠BAD＋∠D＝90°.∴∠D＝∠PAB. 又∠D ＝∠C，∴∠PAB＝∠C. 又∵∠P＝∠P， ∴△PAB∽△PCA. ∴ ＝ .∴PA2＝PB·PC. 2 3 4 5 1 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC ＝4，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长 为 ⁠. 　 2 3 4 5 1 5. 如图，P是☉O外一点，割线PB过点O与☉O相 交于A，B，切线PC与☉O相切于C，若PA＝2， PC＝3. (1)求☉O的半径长； 解：(1)设☉O的半径为r. 由模型证明，得PC2＝PA·PB， ∴32＝2(2＋2r). 解得r＝ ，∴☉O的半径为 . 解：(1)设☉O的半径为r. 由模型证明，得PC2＝PA·PB， ∴32＝2(2＋2r). 解得r＝ ，∴☉O的半径为 . 2 3 4 5 1 5. 如图，P是☉O外一点，割线PB过点O与☉O相 交于A，B，切线PC与☉O相切于C，若PA＝2， PC＝3. 为 . (2)求 sin P的值. 解：(2)如图，连接OC，则OC＝ ，OC⊥PC. ∵OP＝2＋ ＝ ，∴ sin P＝ ＝ . 解：(2)如图，连接OC，则OC＝ ，OC⊥PC. ∵OP＝2＋ ＝ ，∴ sin P＝ ＝ . 2 3 4 5 1 $