第24章 圆 本章小结与复习（作业课件）【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学单元复习课件系统梳理了圆的基本性质、旋转变换与中心对称、切线的性质和判定等核心知识，通过“单元情境串联”的例题和“考点整合训练”的分类考点，构建知识网络，体现知识点间的内在逻辑。 其亮点在于以情境化例题（如坐标系旋转、园林门洞半径计算）培养学生几何直观和空间观念，结合中考题、跨学科题目（如苯分子结构）发展模型意识和应用意识，分层设计的练习让不同学生巩固知识，教师可精准把握复习重点。

2026春季学期 《学练优》·九年级数学下·HK 第24章　圆 本章小结与复习 目 录 CONTENTS 01 单元情境串联 02 考点整合训练 例1：如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边 长为1个单位长度，△ABC，△DEF的顶点均在格 点上. (1)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1； 解：(1) (2)将△DEF绕点E逆时针旋转90°得到△D1EF1， 画出△D1EF1； 解：(2)如图所示. 解：(2)如图所示. 例1：如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边 长为1个单位长度，△ABC，△DEF的顶点均在格 点上. (3)点A1的坐标为 ，连接FF1，则FF1 的长为 ⁠； (4)若△DEF是由△ABC绕着某点旋 转得到的，则这点的坐标为 ⁠. (－1，－2)　 2 　 (0，1)　 例1：如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边 长为1个单位长度，△ABC，△DEF的顶点均在格 点上. 例2：改编题 已知BC是☉O的直径，点D是BC延 长线上一点，AB＝AD，AE是☉O的弦，∠AEC ＝30°. (1)求证：直线AD是☉O的切线； (1)证明：如图，连接OA. ∵∠AEC＝30°， ∴∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝ 60 (1)证明：如图，连接OA. ∵∠AEC＝30°， ∴∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝ 60°. ∵AB＝AD，∴∠D＝∠B＝30°. ∴∠OAD＝180°－∠AOC－∠D＝90°. ∵OA是☉O的半径，且AD⊥OA， ∴直线AD是☉O的切线. 例2：改编题 已知BC是☉O的直径，点D是BC延 长线上一点，AB＝AD，AE是☉O的弦，∠AEC ＝30°. (2)若AE⊥BC，垂足为M，☉O的半径为12，求 AE的长； (2)解 (2)解：∵BC是☉O的直径，且AE⊥BC于点M， ∴∠BAC＝90°，AM＝EM. ∵∠AMO＝90°，∠AOM＝60°， ∴AM＝OA· sin 60°＝6 ， 即AE＝2AM＝ 12 . 例2：改编题 已知BC是☉O的直径，点D是BC延 长线上一点，AB＝AD，AE是☉O的弦，∠AEC ＝30°. (3)在(2)的条件下，求图中阴影部分的面积. (3)解：∵AD＝AB＝BC· cos 30°＝24× ＝ 12 ， ∴S阴影＝S△OAD－S扇形AOC＝ ×12×12 － ＝72 －24π. (3)解：∵AD＝AB＝BC· cos 30° ＝24× ＝ 12 ， ∴S阴影＝S△OAD－S扇形AOC ＝ ×12×12 － ＝72 －24π. 考点一　旋转变换与中心对称 1. (2025·内江中考)古钱币是我国珍贵的历史文化遗 产.下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取 的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图 形的是(　D　) D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 2. (2025·淮北期中)如图，在Rt△ABC中，∠BAC ＝90°，AC＝1，AB＝2.将△ABC绕点A旋转， 使点C的对应点C'落在BC上，点B的对应点为B'， 则CC'的长度是(　D　) D A. B. 1 C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 3. 点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为 直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的 图案(如图).这个图案绕点O至少旋转 °后能 与原来的图案互相重合. 72　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 4. (2025·黄山期末改编)如图，在平面直角坐标系 中，△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(3，3)， C(2，1). (1)画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并直接写 出点C1的坐标； 解：(1)△A1B1C1如图所示，C1(－2，－1). 解：(1)△A1B1C1如图所示， C1(－2，－1). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 4. (2025·黄山期末改编)如图，在平面直角坐标系 中，△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(3，3)， C(2，1). (2)画出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到的 △A2B2C2，并直接写出C2点的坐标； 解：(2)△A2B2C2如图所示， C2(－1，0). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 解：(2)△A2B2C2如图所示，C2(－1，0). (3)借助网格和无刻度直尺，画出△A1B1C1的中线 C1D(保留作图痕迹). 4. (2025·黄山期末改编)如图，在平面直角坐标系 中，△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(3，3)， C(2，1). 解：(3)如图， 线段C1D即为所求. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 考点二　圆的基本性质 5. 如图，点A，B，C在☉O上，AC⊥OB，垂足 为D. 若∠A＝35°，则∠C的度数是(　A　) A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 6. 如图，点A，B，C在半径为2的☉O上， ∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交☉O于点 D. 连接OA，则OE的长度为 ⁠. 1　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 7. 构造法 如图，点O是Rt△ABC内一点，☉O经 过点A和直角顶点C，与直角边BC交于点E，与斜 边交于点D，且AD＝BD. 若☉O的半径为5，AC ＝8，则斜边AB的长为 ⁠. 8 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 8. 新情境传统文化 (2025·安庆期末) “圆”是中 国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广 泛的应用，例如古典园林中的门洞.如图，某地园林 中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽AB 为1m，求该门洞的半径. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 解：设该门洞的半径为rm，过点O作OC⊥AB于 点C， 延长CO交圆O于点D，连接OA，则CD＝2.5m， OC＝(2.5－r)m，AC＝BC＝ AB＝0.5m. 在Rt△AOC中，由勾股定理得0.52＋(2.5－r)2＝ r2， 解得r＝1.3. 答：该门洞的半径为1.3m. 解：设该门洞的半径为rm， 过点O作OC⊥AB于点C， 延长CO交圆O于点D，连接OA，则CD＝2.5m， OC＝(2.5－r)m，AC＝BC＝ AB＝0.5m. 在Rt△AOC中，由勾股定理得 0.52＋(2.5－r)2＝ r2， 解得r＝1.3. 答：该门洞的半径为1.3m. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 考点三　切线的性质和判定 9. (2025·福建中考)如图，PA与☉O相切于点A， PO的延长线交☉O于点C，AB∥PC，且交☉O于 点B. 若∠P＝30°，则∠BCP的大小为(　C　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜 边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点 E，与AC相交于点F. 若AC＝8，BC＝6，则半圆 O的半径为 ⁠. 　 [解析]如图，连接OE. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，AC＝8， BC＝6，由勾股定理得AB＝ ＝10. 设☉O的半径为r，则OA＝OE＝r， ∴OB＝AB－OA＝10－r. ∵BC与半圆相切， ∴OE⊥BC. ∵∠C＝90°，即AC⊥BC， ∴OE∥AC. ∴△BOE∽△BAC. ∴ ＝ ，即 ＝ .解得r＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 11. (2025·合肥包河区模拟)如图，AB是☉O的直 径，AC是☉O的弦，AD平分∠BAC交☉O于点 D，过点D作EF⊥AC，交AC的延长线于点F， 交AB的延长线于点E. (1)求证：EF是☉O的切线； (1)证明：如图，连接OD. ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD＝∠FAD. ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA. ∴∠ODA＝∠FAD. ∴OD∥AF. ∵EF⊥AC，∴EF⊥OD. ∵OD是☉O的半径，∴EF是☉O的切线. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 (1)证明：如图，连接OD. ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD＝∠FAD. ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA. ∴∠ODA＝∠FAD. ∴OD∥AF. ∵EF⊥AC，∴EF⊥OD. ∵OD是☉O的半径，∴EF是☉O的切线. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 11. (2025·合肥包河区模拟)如图，AB是☉O的直 径，AC是☉O的弦，AD平分∠BAC交☉O于点 D，过点D作EF⊥AC，交AC的延长线于点F， 交AB的延长线于点E. (2)若CF＝2，AB＝2AC＝10，求BE的长. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 (2)解：∵AB＝2AC＝10， ∴AC＝OA＝OD＝OB ＝5. ∴AF＝AC＋CF＝5＋2＝7. ∵EF⊥AC， EF⊥OD， ∴∠AFE＝∠ODE＝90°. ∵∠E＝∠E，∴△ODE∽△AFE. ∴ ＝ ，即 ＝ . ∴ ＝ ，解得BE＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 考点四　圆与正多边形 12. (2025·合肥期末)如图，用若干个全等的正五边 形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位 置.要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数 是 ⁠. 10　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 13. 跨学科化学 苯(分子式为C6H6)的环状结构是由 德国化学家凯库勒提出的.随着研究的不断深入，发 现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形 (如图①)，图②是其平面示意图，点O为正六边形 ABCDEF的中心，则∠CBF－∠COD的度数 为 ⁠. 30°　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 考点五　弧长或扇形面积的相关计算 14. (2025·合肥庐阳区三模)如图，AB为☉O的直 径，AB＝8，劣弧AC的长为2π，则弦AC的长为 (　C　) A. 2 B. 4 C. 4 D. 6 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 15. (2025·宣城一模)圆锥的底面半径为1，母线长为 2，则这个圆锥的侧面积是(　B　) A. π B. 2π C. 3π D. 4π B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 16. (2025·湖南中考)如图，北京市某处A位于北纬 40°(即∠AOC＝40°)，东经116°，三沙市海域某 处B位于北纬15°(即∠BOC＝15°)，东经116°. 设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线 圈上的点A和点B之间的劣弧长约为(　C　) C A. πR千米 B. πR千米 C. πR千米 D. πR千米 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 17. 如图，在▱ABCD中，AD＝ AB，∠BAD＝ 45°，以点A为圆心，AD为半径画弧交AB于点 E，连接CE. 若AB＝3 ，则图中阴影部分的面 积是 ⁠. 5 －π　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 $