24.5 三角形的内切圆（习题课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦三角形内心、外心性质及内切圆半径计算，通过等边三角形内外心重合证明等例题导入，衔接角平分线、垂直平分线知识，搭建从基础到综合应用的学习支架。 其亮点是以证明推理和问题解决为主线，如第1题证明内外心关系培养推理能力，第4题推导半径公式发展抽象能力，结合几何直观与模型意识。助力学生提升逻辑思维，为教师提供系统的几何教学资源。

九（下）数学教材习题 习题 24.5 沪 科 版 1．证明：等边三角形的内心与外心重合，并且外接圆半径是内切圆半径的2倍. 已知：△ABC为等边三角形，点O为内心． 求证：点O为△ABC的外心，外接圆 半径是内切圆半径的2倍． 证明：连接AO并延长交BC于D， 连接BO并延长交AC于E，如图． ∵点O为△ABC的内心， ∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC． 而△ABC为等边三角形， ∴AD⊥BC，BD=CD，BE⊥AC，AE=CE． 即AD垂直平分BC，BE垂直平分AC． ∴点O为△ABC的外心． ∵OD⊥BC，∴OD为△ABC内切圆的半径． ∵OB平分∠ABC，∠ABC=60°， ∴∠OBD=30°．∴OD= OB． ∴△ABC外接圆半径OB是内切圆半径OD的2倍． 所以等边三角形内心与外心重合，并且外接圆半径是内切圆半径的2倍． 2．已知：如图，在△ABC中，内切圆I与边BC，CA，AB分别相交于点D，E，F． 求证：∠FDE=90°- ∠A． 证明：连接IE，IF，如图． 由题意得IE⊥AC，IF⊥AB． ∴∠AEI=∠AFI=90°．∴∠A+∠EIF=180°． ∵∠EIF=2∠FDE，∴∠A+2∠FDE=180°． ∴∠FDE=90°- ∠A． 3．如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点为E，F，G，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D ,AC=4,CD=1．求⊙O的半径r. 解：连接OE，OF，如图． ∵⊙O为△ABC的内切圆， ∴OE⊥BC，OF⊥AC．而∠C=90°， ∴四边形OECF为正方形．∴OE=CE=r． ∴OE∥AC．∴△DOE∽△DAC． ∴ ，即 ．∴r= ． 证明：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如图．∵⊙O为△ABC的内切圆，∴OD=OE=OF=r．∵∠ACB=90°， ∴四边形CEOF为正方形．∴CE=CF=r． ∴AE=AD=b-r, BF=BD=a-r． ∴b-r+a-r=c．∴r= （a+b-c）． 4．已知：在△ABC中，∠C=90°， 三边长为a，b，c，△ABC的内切圆半径为r. 求证：（1）r= （a+b-c）； 证明：如图，连接OA，OB，OC． ∵S△AOB+S△BOC+S△AOC=S△AOB， ∴ r•c+ r•a+ r•b= a•b． ∴r= ． 4．已知：在△ABC中，∠C=90°，三边长为a，b，c，△ABC的内切圆半径为r.求证：（2）r= . 5．已知：如图，在△ABC中，点E是内心，延长AE交三角形的外接圆于点D， 连接BD，DC.求证：DB=DC=DE． 证明：如图，连接BE． ∵E是△ABC的内心， ∴∠1=∠2，∠3=∠4．∴DB=DC． ∵∠BED=∠3+∠2，∠EBD=∠4+∠5， 且∠5=∠1，∴∠BED=∠EBD．∴DE=DB． ∴DB=DC=DE． 6．如图，三条直线l1，l2，l3两两相交构成三角形.在这个图中能找出几个到三条直线距离相等的点，为什么？ 解：能找出4个．理由： 如图，作三条直线l1，l2，l3两两相交构成的三角形的内角平分线和外角平分线，它们有4个交点，根据角平分线的性质得每个交点到三条直线的距离相等． 7．在△ABC中，BC=a=14 cm， AC=b=9 cm，AB=c=13 cm,它的内切圆与BC，AC，AB分别相切于 点D，E，F．求AF，BD，CE的长． 解:如图,设AF=xcm,BD=ycm,CE=zcm． ∵AF，AE是圆的切线，∴AE=AF=xcm. 同理BF=BD=ycm,CD=CE=zcm. 根据题意得 解得 ∴AF=4cm,BD=9cm,CE=5cm. $