24.6 第2课时 正多边形的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦正多边形的性质、有关计算及对称性，通过复习正多边形定义和圆的等分方法导入，搭建旧知与新知的学习支架，引导学生从已有认知过渡到对正多边形中心、半径、边心距等概念的探究。 其亮点在于以观察思考（如正方形外接圆和内切圆的发现）培养几何直观，通过表格对比内角、中心角、外角及例题（正六边形面积计算、正八边形几何问题）发展推理能力与运算能力，分层练习设计助力学生用数学语言表达关系，既帮助学生巩固知识、提升应用意识，也为教师提供清晰教学脉络，提高教学效率。

24.6 正多边形与圆 第24章 圆 第2课时 正多边形的性质 优翼九下数学教学课件（HK） 问题1 什么是正多边形？ 问题2 如何作出正多边形？ 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 将一个圆 n 等分，就可以作出这个圆的内接或外切正 n 边形. 复习引入 导入新课 正多边形的性质 O A B C D 问题1 以正方形为例，根据对称轴的性质，你能得出什么结论？ E F G H ∵ EF 是边 AB、CD 的垂直平分线，∴ OA = OB，OD = OC. 同理，OA = OD，OB = OC. ∴OA = OB = OC = OD. ∴正方形 ABCD 有一个以点 O 为圆心的外接圆. 观察与思考 新课讲授 O A B C D E F G H ∵ AC 是∠DAB 和∠DCB 的平分线，BD 是∠ABC 和∠ADC 的平分线， ∴ OE = OH = OF = OG. ∴ 正方形 ABCD 还有一个以点 O 为圆心的内切圆. 所有的正多边形是不是都有一个外接圆和一个内切圆？ 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆. 想一想： O A B C D E F G H R r 正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 内切圆的半径叫做正多边形的边心距. 知识要点 正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.每个中心角都等于 . 正多边形边数 内角 中心角 外角 3 4 6 n 60° 120° 120° 90° 90° 90° 120° 60° 60° 正多边形的外角=中心角 完成下面的表格： 练一练 如图，已知半径为 4 的圆内接正六边形 ABCDEF： ① 它的中心角等于 度； ② OC BC(填＞、＜或＝）； ③ △OBC 是 三角形； ④ 圆内接正六边形的面积是 △OBC 面积 的 倍. ⑤ 圆内接正 n 边形面积公式：___________________. C D O B E F A P 60 = 等边 6 正多边形的有关计算 二 探究归纳 S正多边形 = 例1 有一个亭子,它的地基是半径为 4 m 的正六边形，求地基的面积(精确到 0.1 m2). 抽象成 典例精析 C D O E F A P B 利用勾股定理，可得边心距 则亭子地基的面积 4m O A B C D E F M r 解：过点 O 作 OM⊥BC 于 M. 易得 △OBC 为正三角形. ∴ BC = OB = 4， 例2 求边长为 a 的正六边形的周长和面积. 解：如图，过正六边形 ABCDEF 的中心 O 作 OG⊥BC，垂足为 G，连接 OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为 l 和 S. F A B C D E O G 在正六边形 ABCDEF 中，∠BOC = 60°，OB = OC， ∴ △BOC 是等边三角形. 则 l = 6BC = 6a. 在△BOC 中， ∴ (1) 正 n 边形的中心角怎么计算？ C D O B E F A P (2) 正 n 边形的边长 a，半径 R，边心距 r 之间有什么关系？ a R r (3) 边长为 a，边心距为 r 的正 n 边形的面积是多少？ 其中 l 为正 n 边形的周长. 想一想： 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE 的度数是 （ ） A．60° B．45° C．36° D．30° · A B C D E O 练一练 C 2. 作边心距，构造直角三角形. 1. 连半径，得中心角； O A B C D E F R M r · 圆内接正多边形中常见的辅助线作法 方法归纳 O 边心距 r 边长一半 半径 R B M 中心角的一半 画一画：画出下列各正多边形的对称轴，看看能发现什么结论？ 正 n 边形都是轴对称图形，都有 n 条对称轴，且这些对称轴都通过正多边形的中心. 如果 n 为偶数，那么它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 要点归纳 例3 如图，AG 是正八边形 ABCDEFGH 的一条对角线. (1) 在剩余的顶点 B、C、D、E、F、H 中，连接两个顶 点，使连接的线段与 AG 平行，并说明理由； 解：连接 BF，CE，则 BF∥AG，CE∥AG． 理由如下： ∵ABCDEFGH 是正八边形， ∴ 它的内角都为 135°． 又∵ HA = HG，∴∠HAG = 22.5°. ∴∠GAB = 135° -∠HAG = 112.5°. ∵ 正八边形 ABCDEFGH 关于直线 BF 对称， 即∠BAG +∠ABF = 180°，故 BF∥AG． 同理，可得 CE∥BF， ∴ CE∥AG. (2) 两边延长 AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点 P、Q、M、N，若AB = 2，求四边形 PQMN 的面积． P N M Q 解：由题意可知∠PHA =∠PAH = 45°， ∴∠P = 90°. 同理可得∠Q =∠M = 90°， ∴ 四边形 PQMN 是矩形． ∵∠PHA =∠PAH =∠QBC =∠QCB = ∠MDE =∠MED = 45°，AH = BC = DE， ∴△PAH≌△QCB≌△MDE． ∴ PA = QB = QC = MD． ∴ PQ = QM． 故四边形 PQMN 是正方形． P N M Q 在 Rt△PAH 中， ∵∠PAH = 45°，AB = 2， 故 S四边形PQMN = P N M Q 2. 若正多边形的边心距与半径的比为 1∶2，则这个 正多边形的边数是 . 正多边形边数 半径 边长 边心距 周长 面积 3 4 1 6 1. 填表： 2 1 2 8 4 2 2 12 3 当堂练习 4. 要用圆形铁片截出边长为 4 cm 的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小为 cm. 也就是要找这个正方形外接圆的直径 3. 如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状可近似 看作是正七边形，则一个内角为 度.（不取 近似值） 5. 如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接正方形，若正方形的面积等于 4，求 ⊙O 的面积． 解：∵ 正方形的面积等于 4， 则半径为 ∴ ⊙O 的面积为 ∴ 正方形的边长 AB = 2. A B C D E F P 6. 如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 ，点 P 为六边形内任一点，则点 P 到各边的距离之和是多少？ 解：过 P 作 AB 的垂线，分别交 AB、DE于 H、K，连接 BD，作 CG⊥BD 于 G. G H K ∴ P 到 AF 与 CD 的距离之和，及 P 到 EF、BC 的距离之和，均为 HK 的长. ∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形， ∴ AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF. G A B C D E F P ∴ 点 P 到各边的距离之和为 3BD = 3×6 = 18. G H K ∵ BC = CD，∠BCD =∠ABC =∠CDE = 120°， ∴∠CBD =∠BDC = 30°，BD∥HK，且 BD = HK. ∵ CG⊥BD， ∴ BD = 2BG = 2BC·cos∠CBD = 6. G 拓广探索 7.如图,M,N分别是☉O内接正多边形的边AB,BC上的点,且BM=CN. (1)图①中∠MON =______°，图②中∠MON = °， 图③中∠MON = °； (2)试探究∠MON 的度数与正 n 边形的边数 n 的关系. 90 72 120 . A B C M N O 图① A B C D M N O 图② A B C D E M N O 图③ 正多边形的性质 正多边形的 有关概念 正多边形的 有关计算 添加辅助线的方法： 连半径，作边心距 中心 半径 边心距 中心角 正多边形的对称性 课堂小结 $