24.4 直线与圆的位置关系（习题课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦圆与直线的位置关系、切线性质与判定等核心知识点，通过等边三角形中圆与直线位置关系的问题导入，从点到直线的距离过渡到圆与直线相交、相切、相离的条件，构建知识支架帮助学生衔接前后内容。 其亮点在于结合游标卡尺测量直径等实例，培养学生几何直观（数学眼光），通过严谨的切线证明过程（如证明平行切线切点连线为直径）发展推理能力（数学思维），规范的证明步骤强化数学语言表达，助力学生理解知识本质，也为教师提供清晰的教学思路。

九（下）数学教材习题 习题 24.4 沪 科 版 1．以边长为3cm的等边三角形ABC的顶点A为圆心、r为半径作圆.r为何值时： （1）⊙A与直线BC相交？ 解：过A作AD⊥BC于D，如图所示． ∵△ABC是等边三角形，边长为3， ∴BD= ．∴AD= ． （1）当r＞ cm时，⊙A和直线BC相交． 1．以边长为3cm的等边三角形ABC的顶点A为圆心、r为半径作圆. r为何值时： （2）⊙A与直线BC相切？ 解：（2）当 r = cm时，⊙A和直线BC相切． 1．以边长为3cm的等边三角形ABC的顶点A为圆心、r为半径作圆. r为何值时： （3）⊙A与直线BC相离？ 解：（3）当 0cm＜r＜ cm 时， ⊙A和直线BC相离． 2．试证：如果圆的两条切线互相平行，那么连接两个切点的线段是圆的直径. 已知：AB和CD是⊙O的两条平行切线，切点分别为E，F，如图．求证：EF为⊙O的直径． 证明：连接OE，OF，如图． ∵AB和CD是⊙O的切线， ∴OE⊥AB，OF⊥CD． ∵AB∥CD，∴OE⊥CD． ∴点E，O，F共线． ∴EF为⊙O的直径． 解：该测量的原理为连接圆的两条平行切线的两个切点的线段是圆的直径． 3．如图，可以用游标卡尺测量圆形工件的直径.当两卡脚贴紧工件，从刻度尺上读出两卡脚之间的距离d的数值，即可测出直径的实际值，说明该测量的原理． 4．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是的切线，切点为B，OC平行于弦AD. 求证：CD是⊙O的切线． 证明：如图，连接OD． ∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO． ∵AD∥OC， ∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD． ∴∠BOC=∠COD． ∵OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC． ∴∠OBC=∠ODC． 又BC是⊙O的切线， ∴∠OBC=90°． ∴∠ODC=90°． ∴DC是⊙O的切线． 5．已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，DE⊥AC于点E. 求证：DE是⊙O的切线. 证明：如图，连接OD. ∵点D为BC的中点，点O为AB的中点， ∴OD为△ABC的中位线. ∴OD∥AC. ∴∠DEC=∠ODE. ∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°. ∴∠ODE=90°.∴DE⊥OD. ∴DE是⊙O的切线. 6．已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于点D，点E在AB上，DE=DC，以点D为圆心、DB为半径作⊙D. 求证：（1）AC是⊙D的切线； 证明：如图，过点D作DF⊥AC于F． ∵AB为⊙D的切线，∴∠B=90°． ∴AB⊥BC． ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∴BD=DF．∴AC是⊙D的切线． （2）AB+EB=AC． 证明：在Rt△BDE和Rt△DCF中， ∵BD=DF，DE=DC， ∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）． ∴EB=FC． ∵AB=AF， ∴AB+EB=AF+FC，即AB+EB=AC． 7．已知：如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，作OK⊥AB，垂足为K. 求证：∠BAC=∠AOK． 证明：∵AC是⊙O的切线， ∴OA⊥AC．∴∠OAC=90°． ∴∠BAC+∠OAK=90°． ∵OK⊥AB， ∴∠OAK+∠AOK=90°． ∴∠BAC=∠AOK． 8．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为非直径的弦，∠CAE=∠B. 求证：AE与⊙O相切于点A． 证明：作直径AM，连接CM，则∠B=∠M． ∵∠EAC=∠B，∴∠EAC=∠M． ∵AM是⊙O的直径，∴∠ACM=90°． ∴∠CAM+∠M=90°． ∴∠EAC+∠CAM=90°．∴EA⊥AM． ∵OA是半径，∴AE是⊙O的切线． 9．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是 切点，OP交AB于点D、交⊙O于点C，AD=2 ，DC=2，求⊙O的半径及PA，PC的长. 解：∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA=PB，AP⊥OA． ∴∠OAP=90°． 又OA=OB，∴OP垂直平分AB． ∴∠ADO=90°． 在Rt△AOD中，AD=2 ， OD=OA-DC=OA-2．由勾股定理知OA2=OD2+AD2， 即OA2=（OA-2）2+12． 解得OA=4，即⊙O的半径是4． ∴OD=OA-DC=2． ∵∠ADO=∠OAP=90°，∠DOA=∠AOP， ∴△OAD∽△OPA． ∴ ，即 ． 解得OP=8，PA=4．∴PC=OP-OC=4． 10．已知：如图，AB，CD是⊙O的两条平行切线，A，C是切点，⊙O的另一条切线BD与AB，CD分别相交于B，D两点.求证：BO⊥OD． 证明：作OE⊥BD于E，如图． ∵BD为⊙O的切线， ∴OE为⊙O的半径，即点E为切点． ∵AB，CD是⊙O的两条切线， ∴OB平分∠ABE，OD平分∠CDE． ∴∠OBE= ∠ABD，∠ODE= ∠CDB． ∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠CDB=180°． ∴∠OBE+∠ODE=90°． ∴∠BOD=90°．∴BO⊥OD． 11．已知：如图，点P在⊙O外，PA，PB 是⊙O的切线，A，B为切点. BC是直径，连接CA.求证：CA∥OP. 证明：连接AB． ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO． ∴PO⊥AB． ∵BC是直径，∴CA⊥AB．∴CA∥OP． $