24.5 三角形的内切圆（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦“三角形的内切圆”，涵盖概念、内心性质、作法及应用。通过“裁最大圆形木料”情境导入，结合观察思考与问题链，搭建从圆的切线、角平分线到内心的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，问题链引导数学思维推理，类比归纳表清晰呈现内外心区别（数学语言表达）。典例如用切线长定理建方程，推导面积公式S=1/2 Lr，培养模型意识。助力学生发展几何直观与推理能力，为教师提供结构化探究式教学资源。

24.5 三角形的内切圆 第24章 圆 优翼九下数学教学课件（HK） 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 情境引入 导入新课 三角形内切圆的相关概念 若要使裁下的圆形最大，则它与三角形三边应有怎样的位置关系？ 观察与思考 最大的圆与三角形三边都相切 新课讲授 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆， 内切圆的圆心叫做三角形的内 心， 这个三角形叫做圆的外切三角形. B A C I ☉I 是 △ABC 的内切圆，点 I 是 △ABC 的内心，△ABC 是 ☉I 的外切三角形. 知识要点 观察与思考 问题1 如图，若⊙O 与∠ABC 的两边相切，那么圆心 O 的位置有什么特点？ 圆心 O 在∠ABC 的平分线上. N C O M A B 三角形内切圆的作法及内心的性质 C O A B 问题2 如图，如果⊙O 与△ABC 的三边都相切，那么圆心 O 应该在什么位置？ 圆心 O 在∠ABC 与∠ACB 这两个角的平分线的交点处. AO，BO ，CO 分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB 的平分线 F E D 线段 OD，OE，OF 的长度相等，都是三角形内切圆的半径 作法： 1. 作∠ABC，∠ACB 的平分线 BE， CF，设它们交于点 O； 2. 过点 O 作 OD⊥BC 于点 D； 3. 以点 O 为圆心、OD 为半径作☉O. 则 ☉O 即为所作. 问题3 现在你知道如何画△ABC 的内切圆了吗？ C O A B F E D 三角形内心的性质： 三角形的内心在三角形的三条角平分线的交点处. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. 知识要点 C O A B E D F 例1 如图，△ABC 中，∠ABC = 43°，∠ACB = 61°，点 I 是 △ABC 的内心，求∠BIC 的度数. 解：连接 IB，IC. A B C I ∵点 I 是 △ABC 的内心， ∴ BI，CI 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线. 在△IBC 中， 典例精析 例2 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为 3 cm，求圆柱底面圆的半径. 该问题可以抽象为如下所示的几何图形. C A B r O D 解： 如图，设圆 O 切 AB 于点 D，连接 OA、OB、OD. ∵ 圆 O 是等边△ABC 的内切圆， ∴ AO、BO 是∠BAC、∠ABC 的平分线. ∴ ∠OAB =∠OBA = 30°. ∵ OD⊥AB，AB = 3 cm， ∴ AD = BD = AB = 1.5 (cm). ∴ OD = AD·tan30° = (cm). 答：圆柱底面圆的半径为 cm. 例3 △ABC 的内切圆 ☉O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB = 13 cm，BC = 14 cm，CA = 9 cm，求 AF、BD、CE 的长. 想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？ B A C E D F O 解: 设 AF = x cm，则 AE = x cm. ∴CE = CD = AC - AE = 9 - x (cm)， BF = BD = AB - AF = 13 - x(cm). 由 BD + CD = BC，可得 (13 - x) + (9 - x) = 14， ∴ AF = 4 cm，BD = 9 cm，CE = 5 cm. 方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解. 解得 x = 4. B A C E D F O 类比归纳 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三边垂直平分线的交点 1.OA = OB = OC 2.不一定在三角形内部 三角形三条 角平分线的 交点 1.到三边距离相等 2. AO、BO、CO 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB 3.在三角形内部 A B O C A B C O C A B O D 1. 求边长为 6 cm 的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径. 解：如图，由题意可知 BC = 6 cm， ∠ABC = 60°，OD⊥BC，BO 平分∠ABC. ∴∠OBD = 30°，BD = 3 cm. 内切圆半径 外接圆半径 练一练 变式： 求边长为 a 的等边三角形的内切圆半径 r 与外接圆半径 R 的比. sin∠OBD = sin30°= C A B O D R r A B C O D E F A B C D E F O 2. 设△ABC 的面积为 S，周长为 L，△ABC 内切圆 的半径为 r，则 S，L 与 r 之间存在怎样的数量关系？ 3. 如图，直角三角形的两直角边分别是 a、b，斜边为 c，则其内切圆的半径 r 为 （用含 a、b、c 的代数式表示）. _________ A B C O c D E r 解析：如图，过点 O 分别作 AC，BC，AB 的垂线，垂足分别为 D，E，F. F 则 AD = AC - DC = b - r， BE = BC - CE = a - r. ∵ AF = AD，BF = BE，AF + BF = AB， ∴ a - r + b - r = c， ∴ b a r r r （3）若∠BIC = 100°，则∠A = °. （2）若∠A = 80°，则∠BIC = °. 130 20 1. 如图，在△ABC 中，点 I 是内心． （1）若∠ABC = 50°， ∠ACB = 70°，∠BIC =_____°. A B C I （4）试探索： ∠A 与∠ BIC 之间存在怎样的数量关系？ 120 当堂练习 2.《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载:“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为:“今有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步？”该问题的答案是____步． 6 解析：先由勾股定理得出斜边的长，再根据公式 r = 求出该直角三角形内切圆的半径，即可得内切圆直径的长度. O 3. 如图，⊙O 被△ABC 的三条边所截得的弦长相等，则下列说法正确的是 （ ） A．点 O 是△ABC 的内心 B．点 O 是△ABC 的外心 C．△ABC 是正三角形 D．△ABC 是等腰三角形 解析：过 O 作 OM⊥AB 于 M，ON⊥BC 于 N，OQ⊥AC 于 Q，连接 OK、OD、OF，根据垂径定理和已知求出 DM = KQ = FN，根据勾股定理求出 OM = ON = OQ，即点 O 是△ABC 的内心. A 4. 如图，△ABC 中，I 是内心，∠BAC 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D. 求证：DI＝DB. 证明：连接 BI. ∵ I 是 △ABC 的内心， ∴∠BAD =∠CAD，∠ABI =∠CBI． ∵∠CBD =∠CAD， ∴∠BAD =∠CBD． ∵∠BID =∠BAD +∠ABI，∠IBD =∠CBI +∠CBD， ∴∠BID =∠IBD． ∴ BD = ID． 拓展提升： 直角三角形的两直角边分别是 3 cm ，4 cm，试问： （1）它的外接圆半径是 cm；内切圆半径是 cm. （2）若移动点 O 的位置，使 ☉O 保持与 △ABC 的边 AC、BC 都相切，求 ☉O 的 半径 r 的取值范围. 2.5 1 解：如图，设☉O 与 BC、AC 相切的最大圆与 BC、AC 的切点分别为 B、D，连接 OB、OD，则四边形 BODC 为正方形. ∴ OB＝BC＝3． ∴ 半径 r 的取值范围为 0＜r≤3． 三角形的内切圆 运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解. 有关概念 内心的概念及性质 应用 课堂小结 $