24.4 第3课时 切线长定理（作业课件）【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦“切线长定理及应用”，通过基础题、拓展变式（垂直、全等结论）、图形变式搭建学习支架，衔接直线与圆位置关系前期知识，帮助学生从概念理解逐步过渡到综合应用。 其亮点在于融入新情境（停车楔问题）、方程思想和推理证明，培养数学眼光（几何直观）、数学思维（推理能力、运算能力）。如停车楔问题将现实装置抽象为几何模型，提升模型意识，教师可通过A/B/C分层练习落实核心素养，学生能深化知识理解与创新能力。

2026春季学期 《学练优》·九年级数学下·HK 第24章　圆 24.4　直线与圆的位置关系 第3课时　切线长定理 目 录 CONTENTS 01 A学习理解 02 B应用实践 03 C迁移创新 知识点　切线长定理及应用 1. 如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于 A，B两点.若PA＝3，则PB＝(　B　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 结论(垂直、全等、对角互补等) 如图，PA，PB是☉O的切线，且∠APB＝40°， 则下列结论不正确的是(　C　) A. AB⊥PO B. ∠APO＝20° C. ∠OBP＝70° D. ∠AOB＝140° 拓展变式 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 2. 如图，P为☉O外一点，PA，PB为☉O的两条 切线，OP＝2OA，则∠APO＝ °，∠APB ＝ °.若PA＝ ，则☉O的半径为 ⁠. 30　 60　 1　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 3. 教材P38例5变式 如图，四边形ABCD是☉O的 外切四边形，且AB＝8，CD＝15，则四边形 ABCD的周长为 ⁠. 46　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 如图，AB，AC，BD是☉O的切线，切点分别是 P，C，D. 若AB＝10，AC＝6，则BD的长 是 ⁠. 4　 图形变式 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 4. 如图，AB为☉O的直径，点C在AB的延长线 上，CD，CE分别与☉O相切于点D，E. 若AD＝ 2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝ ⁠. 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 5. 教材P41习题T10变式 如图，直线AB，BC， CD分别切☉O于点E，F，G，∠BOC＝90°.求 证：AB∥DC. 证明：∵直线AB，BC，CD分别切☉O于点E， F，G， ∴∠ABO＝∠CBO，∠FCO＝∠DCO. ∵∠BOC＝90°，∴∠CBO＋∠FCO＝90°. ∴2∠CBO＋2∠FCO＝180°. ∴∠ABC＋∠DCF＝180°.∴AB∥DC. 证明：∵直线AB，BC， CD分别切☉O于点E， F，G， ∴∠ABO＝∠CBO，∠FCO＝∠DCO. ∵∠BOC＝90°，∴∠CBO＋∠FCO＝90°. ∴2∠CBO＋2∠FCO＝180°. ∴∠ABC＋∠DCF＝180°.∴AB∥DC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 6. 如图，AC是☉O的直径，PA切☉O于点A，PB 切☉O于点B，且∠APB＝60°. (1)求∠BAC的度数； 解：(1)∵PA切☉O于点A，PB切☉O于点B， ∴PA＝PB，∠PAC＝90°. ∵∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形. ∴∠BAP＝60°. ∴∠BAC＝90°－∠BAP＝30°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 解：(1)∵PA切☉O于点A，PB 切☉O于点B， ∴PA＝PB，∠PAC＝90°. ∵∠APB＝60°，∴△APB是等 边三角形. ∴∠BAP＝60°.∴∠BAC＝ 90°－∠BAP＝30°. (2)过O点作OD⊥AB于点D，若PA＝1，求OD的 长. 6. 如图，AC是☉O的直径，PA切☉O于点A，PB 切☉O于点B，且∠APB＝60°. 解：(2)由题意得AD＝BD＝AB. 由(1)得△APB是等边三角形， ∴AB＝PA＝1.∴AD＝ . ∵∠BAC＝30°， ∴AD＝ OD＝ .∴OD＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 7. 如图，PA和PB是☉O的切线，点A和点B为切 点，AC是☉O的直径.已知∠P＝40°，则∠ACB 的大小是(　C　) A. 40° B. 60° C. 70° D. 80° C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 (2025·自贡中考)PA，PB分别与☉O相切于A，B 两点，点C在☉O上，不与点A，B重合.若∠P＝ 80°，则∠ACB的度数为 ⁠. 50°或130°　 易错变式 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 8. 方程思想 如图，PA与☉O相切于点A，PO交 ☉O于点B，点C在PA上，且CB＝CA. 若PA＝ 12，PB＝8，则CA的长为 ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 9. 如图，☉O内切于正方形ABCD，O为圆心，作 ∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N， M. 若CM＋CN＝10，求☉O的面积. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 解：如图，设☉O与正方形ABCD的边CD切于E， 与BC切于F，连接OE，OF，则四边形OECF是 正方形， ∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝ ∠EOF＝90°. ∵∠MON＝90°，∴∠EOM＝∠FON. ∴△OEM≌△OFN(ASA).∴EM＝NF. ∴CM＋CN＝CE＋CF＝10.∴OE＝5. ∴☉O的面积为25π. 解：如图，设☉O与正方形ABCD的边CD切于E， 与BC切于F，连接OE，OF， 则四边形OECF是正方形， ∴CF＝CE＝OE＝OF， ∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°. ∵∠MON＝90°，∴∠EOM＝∠FON. ∴△OEM≌△OFN(ASA).∴EM＝NF. ∴CM＋CN＝CE＋CF＝10.∴OE＝5. ∴☉O的面积为25π. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 10. 新情境停车楔 停车楔(如图①)是一种固定汽车 轮胎的装置，小明据此抽象出如图②所示的图形， 停车楔△ABC为直角三角形，边AC与轮胎☉O相切 于点D，轮胎☉O与地面相切于点E，连接OD， OE，已知∠ABC＝30°. (1)求∠DOE的度数； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 解：(1)∵△ABC为直角三角形，∠ABC＝30°， ∴∠ACB＝60°.∴∠ACE＝120°. ∵边AC与轮胎☉O相切于点D，轮胎☉O与地面相 切于点E， ∴∠ODC＝∠OEC＝90°. ∴∠DOE＝360°－90°－90°－120°＝60°. 解：(1)∵△ABC为直角三角形，∠ABC＝30°， ∴∠ACB＝60°.∴∠ACE＝120°. ∵边AC与轮胎☉O相切于点D， 轮胎☉O与地面相切于点E， ∴∠ODC＝∠OEC＝90°. ∴∠DOE＝360°－90°－90°－120°＝60°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 10. 新情境停车楔 停车楔(如图①)是一种固定汽车 轮胎的装置，小明据此抽象出如图②所示的图形， 停车楔△ABC为直角三角形，边AC与轮胎☉O相切 于点D，轮胎☉O与地面相切于点E，连接OD， OE，已知∠ABC＝30°. (2)若CE＝20cm，求轮胎的直径. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 解：(2)如图，连接OC， ∵边AC与轮胎☉O相切于点D，轮胎☉O与地面相 切于点E，∴CD＝CE. ∵CD⊥OD，CE⊥OE， ∴OC是∠EOD的平分线.∴∠COE＝ ∠DOE＝ 30°. ∴OE＝ CE＝20 (cm). ∴轮胎的直径为40 cm. 解：(2)如图，连接OC， ∵边AC与轮胎☉O相切于点D， 轮胎☉O与地面相切于点E，∴CD＝CE. ∵CD⊥OD，CE⊥OE，∴OC是∠EOD的平分线. ∴∠COE＝ ∠DOE＝30°. ∴OE＝ CE＝20 (cm). ∴轮胎的直径为40 cm. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 11. 如图，AB为☉O的直径，PA，PC分别与☉O 相切于点A，C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于 点Q. (1)求证：OQ＝PQ； (1)证明：连接OP. ∵ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 (1)证明：连接OP. ∵PA，PC分别与☉O相切于点A，C， ∴PA＝PC，OA⊥PA. ∵OA＝OC，OP＝OP， ∴△OPA≌△OPC(SSS).∴∠AOP＝∠POC. ∵QP⊥PA，∴QP∥BA. ∴∠QPO＝∠AOP. ∴∠QOP＝∠QPO. ∴OQ＝PQ. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 11. 如图，AB为☉O的直径，PA，PC分别与☉O 相切于点A，C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于 点Q. (2)连接BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ ＝6，求OA的长. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 (2)解：设OA＝r，则PA＝AB＝2r，PQ＝OQ＝6 ＋r. ∵PA，PC分别与☉O相切， ∴PC＝PA＝2r，OC⊥PC. ∴∠OCP＝∠PCQ＝90°. 在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2＋QC2， ∴(6＋r)2＝(2r)2＋62，解得r＝4或0(舍去).即OA 的长为4. (2)解：设OA＝r，则PA＝AB＝2r， PQ＝OQ＝6 ＋r. ∵PA，PC分别与☉O相切， ∴PC＝PA＝2r，OC⊥PC. ∴∠OCP＝∠PCQ＝90°. 在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2＋QC2， ∴(6＋r)2＝(2r)2＋62， 解得r＝4或0(舍去).即OA的长为4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 $