24.3 圆周角（习题课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦圆的核心知识，涵盖圆心角与圆周角关系、圆内接三角形及四边形性质、相交弦定理等内容，课堂导入从圆周角定理基础出发，通过例题逐步衔接相似三角形、垂径定理等综合应用，搭建从基础到复杂问题的学习支架。 其亮点在于注重数学思维的推理能力与几何直观，如第6题通过相似三角形证明乘积关系培养推理意识，第5题作辅助线用垂径定理体现几何直观。采用问题链设计，帮助学生形成逻辑推理习惯，提升问题解决能力，教师可借助其分层练习有效巩固教学效果。

九（下）数学教材习题 习题 24.3 沪 科 版 1．已知：三角形的三个顶点在圆上，且把圆周分成所对圆心角之比为1：2：3的三个部分，求这个三角形的三个角的大小． 解：三个顶点把圆周分成的三段弧所对的圆心角分别为 ×360°=60°， ×360°=120°， ×360°=180°，所以这个三角形的三个角内角的度数分别为 ×60°=30°， ×120°=60°， ×180°=90°． 2．以半圆的直径为一边作一等边三角形，求该等边三角形将半圆截成的三条弧所对的圆心角的度数. 解：如图，已知BC为半圆O的直径，△ABC是等边三角形，AB交半圆上的点为D，AC交半圆上的点为E，连接DO，EO． ∵BO=DO=EO=CO， ∴∠B=∠ODB，∠C=∠OEC． ∵△ABC为等边三角形， ∴∠B=∠C=60°． ∴∠ODB=∠B=60°，∠OEC=∠C=60°． ∴△BOD等边三角形，△CEO为等边三角形． ∴∠BOD=∠COE=60°， ∠DOE=180°-60°-60°=60°． 解：如图，作AD⊥BC于D．∵AB=AC， ∴BD=CD，∠BAD=∠CAD= ∠BAC=60°． ∴AD垂直平分BC． ∴△ABC的外接圆的圆心O在AD的 延长线上．连接OB．∵OA=OB， ∴△OAB为等边三角形．∴OB=AB=3cm． ∴△ABC的外接圆的直径为2×3=6（cm）． 3．在△ABC中，AB=AC=3cm，∠A=120°，求△ABC的外接圆直径. 4．已知：如图，AB和CD交于⊙O内一点P. 求证：PA•PB=PC•PD． 解：连接AC，BD，如图所示． ∵∠CAB，∠CDB所对应圆弧都为 ， ∴∠CAB=∠CDB． ∵∠APC=∠DPB，∴△APC∽△DPB． ∴ ．∴PA•PB=PC•PD． 5．如图，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半径. 解：如图，过O作OC⊥AB于C，连接OA. ∵OC⊥AB，OC过O，AB=10cm, ∴AC=BC=5cm,∠OCP=90°. ∵PA=4cm,∴CP=AC-PA=1cm. 由勾股定理，得OC= cm， ∴OA=7cm，即⊙O的半径是 7 cm. 6．已知：在△ABC中，∠BAC的平分线分别交边BC、△ABC的外接圆于点D，E. 求证：（1）△ABD∽△AEC； 证明：如图，∵AE平分∠BAC， ∴∠1=∠2． ∵∠B=∠E， ∴△ABD∽△AEC． 6．已知：在△ABC中，∠BAC的平分线 分别交边BC、△ABC的外接圆于点D，E. 求证：（2）AB•AC=AD•AE=AD2+BD•DC． 证明：如图，∵△ABD∽△AEC， ∴ ． ∴AB•AC=AD•AE=AD•（AD+DE） =AD2+AD•ED． ∵∠B=∠E，∠BAD=∠DCE， ∴△BAD∽△ECD． ∴ ． ∴AD•ED=BD•DC． ∴AB•AC=AD•AE=AD2+BD•DC． 7．已知：半圆的直径AB=13cm，C为半圆上一点，CD⊥AB，垂足为D，且CD=6cm， 求AD的长. 解：如图，连接OC． ∵CD⊥AB于D，∴∠CDO=90°． ∴OC2=OD2+CD2． 设AD=xcm,则OD=OA-AD=（6.5-x）cm, ∴6.52=（6.5-x）2+62． 解得x1=4，x2=9（不合题意舍去）． ∴AD=4cm． 8．在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D只可能是下列四个选项中的 . ①1：2：3：4；②4：3：2：1； ③4：1：3：2；④4：3：1：2. 由此你发现，圆内接四边形的各角度数之比的规律是什么？ ④ 解：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°， ①因为1+3≠2+4，所以不能构成圆内接四边形； ②因为4+2≠3+1，所以不能构成圆内接四边形； ③因为4+3≠1+2，所以不能构成圆内接四边形； ④因为4+1=3+2，所以能构成圆内接四边形． 由此发现：∠A与∠C的份数之和=∠B与∠D的份数之和． 9．已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC的平分线交 于点P，交CB延长线于点E.求证：BP平分∠ABE． 解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE． ∵∠ABP=∠ADE∠PBE=∠CDE， ∴∠ABP=∠PBE． ∴BP平分∠ABE． 10．已知：如图，⊙O1与⊙O2都经过A，B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C、与⊙O2交于点D；经过点B的直线EF与⊙O1交于点E、与⊙O2交于点F．求证：CE∥DF． 证明：如图，连接AB． ∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形， ∴∠BAD=∠E．又∵四边形 ADFB是⊙O2的内接四边形， ∴∠BAD+∠F=180°． ∴∠E+∠F=180°．∴CE∥DF． 11．如图，点A在⊙O内，点B在⊙O外，点C，D在⊙O上，试比较∠CAD与∠CBD的大小. 解：延长DA交⊙O于E，CB交⊙O于F，连接CE，DF，如图． ∵∠CAD＞∠CED，∠CFD＞∠CBD，而∠CED=∠CFD， ∴∠CAD＞∠CBD． $