24.2 圆的基本性质（习题课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦圆的性质及几何证明，涵盖点与圆位置关系、弦心距、垂径定理、反证法等核心知识点，通过矩形、菱形与圆的知识关联，搭建从平面图形到圆的学习支架，帮助学生构建连贯的几何知识体系。 其亮点在于以证明题（如菱形中点共圆）和分类讨论（如平行弦距离）培养推理能力，通过反证法（如证三角形至多一直角）发展逻辑思维，结合实际问题（如破残轮片定圆心）强化应用意识。学生能提升几何直观与数学表达，教师可借助丰富例题优化教学效率。

九（下）数学教材习题 习题 24.2 沪 科 版 1．在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=3 cm，以点A为圆心、AB为半径作圆，则B，C，D三点分别与⊙A有怎样的位置关系？AC的中点M与⊙A又有怎样的位置关系？ 解：如图．观察图象可知，点B在⊙A上，点C，D在⊙A外．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°．∵AB=3，BC=3 ，∴AC=6．∴AM= AC=3=AB． ∴点M 在⊙A上． 2．证明：菱形四边的中点在同一个圆上. 解：已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， 点E，F，M，N分别为四边的中点. 求证：E，F，M，N四点在同一个圆上. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA． ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°． ∵点E，F，N，M分别为四边的中点， ∴OE=AB，OF=BC，ON=CD， OM=AD．∴OE=OF=ON=OM． ∴E，F，N，M四点在以点O为圆心， OE为半径的圆上． ∴E，F，N，M四点在同一个圆上． 解：如图，作半径OC⊥AB于D，连接OA. ∵弦AB为2 ，∴AD=BD= AB= ， . 在Rt△OAD中，由勾股定理得OD=1，∴CD=OC-OD=2-1=1. 即弦AB中点到它所对劣弧中点的 距离为1cm. 3．已知：⊙O的半径为2cm，弦AB为2 cm． 求弦AB中点到它所对劣弧中点的距离． 4．经过⊙O内已知点A作弦，使所作的弦被点A平分. 解：（1）连接OA，并延长OA至Q，使AQ=OA； （2）作OQ的垂直平分线，交⊙O于B、C两点． 弦BC即为所求，如图所示． 5．已知 ，通过作图，求出 的中点. 解：如图,点C即为 的中点． 6．已知：在半径为R的⊙O中，有三条弦AB，CD，EF，它们所对的圆心角分别为60°、90°、120°. （1）比较弦AB，CD，EF的长短； 解：如图，∵60°＜90°＜120°， ∴AB＜CD＜EF． （2）比较这三条弦的弦心距长短. 解：如图，在△OAB中，∵∠AOB=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形． ∴OG=OA•sin60°= R． 在△COD中，∵∠COD=90°，OC=OD，∴∠C=45°． ∴2OH2=R2，解得OH= R． 在△EOF中， ∵∠EOF=120°，OE=OF， ∴∠E=30°． ∴OK=R•sin30°= R． ∵ ， ∴OG＞OH＞OK． 7．证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 解：如图，已知：AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD． 求证： ． 证明：连接AD．∵AB∥CD， ∴∠ADC=∠BAD， ∴ ． 8．已知：⊙O的半径为5cm，弦AB∥弦CD，AB=6cm，CD=8cm，求AB与CD之间的距离. 解：分为两种情况：当AB和CD在 O的同旁时，如图①，过O作OF⊥ AB于F交CD于E，连接OA，OC． ∵AB∥CD，∴OE⊥CD． 由垂径定理得AF=FB= AB=3，CE=DE= CD=4， ∴OF= =4，OE= =3． ∴EF=OF-OE=1cm． 当AB和CD在O的两侧时，如图②，过O作OF⊥AB于F，OE⊥CD于E，连接AO，CO． 同法求出OE=3cm,OF=4cm, 则EF=4+3=7（cm）． 综上，AB与CD的距离是1cm或7cm． 9．已知：AB是⊙O的直径，AC，AD是在AB两侧的两条弦，且AC=AD.求证：AB平分∠CAD． 解：如图，连接CB，DB． ∵AB为直径，∴∠D=∠C=90°． 在Rt△ABD和Rt△ABC中， ∴Rt△ABD≌Rt△ABC（HL）． ∴∠BAD=∠BAC．∴AB平分∠CAD． 10．已知：如图，OA，OB，OC是⊙O的半径， ，点M，N分别是OA，OB的中点.求证：MC=NC． 证明：∵OA，OB，OC是⊙O的半径， ，∴∠AOC=∠BOC． ∵点M，N分别是OA，OB的中点， OA=OB，∴OM=ON． 在△OCM和△OCN中， ∴△OCM≌△OCN（SAS）．∴MC=NC． 解： ．理由如下： 作O1E⊥AB于E，O2F⊥CD于F． 在△O1EM和△O2FM中， ∴△O1EM≌△O2FM（AAS）． ∴O1E=O2F． ∴ ． 11．如图，⊙O1与⊙O2是等圆，M是O1O2的 中点，过点M的直线交⊙O1于A，B两点，交⊙O2于C，D两点，则 与 有怎样的关系，为什么？ 12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，以点C为圆心、AC为半径的圆交AB于点D，求 所对圆心角的度数. 解：如图，连接CD．∵∠ACB=90°，∠B=25°，∴∠A=90°-∠B=65°． ∵CA=CD，∴∠CDA=∠A=65°． ∴∠ACD=180°-∠A-∠CDA=50°． ∴弧AD所对圆心角的度数是50°． 13．求证：直径是圆中最长的弦. 证明：如图，∵OA，OC，OB，OD是圆的半径，∴OA=OB=OC=OD． ∵AB是圆的直径， ∴AB=OA+OB=OC+OD． ∵OC，OD，CD是三角形的三边， ∴OC+OD＞CD．即AB＞CD． ∴直径是圆中最长的弦. 14．菱形ABCD的四个顶点能否在同一个圆上？如在同一圆上，它应成为什么图形？ 解：菱形ABCD的四个顶点不一定在同一个圆上． 要使菱形ABCD的四个顶点在同一个圆上，则对角线的交点到四个顶点距离一定相等． ∵对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形， ∴菱形ABCD应成为正方形． 15．一个破残的轮片如图，现要重新翻制一个圆轮，如何确定圆心的位置和半径的大小？ 解：如图所示，点O即为圆心，AO的长即为半径． 16．用反证法证明： （1）△ABC中至多只能有一个角是直角； 证明：设△ABC中有2个或3个直角，则三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的三个内角的和是180°相矛盾，则△ABC中至多只能有一个是直角． 16．用反证法证明： （2）在同一个圆中，如果两条弦不等，那么它们的弦心距也不等． 证明：假设在同一个圆中，如果两条弦不等，弦心距可能相等．如图，设圆心为O， 弦AB≠弦CD，设AB的中点为M，CD的 中点为N，则OM⊥AB，ON⊥CD， 且OM=ON．易知AM= AB，CN= CD． 由勾股定理可知OA2=AM2+OM2= AB2+OM2，OC2=CN2+ON2= CD2+ON2． ∵OA=OC，∴ AB2+OM2= CD2+ON2． 又∵OM=ON，则 AB2= CD2，即AB=CD，与假设AB≠CD矛盾，假设不成立． 故在同一个圆中，如果两条弦不等，那么它们的弦心距也不等． 17．用反证法证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行. 如图，已知：两条直线AB，CD分别与直线EF平行，即AB∥EF，CD∥EF. 求证：AB∥CD. 证明：假设AB与CD不平行，则AB与CD相交，设AB与CD交于点G.由已知得过点G有两条直线与直线EF平行，这与“经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线”相矛盾，所以假设不成立，故AB平行CD. $