24.2 第1课时 与圆有关的概念及点与圆的位置关系（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦圆的定义、相关概念及点与圆的位置关系，通过生活图片（如车轮）和投圈游戏导入，以问题链（车轮为何圆形、投圈队形公平性）搭建从生活现象到数学抽象的学习支架，衔接后续概念探究。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过动画演示车轮原理、合作探究投圈队形，培养抽象能力与几何直观。典例与变式练习（如矩形四点共圆、半径范围求解）强化推理意识，小结系统梳理知识，助力学生理解数学本质，也为教师提供结构化教学资源。

24.2 圆的基本性质 第1课时 与圆有关的概念及点与圆的 位置关系 第24章 圆 优翼九下数学教学课件（HK） 观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形. 图片引入 导入新课 骑车运动 看了此画，你有何想法? 思考：车轮为什么做成圆形？做成三角形、正方形可以吗？ 车轮为圆形的原理分析（请依次点击按钮观看动画）： 问题1 一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开.这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？ 探究圆的概念 合作探究 新课讲授 甲 丙 乙 丁 为了使游戏公平， 应在目标周围围成一个圆圈排队， 因为圆上各点到圆心的距离都等于半径. 为什么？ · r O P ◑圆的旋转定义 在平面内，线段 OP 绕着它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 P 所形成的封闭曲线叫做圆．固定的端点 O 叫做圆心，线段 OP 的长 r 叫做半径．以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O” 读作“圆 O”. 问题2 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？ 一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小． 同心圆 等圆 半径相同，圆心不同 圆心相同，半径不同 ◑确定一个圆的要素 (1) 圆上各点到定点 (圆心 O) 的距离都等于 . (2) 平面内到定点 (圆心 O) 的距离等于定长 (半径 r) 的所 有点都在 . 由此，我们可以得到圆的集合定义：平面内到定点 (圆心 O) 的距离等于定长 (半径 r) 的所有点组成的图形. O r r r r r 定长(半径 r) 同一个圆上 想一想：从画圆的过程可以看出什么呢？ · 例1 如图，已知 AB，CD 为⊙O 的直径. 求证：AD∥CB. 典例精析 证明：连接 AC，DB. ∵ AB，CD 为⊙O 的直径， ∴ OA = OB， OC = OD. ∴ 四边形 ADBC 为平行四边形. ∴ AD∥CB. A B C D O 矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O. 求证：A、B、C、D 在以 O 为圆心的同一圆上. A B C D O 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∴ A、B、C、D 在以 O 为圆心， 以 OA 为半径的圆上. 练一练 问题1 观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？ . o . C . . . . B . A . . 有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 点和圆的位置关系 观察与思考 问题2 设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系下，d与r有怎样的数量关系？ 点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外 d d d r P d P r d P r d ＜ r r = ＞ r 反过来，由 d 与 r 的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？ 1. ⊙O 的半径为 10 cm，A、B、C 三点到圆心的距离分 别为 8 cm、10 cm、12 cm，则点 A、B、C 与⊙O 的 位置关系是点 A 在 ；点 B 在 ；点 C 在 . 圆内 圆上 圆外 2. 圆心为 O 的两个同心圆，半径分别为 1 和 2，若 OP = ，则点 P 在 ( 　) A. 大圆内 B. 小圆内 C. 小圆外 D. 大圆内，小圆外 o D 练一练 点和圆的位置关系 r P d P r d P r d R r P 点 P 在⊙O 内 d<r 点 P 在⊙O 上 d=r 点 P 在⊙O 外 d>r 点 P 在圆环内 r≤d≤R 数形结合： 位置关系 数量关系 知识要点 例2 如图，已知矩形 ABCD 的边 AB = 3，AD = 4. （1）以 A 为圆心，4 为半径作⊙A，则点 B、C、D 与 ⊙A 的位置关系如何？ 解：∵AB = 3 ＜ 4， ∴ 点 B 在⊙A 内． ∵ AD = 4， ∴ 点 D 在 ⊙A 上． ∵ ＞ 4， ∴ 点 C 在 ⊙A 外. （2）若以 A 点为圆心作⊙A， 使 B、C、D 三点中至少 有一点在圆内，且至少 有一点在圆外，求⊙A 的半径 r 的取值范围. 解：由题意得，点 B 一定在圆内，点 C 一定在圆外，∴ 3＜r＜5. 【变式题】如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 (2，1)，P 是 x 轴上一点，要使 △PAO 为等腰三角形， 满足条件的 P 有几个？求出点 P 的坐标. 方法总结：在没有明确腰和底边的情况下，构造等腰三角形要注意分类讨论. · C O A B ◑弧： 圆的有关概念 ( 连接圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“ ”表示. 如图中的 和 ． ◑弦： · C O A B 连接圆上任意两点的线段（如图中的 AB，AC）叫做弦. 经过圆心的弦（如图中的 AB）叫做直径． 注意：1. 弦和直径都是线段； 2. 直径是特殊的弦，它经过圆心，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. ◑半圆、优弧及劣弧： 圆的任意一条直径的两个端点分圆 成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 劣弧与优弧 · C O A B 半圆 大于半圆的弧（如图中的 ，一般用三个字母表示）叫做优弧；小于半圆的弧（如图中的 ）叫做劣弧. ◑等圆： · C O A 能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等. · C O1 A ◑等弧： 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 长度相等的弧是等弧吗？ 例 3 如图. (1) 请写出以点 A 为端点的劣弧及优弧； (2) 请写出以点 A 为端点的弦及直径； 弦 AF，AB，AC. 其中弦 AB 也是直径. (3) 请任选一条弦，写出这条弦所对的弧. A B C E F D O 劣弧： 优弧： 答案不唯一，如：弦 AF，它所对的弧是 和 . 练一练 有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误说法的个数是 ( 　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：根据圆、直径、弦、半圆等概念来判断．半径只能确定圆的大小，不能确定圆的位置；直径是弦，但弦不一定是直径；对称轴是直线，故应说任意一条直径所在的直线是圆的对称轴．故①③⑤错误. C 1. 根据圆的定义，圆指的是“圆周”，而不是“圆面”； 2. 直径是圆中最长的弦. 证明： · C O A B 连接 OC． 在△AOC 中，根据三角形三边关系有 OA + OC > AC， 而 AB = 2OA，OA = OC， ∴ AB > AC. 知识要点 例 4 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB，CD 的延长线交于点 E. 已知 AB = 2DE，∠E = 18°，求∠AOC 的度数． 解：如图，连接 OD. ∵ AB 是⊙O 的直径，OC，OD 是半径， AB = 2DE，∴OD = DE. ∴∠DOE = ∠E = 18°. ∴∠ODC = ∠DOE＋∠E = 36°. ∵ OC = OD，∴∠C = ∠ODC = 36°. ∴∠AOC = ∠C＋∠E = 36°＋18° = 54°. 例 5 如图，MN 是半圆 O 的直径，正方形 ABCD 的顶点 A、D 在半圆上，B、C 在 MN 上，求证：OB = OC. Ⅰ Ⅱ 10 ？ 2x 在 Rt△ABO 中，AB2 + BO2 = AO2， 即 (2x)2 + x2 = 102. A B O C D M N 算一算：设⊙O 的半径为 10，则正方形 ABCD 的边长为 . x 连接 OA，OD，则OA = OD，由三角形全等可证 OB = OC. x x x x 【变式题】如图，在扇形 MON 中，∠MON = 45°，半径 MO = NO = 10，正方形 ABCD 的顶点 B、C、D 在半径 上，顶点 A 在圆弧上，求正方形 ABCD 的边长. 解：连接 OA，如图. 又∵∠DOC = 45°，∴CD = OC. 设 AB = x，则 AB = BC = DC = OC = x. ∵OA = OM = 10，∴ (2x)2 + x2 = 102. 在 Rt△ABO 中， 在正方形 ABCD 中，AB = BC = CD， ∠ABC =∠DCB = 90°. 解得 45° 1. 判断下列说法的正误，并说明理由或举反例. (1) 弦是直径； (2) 半圆是弧； (3) 过圆心的线段是直径； (4) 过圆心的直线是直径； (5) 半圆是最长的弧； (6) 直径是最长的弦； (7) 长度相等的弧是等弧. 当堂练习 2. 填空： （1）______是圆中最长的弦，它是______的 2 倍． （2）图中有 条直径， 条非直径的弦， 圆中以 A 为一个端点的优弧有 条， 劣弧有 条． 直径 半径 1 2 4 4 A B C D O F E 3. 正方形 ABCD 的边长为 2 cm，以 A 为圆心，2 cm 长为 半径作⊙A，则点 B 在⊙A ；点 C 在⊙A ；点 D 在⊙A . 上 外 上 4. 如图，MN 为⊙O 的弦，∠MON = 70°，则∠M = °. 5. 一点到⊙O 上的最近距离为 4 cm，最远距离为 10 cm， 则这个圆的半径是 . 7 cm 或 3 cm M O N 55 · 2 cm 3 cm 6. 画出由所有到已知点 O 的距离大于或等于 2 cm 并且 小于或等于 3 cm 的点组成的图形. O 7. 如图，OA、OB 是⊙O 的半径，点 C、D 分别为 OA、 OB 的中点，求证：AD = BC. 证明：∵ OA、OB 是⊙O 的半径， ∴ OA = OB. ∵ 点 C、D 分别为 OA、OB 的中点， ∴ OA = 2OC，OB = 2OD. ∴ OC = OD. 又∵∠O =∠O， ∴△AOD≌△BOC (SAS). ∴ BC = AD. 解：渔船应沿着射线 OP 的方向航行 才能尽快离开危险区．理由如下： 设射线 OP 交⊙O 于点 A，过点 P 任意作一条弦 CD，连接 OD. 在 △ODP中，OD－OP＜PD，又∵OD = OA，∴OA－OP＜PD. ∴ PA＜PD，即 PA 为最短路线，故渔船沿射线 OP 方向航行才能尽快离开危险区. 能力提升： 8. 如图，点 O 处有一灯塔，警示⊙O 内部为危险区，一 渔船误入危险区点 P 处，该渔船应该按什么方向航行 才能尽快离开危险区？试说明理由． A D P C O 圆 定义 旋转定义 集合定义 有关 概念 直径是圆中最长的弦 弧 半圆是特殊的弧 劣弧 半圆 优弧 点与圆的位置关系 弦（直径） 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d>r d=r d<r 等圆 等弧 课堂小结 $