26.3 用频率估计概率（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦“用频率估计概率”核心知识点，通过掷硬币问题导入，从已知概率到实际试验数据记录，结合历史数学家试验案例，搭建从具体试验到抽象规律的学习支架，帮助学生理解频率与概率的联系。 其亮点在于以“试验探究”为主线，通过掷硬币、图钉落地等实操活动及罚篮、瓷砖合格率等实际案例，培养学生数据观念和推理意识。采用“试验-观察-归纳”教学方法，既让学生在实践中感悟频率稳定性，提升数学应用能力，也为教师提供丰富素材和清晰教学逻辑，助力高效教学。

26.3 用频率估计概率 第26章 概率初步 优翼九下数学教学课件（HK） 情境引入 问题1 抛掷一枚均匀硬币，硬币落地后，会出现哪些可能的结果呢？ 问题2 它们的概率是多少呢？ 出现“正面朝上”和“反面朝上”两种情况 都是 问题3 在实际掷硬币时，会出现什么情况呢？ 导入新课 掷硬币试验 试验探究 (1) 抛掷一枚均匀硬币 400 次，每隔 50 次记录“正面朝上”的次数，并算出“正面朝上”的频率，完成下表： 累计抛掷次数 50 100 150 200 250 300 350 400 “正面朝上” 的频数 “正面朝上” 的频率 23 46 78 102 123 150 175 200 0.46 0.46 0.52 0.51 0.49 0.50 0.50 0.50 用频率估计概率 新课讲授 (2) 根据上表的数据，在下图中画统计图表示“正面朝上”的频率. 频率 试验次数 (3) 在上图中，用红笔画出表示频率为 0.5 的直线，你发 现了什么？ 试验次数越多频率越接近 0.5，即频率稳定于概率. 频率 试验次数 (4)下表是历史上一些数学家所做的掷硬币的试验数据， 这些数据支持你发现的规律吗？ 试验者 抛掷次数 n “正面向上”次数 m “正面向上” 频率( ) 棣莫弗 2048 1061 0.518 布 丰 4040 2048 0.5069 费 勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 支持 归纳总结 通过大量重复试验，可以用随机事件发生的频率 来估计该事件发生的概率. 数学史实 人们在长期的实践中发现，在随机试验中，由于众多微小的偶然因素的影响，每次测得的结果虽不尽相同，但大量重复试验所得结果却能反应客观规律. 这称为大数法则，亦称大数定律. 频率稳定性定理 思考 抛掷硬币试验的特点： 1. 可能出现的结果数__________； 2. 每种可能结果的可能性__________. 相等 有限 问题 如果某一随机事件，可能出现的结果是无限个，或每种可能结果发生的可能性不一致，那么我们无法用列举法求其概率，这时我们能够用频率来估计概率吗？ 从一定高度落下的图钉，着地时会有哪些可能的结果？ 其中顶帽着地的可能性大吗？ 　做做试验来解决这个问题. 图钉落地的试验 试验探究 (1) 选取 20 名同学，每位学生依次使图钉从高处落下 20 次，并根据试验结果填写下表. 试验累计次数 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 钉帽着地的次数(频数) 9 19 36 50 61 68 77 84 95 109 钉帽着地的频率(%) 45 47.5 60 62.5 61 57 55 52.5 53 54.5 试验累计次数 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 钉帽着地的次数(频数) 122 135 143 155 162 177 194 203 215 224 钉帽着地的频率(%) 55 56.25 55 55 54 55 57 56.4 56.6 56 56.5 (%) (2) 根据上表画出统计图表示“顶帽着地”的频率. 试验次数 (3) 这个试验说明了什么问题. 在图钉落地试验中，“钉帽着地”的频率随着试验次数的增加，稳定在常数 56.5% 附近. 一般地，在大量重复试验下，随机事件 A 发生的频率 (这里 n 是总实验次数，它必须相当大，m 是在 n 次试验中随机事件 A 发生的次数）会稳定到某个常数 p. 于是，我们用 p 这个常数表示事件 A 发生的概率，即 P (A) = p. 归纳总结 判断正误： （1）连续掷一枚质地均匀硬币 10 次，结果 10 次全部是正面，则正面向上的概率是 1. （2）小明掷硬币 10000 次，则正面向上的频率在 0.5附近. （3）设一大批灯泡的次品率为 0.01，那么从中抽取 1000 只灯泡，一定有 10 只次品. 错误 错误 正确 练一练 例1 某篮球队教练记录该队一名前锋练习罚篮的结果如下： (1) 填表 (精确到 0.001)； (2) 比赛中该前锋队员上篮得分并造成对手犯规，罚篮一 次，你能估计这次他能罚中的概率是多少吗？ 练习罚篮次数 30 60 90 150 200 300 400 500 罚中次数 27 45 78 118 161 239 322 401 罚中频率 0.900 0.750 0.867 0.787 0.805 0.797 0.805 0.802 解：从表中的数据可以发现，随着练习次数的增加，该前锋罚篮命中的频率稳定在 0.8 左右，所以估计他这次能罚中的概率约为 0.8. 例2 瓷砖生产受烧制时间、温度、材质的影响，一块砖坯放在炉中烧制，可能成为合格品，也可能成为次品或废品，究竟发生哪种结果，在烧制前无法预知，所以这是一种随机现象.而烧制的结果是“合格品”是一个随机事件，这个事件的概率称为“合 格品率”. 由于烧制结果不是等可能的， 我们常用“合格品”的频率作为“合格品 率”的估计值. 某瓷砖厂对瓷砖进行质量抽检，结果如下： 抽取瓷砖数 n 100 200 300 400 500 600 800 1000 2000 合格品数 m 95 192 287 385 481 577 770 961 1924 合格品率 (1) 计算上表中合格品率的各频率 (精确到 0.001)； (2) 估计这种瓷砖的合格品率 (精确到 0.01)； (3) 若该厂本月生产该型号瓷砖 500000 块，试估计合格 品数. (1) 逐项计算，填表如下： (2) 观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数 n ≥ 400 时，合格品率 稳定在 0.962 的附近， 所以我们可取 p = 0.96 作为该型号瓷砖的合格品率的估计. (3) 500000×96% = 480000 (块)，可以估计该型号合格品 数约为 480000 块. 抽取瓷砖数n 100 200 300 400 500 600 800 1000 2000 合格品数m 95 192 287 385 481 577 770 961 1924 合格品率 0.950 0.960 0.957 0.963 0.962 0.962 0.963 0.961 0.962 频率与概率的关系 联系： 频率 概率 事件发生的频繁程度 事件发生的 可能性大小 在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作为它的估计值. 区别：频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的频率都可能不同；而概率是一个确定数，是客观存在的，与每次试验无关. 稳定性 大量重复试验 1. 一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共 1 000 尾，一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是 31% 和 42%，则这个水塘里约有鲤鱼 尾，鲢鱼 尾. 310 270 当堂练习 2. 抛掷硬币“正面向上”的概率是 0.5. 如果连续抛掷100 次，而结果并不一定是出现“正面向上”和“反面向上”各 50 次，这是为什么？ 答：这是因为频数和频率的随机性以及一定的规律性.或者说概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生. 3. 在一个不透明的盒子里装有除颜色不同其余均相同的黑、白两种球，其中白球24个，黑球若干.小兵将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球次数m 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球概率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 (1) 请估计：当 n 很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到 0.1）； (2) 假如你摸一次，估计你摸到白球的概率 P (白球) = . 0.6 0.6 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球次数m 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球概率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 4.填表： (1) 由上表可知：柑橘损坏率是 ，完好率是 . 0.10 0.90 (2) 某水果公司以 2 元/千克的成本新进了 10000 千克柑橘，如果公司希望这些柑橘能够获得利润 5000 元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？ 分析：根据上表估计柑橘损坏的概率为 0.1，则柑橘完好的概率为 0.9. 解：根据估计的概率可以知道，在 10000 千克柑橘中完好柑橘的质量为 10000×0.9 = 9000 (千克)，完好柑橘的实际成本为 设每千克柑橘的销售价为 x 元，则应有 (x - 2.22)×9000 = 5000， 解得 x ≈ 2.8. 因此，出售柑橘时每千克大约定价为 2.8 元可获利润 5000 元. 5. 某池塘里养了鱼苗 10 万条，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为 95%，一段时间准备打捞出售，第一网捞出 40 条，称得平均每条鱼重 2.5 千克，第二网捞出 25条，称得平均每条鱼重 2.2 千克，第三网捞出 35 条，称得平均每条鱼重 2.8 千克，试估计这池塘中鱼的总质量. 解：先计算每条鱼的平均质量是 (2.5×40 + 2.2×25 + 2.8×35)÷(40 + 25 + 35) = 2.53 (千克)， 所以这池塘中鱼的总质量约为 2.53×100000×95% = 240350 (千克). 频率估计概率 大量重复试验 求非等可能性事件概率 列举法 不能适应 频率稳定 常数附近 统计思想 用样本(频率)估计总体(概率) 一种关系 频率与概率的关系 频率稳定时可看作是概 率但概率与频率无关 课堂小结 $