第24章 圆 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学圆单元复习课件系统梳理了旋转、中心对称及圆的概念、位置关系、性质与计算等核心知识，通过表格对比点与圆、直线与圆的位置关系，结合垂径定理、圆周角定理等模型总结，构建从基础概念到综合应用的逻辑知识网络。 其亮点在于注重数学思维与模型意识的培养，如垂径定理通过“条件-结论”推导强化推理能力，切线判定例题结合全等证明培养逻辑思维，分层设计多解题（如动点E的运动问题）满足不同学生需求，助力学生巩固知识，教师精准把握复习重点。

小结与复习 第24章 圆 优翼九下数学教学课件（HK） 一、旋转的有关概念及性质 1. 在平面内，一个图形绕着一个定点（如点 O ），旋转一定的角度（如 θ），得到另一个图形的变换，叫做_____. 定点 O 叫做_________，θ 叫做_______. 旋转 旋转中心 旋转角 2. 在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度 后，能够与原图形重合，这样的图形叫做_____________，这个定点就是_________. 旋转对称图形 旋转中心 要点梳理 (1) 对应点到旋转中心的距离相等； (2) 两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等， 都等于旋转角； (3) 旋转中心是唯一不动的点． 3. 旋转的性质 1. 把一个图形绕定点 O 旋转 180°，得到一个能够与它重合的图形，这时两个图形关于点 O 的对称叫做_________，点 O 就是_________. 这两个图形中的对应点叫做关于中心的_______. 二、中心对称的有关概念及性质 中心对称 对称中心 对称点 2. 把一个图形绕某一个定点旋转 180°，如果旋转后的图形能和原来图形重合，那么这个图形叫做____________，这个定点叫做它的________，互相重合的点叫做______. 中心对称图形 对称中心 对称点 成中心对称的两个图形中，对称点的连线经过_________，且被对称中心_____. 3. 中心对称的性质 对称中心 平分 三、圆的基本概念及性质 1. 定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. 2. 有关概念： (1) 弦、直径 (圆中最长的弦) (2) 弧、优弧、劣弧、等弧 (3) 弦心距 ． O 四、点与圆的位置关系 ●A ●B ●C 点与圆的位置关系 点到圆心的距离 d 与圆的半径 r 之间的关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 ●O d r d﹥r d = r d﹤r 五、圆的对称性及各相关元素之间的关系 1. 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的 对称轴. 圆有无数条对称轴. 2. 圆是中心对称图形，并且绕圆心旋转任何一个角度 都能与自身重合，即圆具有旋转不变性. ． 3. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦也相等． 4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分 别相等． ●O A B C D └ M ③ AM = BM 重视：模型“垂径定理直角三角形” 若 ① CD 是直径 ② CD⊥AB 可推得 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 六、垂径定理及推论 ④ = ⑤ = 垂径定理的逆定理 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. M ③ AM = BM 若 ① CD 是直径 ② CD⊥AB 可推得 ④ = ⑤ = ●O C D A B ● ┗ 定义：顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半. 七、圆周角和圆心角的关系 ∠BAC = ∠BOC 推论：同弧或等弧所对的圆周角相等. ∵∠ACB、∠ADB、∠AEB 都是弧 AB 所对的圆周角， ∴∠ACB =∠ADB =∠AEB． 推论：直径所对的圆周角是直角； 90° 的圆周角所对的弦是圆的直径. ∵ AB 是 ⊙O 的直径， ∴∠ACB = 90°． 八、直线和圆的位置关系 直线与圆的位置关系 圆心与直线的距离 d 与圆的半径 r 的关系 直线名称 直线与圆的公共点个数 相离 相切 相交 ● l d r 0 切线 d﹤r 割线 2 d﹥r —— d = r 1 九、切线的判定与性质 1. 切线的判定一般有三种方法： a. 定义法：和圆有唯一的一个公共点 b. 距离法： d = r c. 判定定理：过半径的外端点且垂直于半径的直线 是圆的切线. 2. 切线的性质： 圆的切线垂直于经过切点的半径. 切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. 切线长： 从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称为切线长. 3. 切线长及切线长定理 十、三角形的内切圆及内心 1. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2. 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3. 这个三角形叫做圆的外切三角形. 4. 三角形的内心就是三角形的三个内角平分线的交点. ┐ A C I ┐ ┐ D E F 三角形的内心到三角形三边的距离相等. 重要结论 B 十一、圆内接正多边形 1. 概念 O C D A B M 半径R 圆心角 弦心距d 弦a 圆心 中心角 A B C D E F O 半径R 边心距r 中心 类比学习 圆内接正多边形 外接圆的圆心 正多边形的中心 外接圆的半径 正多边形的半径 每一条边所 对的圆心角 正多边形的中心角 弦心距 正多边形的边心距 M ①正多边形的内角和 = ②中心角 = 圆内接正多边形的有 关概念及性质 2. 计算公式 十二、 圆中的计算问题 1. 弧长公式 半径为 R 的圆中，n° 圆心角所对的弧长 l =______. 2. 扇形面积公式 半径为 R，圆心角为 n° 的扇形面积 S = __________. 或 3. 弓形面积公式 O O 弓形面积 = 扇形面积±三角形面积 (3) 圆锥的侧面积为　 . 【注意】圆锥的侧面展开图的形状是扇形，它的半径等于圆锥的母线长，它的弧长是圆锥底面圆的周长． 4. 圆锥的侧面积 (1) 圆锥的侧面展开图是一个　 　. (2) 如果圆锥母线长为 l，底面圆的半径为 r，那么这个扇形的半径为　　，扇形的弧长为　 　. 扇形 l 考点一 旋转变换 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，点 D，E 分别在 AB，AC 上，CE = BC，连接 CD，将线段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90° 后得 CF，连接 EF． （1）补充完成图形； （2）若 EF∥CD，求证：∠BDC = 90°． 解析：第（2）问由旋转的性质得∠DCF 为直角，由 EF 与 CD 平行，得到∠EFC 为直角，利用 SAS 得到 △BDC 与 △EFC 全等，利用全等三角形对应角相等即可得证． 考点讲练 F 解：（1）补全图形，如图所示． （2）由旋转知 CD = CF，∠DCF = 90°， ∴∠DCE +∠ECF = 90°. ∵∠ACB = 90°，∴∠DCE +∠BCD = 90°. ∴∠ECF =∠BCD. ∵ EF∥DC，∴∠EFC +∠DCF = 180°. ∴∠EFC = 90°. ∴△BDC≌△EFC（SAS）. ∴∠BDC =∠EFC = 90°. 考点二 弧、圆心角、圆周角的性质 例2 如图，BC 是 ⊙O 的直径，AD⊥BC，若∠D = 36°，则∠BAD 的度数是（ ） A. 72° B. 54° C. 45° D. 36° A B C D 解析：根据圆周角定理的推论可知， ∠B =∠D = 36°，AD⊥BC，所以∠BAD = 90° -∠B = 54°. B O 1. 如图，四边形 ABCD 为 ⊙O 的内接正方形，点 P 为劣弧 BC 上的任意一点（不与 B，C 重合），则∠BPC 的度数是 . 135° C D B A P O 针对训练 2. 如图，线段 AB 是直径，点 D 是 ⊙O 上一点，∠CDB = 20°，过点 C 作 ⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E，则∠E 等于 °. O C A B E D 50 例3 如图，⊙O 的直径 AE = 4 cm，∠B = 30°，则 AC = cm. A B C E O 2 解析 连接 CE，则∠E =∠B = 30°，∠ACE = 90°，所以 AC = AE = 2 cm. 方法归纳：有直径，通常构造直径所对的圆周角，将问题转化到直角三角形中解决. 3.（多解题）如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 BC = 2，F 是弦 BC 的中点，∠ABC = 60°. 若动点 E 以 2 cm/s 的速度从 A 点出发沿着 A→B→A 的方向运动，设运动时间为 t (s) (0＜t＜3)，连接 EF，当 t = s 时， △BEF 是直角三角形. A B C E O F 针对训练 考点三 垂径定理及其应用 例4 如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的口宽，假设钢珠的直径是 10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm，则这个小圆孔的口宽 AB = mm. 8 mm A B 解析 连接 OA，过点 O 作出弓形的高 CD，则 AO = 5 mm，OD = 3 mm，利用勾股定理可算得 AD = 4 mm，所以 AB = 8 mm. 方法归纳 在圆中涉及弓形求线段长问题时，常构造直角三角形来解决. 8 C D O A B C D P O 针对训练 4. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，且 AB = 2，C，D 是同一半圆上的两点，并且 与 的度数分别是 96° 和 36°，动点 P 是 AB 上的任意一点，则 PC + PD 的最小值是 . 考点四 点或直线与圆的位置关系 例5 如图，已知∠MON = 30°，P 是 ON 上的一点，OP = 5 cm，若以 P 点为圆心，r 为半径画圆，使射线 OM 与⊙P 只有一个公共点，求 r 的值或取值范围. 解：当射线 OM 与⊙P 相切时，射线 OM 与 ⊙P 只有一个公共点. 过点 P 作 PA⊥OM 于 A，如图所示. 在 Rt△AOP 中，r = PA = OP·sin∠POA = 2.5 (cm). 当射线 OM 与⊙P 相交且点 O 在 ⊙P 内时，射线 OM 与⊙P 只有一个公共点. 如图 2 所示. ∵ 射线 OM 与 ⊙P 相交，∴ r＞2.5 cm. ···① 又∵ 点 O 在⊙P 内，∴ r＞OP，即 r＞5 cm. ···② 由①②可得 r＞5 cm. 综上所述，当射线 OM 与⊙P 只有 一个公共点时， r = 2.5 cm 或 r＞5 cm. 图 2 此类题型中，常常容易混淆“直线与圆只有一个公共点”“线段与圆只有一个公共点”“射线与圆只有一个公共点”的说法. 实际上，当直线与圆只有一个公共点时，直线与圆一定相切；而线段或射线与圆只有一个公共点时，它们与圆的位置关系可能相切，也可能相交. 方法总结 5. 如图，直线 l：y = x + 1 与坐标轴交于 A，B 两点，点 M (m，0) 是 x 轴上一动点，以点 M 为圆心，2 个单位长度为半径作 ⊙M，当 ⊙M 与直线 l 相切时，m 的值为_______． 针对训练 例6 如图，以 △ABC 的边 AB 为直径的 ⊙O 交边 AC 于点 D，且过点 D 的切线 DE 平分边 BC. 问：BC 与 ⊙O 是否相切？ 考点五 切线的性质与判定及切线长定理 解：BC 与⊙O 相切．理由：连接 OD，BD，如图. ∵DE 切 ⊙O 于 D，AB 为直径，∴∠EDO＝∠ADB＝90°. 又∵ DE 平分 CB，∴ DE＝ BC＝BE. ∴∠EDB＝∠EBD. 又∵∠ODB＝∠OBD，∠ODB＋∠EDB＝90°，∴∠OBD＋∠DBE＝90°，即∠ABC＝90°. ∴BC 与⊙O 相切. 6. 已知：如图，PA，PB 是 ⊙O 的切线，A，B 为切点，过 上的一点 C 作 ⊙O 的切线，交 PA 于 D，交 PB 于 E. (1) 若∠P＝70°，求∠DOE 的度数； 针对训练 解：连接 OA，OB，OC． ∵ ⊙O 分别切 PA，PB，DE 于点 A，B，C， ∴ OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，AD＝CD，BE＝CE． ∴ OD 平分∠AOC，OE 平分∠BOC. ∴∠DOE＝ ∠AOB. ∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°， ∴∠DOE＝55°. (2) 若 PA＝4 cm，求△PDE 的周长． 解：由 (1) 知，AD＝CD，BE＝CE. ∴△PDE 的周长为 PD＋PE＋DE ＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8 (cm). 考点六 圆内接正多边形 例7 如图，在正方形 ABCD 内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知 AE = 6，EF = 8，FC = 10，求图中阴影部分的面积. 【解析】连接 AC，则 AC 是圆的直径. 易得 AE∥CF，若将 CF 平移到 AE 的延长线上，则点 C 恰好到达圆周上，则可得到圆的一个内接直角三角形，利用勾股定理即可求得 AC 的长，进而求得阴影部分的面积. 解：延长 AE 交圆于点 C'，连接 AC，CC'，如图所示. ∵ 四边形 ABCD 是圆的内接正方形，∴ AC 为圆的直径. ∴ AC' = AE + EC' = AE + FC = 16，CC' = EF = 8. ∴ ∴ 正方形 ABCD 的边长 AB = AC·sin45° = ，外接圆的半径为 ． ∴∠C′ = 90°，故四边形 EFCC' 是矩形. C' 当图中出现圆的直径时，常常作出直径所对的圆周角，从而利用“直径所对的圆周角等于 90°”构造出直角三角形，为进一步利用勾股定理或锐角三角函数创造条件. 方法总结 7. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 5 的⊙O，四边形 EFGH 是正方形． (1) 求正方形 EFGH 的面积； 解：(1) ∵ 正六边形的边长与其半径相等， ∴ EF = OF = 5. ∵ 四边形 EFGH 是正方形， ∴ FG = EF = 5. ∴ 正方形 EFGH 的面积是 25. 针对训练 (2) 连接 OF、OG，求∠OGF 的度数． 解：∵正六边形的边长与其半径相等， ∴∠OFE = 60°. ∴正方形的内角是 90°. ∴∠OFG =∠OFE +∠EFG = 60° + 90° = 150°. 由 (1) 得 OF = FG， ∴∠OGF = （180° -∠OFG） = ×(180° - 150°) = 15°. 考点七 弧长和扇形面积 例8（1）一条弧所对的圆心角为 135°，弧长等于半径为 5 cm 的圆的周长的 3 倍，则这条弧的半径为 cm； （2）一个底面直径为 10 cm，母线长为 15 cm 的圆锥，它的侧面展开图圆心角是 度. 40 120 例9 如图是一纸杯，它的母线 AC 和 EF 延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图形是扇形 AOB.经测量，纸杯上开口圆的直径为 6 cm，下底面直径为 4 cm，母线长 EF = 8 cm． （1）求扇形 AOB 的圆心角； 解:（1）由题意知 AB = 6π，CD = 4π，设∠AOB = n°，AO = R cm，则CO = (R - 8) cm． 由弧长公式变形得： 即 解得 R = 24. 即扇形的圆心角∠AOB = 45°. （2）求这个纸杯的表面积（计算结果保留 π）. 解：由（1）知 OA = 24 cm，则 CO = 24 - 8 = 16（cm）. ∴ S扇形COD = (cm2)， S扇形AOB = ∴ S纸杯侧 = S扇形AOB - S扇形COD = 72π - 32π = 40π (cm2)， S纸杯底 = 4π. ∴ S纸杯表 = 40π + 4π = 44π (cm2). 答：这个纸杯的表面积为 44π cm2. (1) 要熟记弧长公式，即 ；(2) 要熟记圆锥及其侧面展开图存在的对应数量关系，即底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，母线长等展开后扇形的半径. 方法归纳 8.（1）一条弧所对的圆心角为 120°，弧长等于半径为 4 cm 的圆的周长的 3 倍，则这条弧的半径为 . （2）一个底面半径为 4 cm，母线长为 12 cm 的圆锥，它的侧面展开图圆心角是 度. （3）若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为______. 36 cm 120 针对训练 考点八 有关圆的综合性题目 例10 如图，在平面直角坐标系中，⊙P 经过 x 轴上一点 C，与 y 轴分别相交于 A，B 两点，连接 AP 并延长，分别交 ⊙P，x 轴于点 D，E；连接 DC 并延长，交 y 轴于点 F．若点 F (0，1)，点 D (6，-1). （1）求证：CD = CF； 证明：如图，过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H，则∠CHD =∠COF = 90°. 由 F (0，1)，D (6，-1)，得 DH = OF = 1. H 又∵∠FCO =∠DCH，∴△FOC≌△DHC. ∴ CD = CF. （2）判断 ⊙P 与 x 轴的位置关系，并说明理由； 解：⊙P 与 x 轴相切. 理由如下： 连接 PC，如图所示. ∵ AP = PD，CD = CF，∴ CP∥AF. ∴∠PCE =∠AOC = 90°，即 PC⊥x 轴. ∴⊙P 与 x 轴相切. H 解：由（2）知 CP 是 △ADF 的中位线. ∴ AF = 2CP. ∵ AD = 2CP，∴ AD = AF. 连接 BD，如图所示. ∵ AD 为 ⊙P 的直径，∴∠ABD = 90°. ∴ BD = OH = 6，OB = DH = OF = 1. 设 AD = x，则 AB = AF－BF = AD－BF = AD－(OB + OF）= x－2. （3）求直线 AD 的函数表达式. H 在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 AD2 = AB2 + BD2， 即 x2 = (x－2)2 + 62，解得 x = 10. ∴ OA = AB + OB = 8 + 1 = 9. ∴ 点 A (0，-9). 设直线 AD 的函数表达式为 y = kx + b， 将点 A (0，-9)，D (6，-1) 代入，得 解得 ∴ 直线 AD 的函数表达式为 . H 圆 旋转 旋转对称及其性质 中心对称及其性质 旋转对称图形 中心对称图形 圆的基本性质 垂径定理 等圆心角 圆的确定 连半径，作弦心距，构造直角三角形 等弧 等弦 等弦心距 三角形的外接圆 圆周角 圆内接四边形的性质 作弦，构造直径所对的圆周角 课堂小结 与圆有关的位置关系 点与圆的位置关系 直线与圆的位置的关系 有公共点，连圆心，证垂直；无公共点，作垂直，证半径；见切点，连圆心，得垂直 与圆有关的计算 正多边形的计算 弧长与扇形面积的计算 切线的判定与性质 圆 旋转 圆的基本性质 圆周角 课堂小结 见教材章节复习题 课后作业 $