第24章 专题4 圆中常见辅助线的作法（作业课件）【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦九年级下册“圆中常见辅助线的作法”，涵盖遇弦连半径、构造圆内接四边形等五种类型，通过具体例题导入，结合垂径定理、圆周角定理等旧知，搭建从基础到综合的学习支架，帮助学生系统掌握辅助线添加策略。 其亮点在于精选2025年各地中考真题，通过“辅助设问”引导学生构建隐圆等模型，培养几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维），例题解析步骤清晰且变式题巩固，助力学生形成解题模型（数学语言），教师使用可提升教学效率，学生能提升圆的综合应用能力。

2026春季学期 《学练优》·九年级数学下·HK 第24章　圆 专题 4　圆中常见辅助线的作法 类型一　遇弦连半径或作垂径 1.(2025·淮南潘集区月考)如图，AB是☉O的直径，AB＝12cm，四边形ABCD内接于☉O，C，D两点是 的三等分点，则弦CD的长为(　B　) B A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 12cm 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 2. 如图，☉O的直径AB与弦CD交于点E，AB＝ 4，∠CDO＝30°. (1)求CD的长； 解：(1)如图，过点O作OF⊥CD于点F. 由条件可知OA＝OD＝OB＝2，OF＝ OD＝1. ∴DF＝ ＝ ＝ .∴CD＝ 2DF＝2 . 解：(1)如图，过点O作OF⊥CD于点F. 由条件可知OA＝OD＝OB＝2，OF＝ OD＝1. ∴DF＝ ＝ ＝ . ∴CD＝ 2DF＝2 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)当BE＝2－ 时，求CE的长. 2. 如图，☉O的直径AB与弦CD交于点E，AB＝ 4，∠CDO＝30°. 解：(1)如图，过点O作OF⊥CD于点F. 由 解：(2)∵BE＝2－ ，OB＝2， ∴OE＝OB－ BE＝ . 又∵OF⊥CD，OF＝1，∴CF＝DF＝ ， EF＝ ＝ ＝1. ∴CE＝CF －EF＝ －1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 类型二　构造圆内接四边形转化角 3. 如图，点A，B，C，D，E在☉O上， 的度 数为60°，则∠B＋∠D的度数是(　D　) A. 180° B. 120° C. 100° D. 150° D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 　变式题 如图，在☉O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝ 35°，则∠B＋∠E＝ ⁠°. 215　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 4. 如图，在☉O中，点C为弦AB的中点，连接 OC，OB，点D是 上任意一点，若∠ADB＝ 126°，则∠COB的大小为 ⁠. 54°　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 类型三　遇直径添加直径所对的圆周角 5. (2025·亳州二模)如图，四边形ABDC是☉O的内 接四边形，AB是☉O的直径，点D是 的中点.若 ∠BAC＝80°，则∠ACD的度数是(　D　) D A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 6. 如图，AB是☉O的直径，弦CD交AB于点E， 连接AC，AD. 若∠D＝60°，AC＝6，则☉O的 半径长为 ⁠. 2 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的 ☉O交AB于点D，交BC于点E. (1)求证：BE＝CE； (1)证明：如图，连接AE. ∵AC为☉O的直径， ∴∠AEC＝90°.∴AE⊥BC. ∵AB＝AC，∴BE ＝CE. (1)证明：如图，连接AE. ∵AC为☉O的直径， ∴∠AEC＝90°.∴AE⊥BC. ∵AB＝AC，∴BE ＝CE. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的 ☉O交AB于点D，交BC于点E. (1)证明：如图， (2)若BD＝2，BE＝3，求AC的长. (2)解：如图，连接CD. 由(1)可知BE＝CE， ∴BC＝2BE＝6.设AB＝AC＝x，则AD＝x－2. ∵AC为☉O的直径，∴∠ADC＝90°. ∴∠BDC＝ 90°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝62－22＝32. 在Rt△ADC中，AD2＋CD2＝AC2， 即(x－2)2＋32 ＝x2. 解得x＝9，即AC的长为9. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 类型四　遇切线连接圆心和切点 8. (2025·合肥瑶海区一模)如图，AB是☉O的直 径，C，D是☉O上的点，∠CDB＝26°，过点C 作☉O的切线交AB的延长线于点P，则∠P等于 (　B　) A. 26° B. 38° C. 48° D. 52° B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 9. 如图，☉O与边长为4cm的正方形ABCD的边CD 相切，且A，B两点在☉O上，则☉O的半径长是 (　B　) B A. cm B. cm C. 2cm D. 1cm 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 [解析]设☉O与CD相切于M，连接OA，OM， 延长MO交AB于N，☉O的半径是rcm. ∵☉O与CD相切，切点是M，∴半径OM⊥CD. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，∠D＝∠DAN＝90°.∴OM⊥AB. ∴四边形ADMN是矩形.∴MN＝AD＝4cm. ∴ON＝(4－r)cm.∵ON⊥AB， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 ∵OA2＝ON2＋AN2，∴r2＝(4－r)2＋22.∴r＝ . 故选B. ∵OA2＝ON2＋AN2，∴r2＝(4－r)2＋22.∴r＝ . 故选B. ∴AN＝ AB＝×4＝2(cm). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 10. (2025·阜阳三模)如图，AB是☉O的切线，点A 为切点，连接OB交☉O于点C，半径OD∥AC. 若 ∠B＝28°，则∠DAC的度数是 ⁠. 29.5°　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在 边AC上，以点O为圆心，OC长为半径的半圆与斜 边AB相切于点D，交OA于点E，连接OB. (1)求证：BD＝BC. (1)证明：如图，连接OD. ∵∠ACB＝90°， ∴BC⊥OC. ∴BC是半圆O的切线.又∵半圆O与AB相切于点 D， ∴BD是半圆O的切线.∴BD＝BC. (1)证明：如图，连接OD. ∵∠ACB＝90°， ∴BC⊥OC. ∴BC是半圆O的切线. 又∵半圆O与AB相切于点D， ∴BD是半圆O的切线.∴BD＝BC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的长. 11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在 边AC上，以点O为圆心，OC长为半径的半圆与斜 边AB相切于点D，交OA于点E，连接OB. (1)证明：如图，连接OD. ∵∠ACB＝90°， ∴BC⊥OC. ∴BC是 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)解：∵∠A＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝60°.∵BC，BD是半圆O的切线， ∴∠CBO＝∠DBO＝ ∠ABC＝30°. 在Rt△OBC中，∵OC＝1，∴OB＝2. ∴BC＝ ＝ . 在Rt△ABC中，∠A＝30°， ∴AB＝2BC＝2 . (2)解：∵∠A＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝60°.∵BC，BD是半圆O的切线， ∴∠CBO＝∠DBO＝ ∠ABC＝30°. 在Rt△OBC中，∵OC＝1，∴OB＝2. ∴BC＝ ＝ . 在Rt△ABC中，∠A＝30°， ∴AB＝2BC＝2 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 类型五　★构造隐圆求角度或求最值 12. 如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝ 2∠BDC，∠BAC＝42°，则∠CAD的度数为 (　C　) A. 56° B. 78° C. 84° D. 112° C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 由AB＝AC＝AD，可知B，C，D三点在以 点 为圆心，AB为半径的隐圆上，画出此圆， 利用圆周角定理进行转化求解. A　 辅助设问 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 13. 如图，在矩形ABCD中，BC＝5，CD＝12， M为边AB上一动点，沿着DM翻折△MDA得到 △MDA1，则BA1长的最小值是 ⁠. 8　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 由翻折可知DA＝DA1，故点A1在以点 ⁠为圆 心，DA为半径的隐圆上运动，画出隐圆，则BA1长 的最小值就是点B到该圆上的点的最小距离. D　 辅助设问 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是x 轴、y轴正半轴上的动点，且AB＝7，点M是AB的 中点，点P的坐标为(3，4). (1)求证：点M在一段圆弧上运动； (1)证明：如图，连接OM. ∵∠AOB＝90°，点M是AB的中点，AB＝7， ∴OM＝ AB＝ ×7＝3.5. ∵点M到点O的距离为定值， ∴点M的轨迹是以点O为圆心，3.5为半径的一段 弧(如图). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (1)证明：如图，连接OM. ∵∠AOB＝90°，点M是AB的中点，AB＝7， ∴OM＝ AB＝ ×7＝3.5. ∵点M到点O的距离为定值， ∴点M的轨迹是以点O为圆心， 3.5为半径的一段弧(如图). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)求PM的最小值. 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是x 轴、y轴正半轴上的动点，且AB＝7，点M是AB的 中点，点P的坐标为(3，4). (2)解：如图，连接OP. ∵点P的坐标为(3，4)，∴OP＝ ＝5. ∵OM＋PM≥OP，∴3.5＋PM≥5. ∴PM≥1.5.∴PM的最小值为1.5. (2)解：如图，连接OP. ∵点P的坐标为(3，4)，∴OP＝ ＝5. ∵OM＋PM≥OP，∴3.5＋PM≥5. ∴PM≥1.5.∴PM的最小值为1.5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 $