24.7 第1课时 弧长与扇形面积（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦“弧长与扇形面积”，通过运动会跑道弯道展直长度问题导入，从圆的周长和面积出发，结合圆心角比例推导弧长与扇形面积公式，构建从具体情境到抽象公式的学习支架。 其亮点在于以生活情境激发数学眼光，通过观察思考、合作探究培养数学思维，结合埃拉托塞尼估算地球周长等实例强化数学语言应用。采用类比学习（扇形面积与三角形面积类比）和结构化小结，助力学生发展抽象能力与几何直观，教师可借助丰富案例提升教学效率。

24.7 弧长与扇形面积 第24章 圆 第1课时 弧长与扇形面积 优翼九下数学教学课件（HK） 如图，在运动会的 4×100 米比赛中，甲和乙分别在第 1 跑道和第 2 跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？ 怎样计算弯道的“展直长度”？ 因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的. 情境引入 导入新课 与弧长相关的计算 问题1 半径为 R 的圆，周长是多少？ O R 问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别占圆周长的多少? O R 90° O R 45° O R n° 观察与思考 O R 180° 新课讲授 (1) 圆心角是 180°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ； ______ (2) 圆心角是 90°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ； (3) 圆心角是 45°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ； (4) 圆心角是 n°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ． ______ ______ ______ 注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中 n 的意义．n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的. 算一算 已知弧所对的圆心角为 60°，半径是 4，则弧长为 ． 知识要点 弧长公式 · O A 解：设半径 OA 绕轴心 O 按逆时针方向旋转的度数为 n°，则 解得 n ≈ 90°. 因此，半径 OA 旋转的角度约为 90°. 例1 一滑轮起重机装置(如图)，滑轮的半径 R = 10 cm，当重物上升 15.7 cm 时，滑轮的一条半径 OA 绕轴心 O 按逆时针方向旋转多少度？（假设绳索 与滑轮之间没有滑动，π 取 3.14） 典例精析 例2 古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法. 如图，点 S 和点 A 分别表示埃及的塞伊尼和亚历山大两地，亚历山大在塞伊尼的北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离 为 5 000 希腊里 (1 希腊里 ≈ 0.1585 km). 当太阳光线在塞伊尼直射时，同一 时刻在亚历山大测量太阳光线偏离 直射方向的角为 α. 实际测得 α 是 7.2°，由此估算出了地球的周长， 你能进行计算吗？ O α A S ） 解：∵ 太阳光线可看作平行的， ∴ 圆心角∠AOS = α = 7.2°. 设地球的周长为 C，则 答：地球的周长约为 39625 km. = 250000 (希腊里) ≈ 39625 (km). ∴ O α A S ） 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度 l. (单位：mm，精确到 1 mm) 解：弧 AB 的长为 因此所要求的展直长度 l ≈ 2×700 + 1570 = 2970 (mm). 答：管道的展直长度约为 2970 mm. 700mm 700mm R = 900 mm ( 100° A C B D O 练一练 圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫做扇形. 如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB. 半径 半径 O B A 圆心角 弧 O B A 扇形 概念学习 与扇形面积相关的计算 判断：下列图形是扇形吗？ √ × × × √ 练一练 合作探究 问题1 半径为 r 的圆，面积是多少？ O r 问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢? O r 180° O r 90° O r 45° O r n° 圆心角占 周角的比例 扇形面积占 圆面积的比例 扇形的 面积 = 半径为 r 的圆中，圆心角为 n° 的扇形的面积 ①公式中 n 的意义．n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）. 注意 知识要点 ● O A B D C E F ● O A B C D 问题 扇形的面积与哪些因素有关？ ___大小不变时，对应的扇形面积与 有关， 越长，面积越大. 圆心角 半径 半径 圆的 不变时，扇形面积与 有关，______越大，面积越大. 圆心角 半径 圆心角 总结：扇形的面积与圆心角、半径有关. 问题 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？ A B O O 类比学习 例3 如图，圆心角为 60° 的扇形的半径为 10 cm. 求这个扇形的面积和周长.（精确到 0.01 cm2 和 0.01 cm） O r 60° 解：∵ n = 60，r = 10 cm， ∴ 扇形的面积为 扇形的周长为 1. 已知扇形的半径为 2 cm，其弧长为 ，则这个扇形的面积 S = ． 2. 已知扇形的圆心角为 120°，半径为 2，则这个扇形的面积 S = . 练一练 例4 如图，点 D 在 ⊙O 的直径 AB 的延长线上，点 C 在 ⊙O 上，AC = CD，∠ACD = 120°． （1）求证：CD 是 ⊙O 的切线； 证明：连接 OC，如图． ∵ AC = CD，∠ACD = 120°， ∴∠A =∠D = 30°． ∵ OA = OC，∴∠ACO =∠A = 30°． ∴∠OCD = 180°-∠A -∠D -∠ACO = 90°，即 OC⊥CD. ∴ CD 是⊙O 的切线． （2）若 ⊙O 的半径为 2，求图中阴影部分的面积． 解：∵∠A = 30°，∴∠COB = 2∠A = 60°. 在 Rt△OCD 中， 例5 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积.（精确到 0.01 m2） (1) O. B A 分析：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？ 阴影部分. O. B A D (2) O. B A C D (3) (2) 水面高 0.3 m 是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？ 线段 DC. 过点 O 作 OD⊥AB 并延长交圆 O 于 C. (3) 要求图中阴影部分面积，应该怎么办？ 阴影部分面积 = S扇形 AOB - S△OAB C 解：如图，连接 OA，OB，过点 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 D，交弧 AB 于点 C，连接 AC. ∵ OC＝0.6，DC＝0.3， ∴ OD＝OC - DC＝0.3. ∴ OD＝DC. 又 AD ⊥DC， ∴ AD 是线段 OC 的垂直平分线. ∴ AC＝AO＝OC. 　从而 ∠AOD＝60°，∠AOB＝120°. O. B A C D ∴ 有水部分的面积为 　　S = S扇形AOB - S△OAB O. B A C D O O 弓形的面积 = 扇形的面积 ± 三角形的面积 S弓形 = S扇形 - S三角形 S弓形 = S扇形 + S三角形 知识要点 弓形的面积公式 A B C O H C1 A1 H1 O1 2. 如图，Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 2，O、H 分别为 AB、AC 的中点，将 △ABC 绕点 B 按顺时针旋转 120° 到 △A1BC1 的位置，则整个旋转过程中线段 OH 所扫过的面积为 （ ） B． C. D. 1. 已知弧所对的圆周角为 90°，半径是 4，则弧长为 . C 当堂练习 3. 如图，☉A、☉B、☉C、☉D 两两不相交，且半径都是 2 cm，则图中阴影部分的面积是 . A B C D 4. 如图，Rt△ABC 的边 BC 位于直线 l 上，AC＝ ，∠ACB＝90°，∠A＝30°. 若 Rt△ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点 A 第 3 次落在直线 l 上时，点 A 所经过的路线的长为________(结果用含 π 的式子表示)． 解析：点 A 所经过的路线的长为三个半径为 2，圆心角为 120° 的扇形弧长与两个半径为 ，圆心角为 90° 的扇形弧长之和，即 5. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 cm，其中水面高 0.9 cm，求截面上有水部分的面积. (精确到 0.01 cm2） O A B D C E 解： A B A' B' C 6. 如图，一个边长为 10 cm 的等边三角形模板 ABC 在水平桌面上绕顶点 C 按顺时针方向旋转到 △A'B'C 的位置，求顶点 A 从开始到结束所经过的路程. 解：由图可知，由于∠A'CB' = 60°，则等边三角形木板绕点 C 按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA' = 120°，这说明顶点 A 经过的路程长等于弧 AA' 的长. ∵ 等边三角形 ABC 的边长为 10 cm， ∴ 弧 AA' 所在圆的半径为 10 cm. ∴ 所求路程为 l弧AA' 弧长 扇形 定义 公式 阴影部分面积 求法：整体思想 弓形 公式 S弓形 = S扇形 - S三角形 S弓形 = S扇形 + S三角形 割补法 公式 课堂小结 $