24.6 第1课时 正多边形的概念及正多边形与圆的关系（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦正多边形概念、内角外角计算及正多边形与圆的内接外切关系，通过生活图案导入，衔接多边形内角和等旧知，搭建学习支架帮助学生构建新知。 其亮点在于通过生活图案培养数学眼光，以探究证明（如内接正五边形）和尺规作图（如内接正方形）发展推理能力与数学语言，帮助学生提升几何直观，教师可借助分层练习高效教学。

24.6 正多边形与圆 第24章 圆 第1课时 正多边形的概念及正多边形与圆的关系 优翼九下数学教学课件（HK） 下图的这些图案，都是我们在日常生活中经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗? 图片引入 导入新课 正多边形的概念及相关计算 问题1 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？ 各边相等，各角也相等. 观察与思考 新课讲授 知识要点 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 正多边形 各边相等 各角相等 缺一不可 问题2 n 边形的内角和为多少？正 n 边形的每个内角的度数如何计算？ n 边形的内角和为 正 n 边形的每个内角的度数为 问题3 n 边形的外角和为多少？已知正 n 边形的内角为 α 度，如何求 n 的值？ n 边形的外角和为 360°. 正 n 边形的内角为 α 度，则它的外角为 (180 - α) 度. 故 1. 若一个正 n 边形的每个内角为 144°，则 n = ____. 10 练一练 2. 一个正多边形的内角和为 540°，则这个正多边形的每一个外角都等于 （　　） A．108° B．90° C．72° D．60° C 例1 如图，点 G，H 分别是正六边形 ABCDEF 的边 BC，CD 上的点，且 BG = CH，AG 交 BH 于点 P． （1）求证：△ABG≌△BCH； 典例精析 证明：∵在正六边形 ABCDEF 中， AB = BC，∠ABC =∠C = 120°. ∵ BG = CH， ∴ △ABG≌△BCH. 解：由（1）知 △ABG≌△BCH， ∴∠BAG =∠CBH． ∴∠BPG =∠ABG = 120°． ∴∠APH =∠BPG = 120°． （2）求∠APH 的度数． 正多边形与圆的关系 问题 如图，把 ☉O 进行 5 等分，依次连接各等分点得到五边形 ABCDE. 分别过点 A，B，C，D，E 作☉O 的切线，切线交于点 P，Q，R，S，T，依次连接各交点，得到五边形 PQRST. 则五边形 ABCDE 及五边形 PQRST 是正多边 形吗？ · A O E D C B P Q R S T 探究1 五边形 ABCDE 是正五边形吗？简要说明理由. ① ② AB____BC____CD____DE____AE. ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ④ ∠A___∠B___∠C___∠D___∠E. ＝ ＝ ＝ ＝ ③ ＝ ＝ ＝ ＝ ∵ 顶点 A，B，C，D，E 都在 ☉O 上， ∴ 五边形 ABCDE 是 ☉O 的内接正五边形. · A O E D C B 把圆分成 n（n＞2）等份，依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的一个内接正 n 边形. 归纳总结 · A O E D C B P Q R S T 探究2 五边形 PQRST 是正五边形吗？简要说明理由. 五边形 ABCDE 是 ☉O 的内接正五边形.连接 OA，OB，OC. 则∠OAB =∠OBA =∠OBC =∠OCB． ∵ TP，PQ，QR 分别是以点 A，B，C 为切点的 ☉O 的切线， ∴∠OAP =∠OBP =∠OBQ =∠OCQ． ∴∠PAB =∠PBA =∠QBC =∠QCB． 又∵AB = BC， ∴ △PAB≌△QBC． ∴ ∠P =∠Q，PQ = 2PA. 同理，得 ∠Q =∠R =∠S =∠T， QR = RS = ST = TP = 2PA. ∵五边形 PQRST 的各边与 ☉O 相切， ∴五边形 PQRST 是 ☉O 的外切正五边形. · A O E D C B P Q R S T 把圆分成 n（n＞2）等份，依次连接过等分点作圆的切线，各切线相交所得的多边形就是这个圆的一个外切正 n 边形. 归纳总结 例2 利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形. 解：（1）内接正方形的作法： ① 用直尺作圆的一条直径 AC； A C O ② 作与 AC 垂直的直径 BD； B D ③ 顺次连接所得的圆上四点. 则四边形 ABCD 即为所求作的正方形. 再逐次平分各边所对的弧，就可以作出正八边形、正十六边形等. O （2）内接正六边形的作法： ① 用直尺作圆的一条直径 AD； ② 以点 A 为圆心，OA 为半径作圆， 与 ⊙O 交于点 B、F； ④ 顺次连接所得的圆上六点. 则六边形 ABCDEF 即为所求作的正六边形. A D B F ③ 以点 D 为圆心，OD 为半径作圆， 与 ⊙O 交与点 C、E. C E 如果再逐次等分各边所对的弧，就可以作出正十二边形、正二十四边形等. 方法归纳：用等分圆周的方法作正多边形：①用量角 器等分圆周；②用尺规等分圆周(特殊正 n 边形). 例3 如图，⊙O 的内接正方形 ABCD，E 为边 CD 上一点，且 DE = CE，延长 BE 交 ⊙O 于 F，连接 FC，若正方形边长为 1，求弦 FC 的长． 解：连接 BD，如图． 在 Rt△CBD 中， ∵∠DBE =∠FCE，∠CFE =∠BDE， ∴△DEB∽△FEC. 2. 如图是一枚“八一”建军节纪念章，其外轮廓是一个正五边形，则图中∠1 的大小为______. 1. 如果一个正多边形的一个外角为 30°，那么这个正多边形的边数是 （　　） A．6 B．11 C．12 D．18 C 108° 当堂练习 3. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 4 的圆，则 B、E 两点间的距离为____. 解析：连接 BE、AE，如图所示. ∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形，∴∠BAF =∠AFE = 120°， FA = FE. ∴∠FAE =∠FEA = 30°. ∴∠BAE = 90°. ∴ BE 是正六边形 ABCDEF 的外接圆的直径. ∵正六 边形 ABCDEF 内接于半径为 4 的圆， ∴ BE = 8. 8 4.如图，以正六边形 ABCDEF 的边 AB 为边，在形内作正方形 ABMN，连接 MC．求∠BCM 的大小． 解：∵ 六边形 ABCDEF 为正六边形， ∴∠ABC = 120°，AB = BC． ∵ 四边形 ABMN 为正方形， ∴∠ABM = 90°，AB = BM． ∴∠MBC = 120° - 90°=30°，BM = BC． ∴∠BCM =∠BMC． ∴∠BCM = 75°． 5. 如图，已知正五边形 ABCDE，AF∥CD 交 DB 的延长线于点 F，交 DE 的延长线于点 G，求∠G 的度数． 解：∵ ABCDE 是正五边形， ∴∠C =∠CDE = 108°，CD = CB. ∴∠1 = 36°. ∴∠2 = 108° - 36° = 72°. ∵ AF∥CD， ∴∠F =∠1 = 36°. ∴∠G = 180° -∠2 -∠F = 72°. ） ） 正多边形与圆 正多边形 正多边形与圆的关系 各边相等 各角相等 缺一不可 内接正多边形 外切正多边形 课堂小结 $