24.4 第3课时 切线长定理（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦“切线长定理”，通过抖空竹、悠悠球旋转抽象数学图形引入，衔接过圆上点作切线的旧知，引导学生探究过圆外点作切线的方法，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活情境激发兴趣，通过折叠操作和全等证明培养推理意识，例题涵盖内切四边形、周长计算、铁环半径测量等，体现应用意识。课堂小结梳理辅助线方法，助力学生构建知识网络，教师使用可提升教学效率，学生能发展数学思维与实践能力。

第3课时 切线长定理 24.4 直线与圆的位置关系 第24章 圆 优翼九下数学教学课件（HK） 情境引入 同学们玩过抖空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？ 导入新课 切线长定理及应用 问题1 我们已经学习了如何过圆上一点作已知圆的切线. 那么，如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？ O. P A B 合作探究 你可以作几条？ 作法：1. 连接 OP； 2. 以 OP 为直径作圆，设此 圆交 ⊙O 于点 A，B； 3. 连接 PA，PB. 则直线 PA，PB 即为所作. 新课讲授 ◑切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长． 知识要点 O. P A B ◑过圆外任意一点能够作出圆的两条切线. ①切线是直线，不能度量； ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点，可以度量． ◑切线长与切线的区别 O，A，P，B 四点共圆哦！ 问题2 沿直线 PO 将图形折叠，你有什么发现？ O P A B PA = PB，∠APO =∠BPO. 试着自己证明. 证明：连接 OA，OB，如图. ∵ PA，PB 切 ☉O 于点 A，B， ∴ OA⊥PA，OB⊥PB. ∵ OA = OB，OP = OP， ∴ Rt△OAP≌Rt△OBP. ∴ PA = PB，∠APO =∠BPO. 切线长定理： 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. ∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B， ∴ PA = PB， ∠OPA =∠OPB. 几何语言： O P A B 知识要点 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 1. 若连接两切点 A、B，AB 交 OP 于点 M. 你又能得出 什么新的结论? 请给出证明. 解：OP 垂直平分 AB. 证明：∵ PA，PB 是 ⊙O 的切线，点 A，B 是切点， ∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB. ∴ △PAB 是等腰三角形， PM 为顶角的平分线. ∴ OP 垂直平分 AB. M 想一想： O P A B 2. 若 PO 的延长线交 ⊙O 于点 C，连接 CA、CB，你又 能得出什么新的结论? 请给出证明. 证明：∵ PA，PB 是 ⊙O 的切线，点 A，B 是切点， ∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB. 又∵ PC = PC， ∴ △PCA≌△PCB. ∴ CA = CB，∠ACP =∠BCP. 解：CA = CB，∠ACP =∠BCP. C O P A B 如图，PA、PB 是 ☉O 的两条切线，A、B 为切点，直线 OP 交 ☉O 于点 D、E，交 AB 于 C. (1) 写出图中所有的垂直关系； OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP. (3) 写出图中所有的全等三角形； △AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP. (4) 写出图中所有的等腰三角形. △ABP，△AOB. (2) 写出图中与∠OAC相等的角； ∠OAC =∠OBC =∠APC =∠BPC. B P O A C E D 练一练 例1 已知：如图，四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、 DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H. 求证：AB + CD = AD + BC. 证明：∵ AB、BC、CD、DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H， · A B C D O E F G H ∴ AE = AH，BE = BF，CG = CF，DG = DH. ∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH， 即 AB + CD = AD + BC. 典例精析 例2 如图，PA、PB 分别与 ⊙O 相切于点 A、B，⊙O 的切线 EF 分别交 PA、PB 于点 E、F，切点 C 在弧 AB上.若 PA 长为 2，则 △PEF 的周长是_____． 解析：因为 PA、PB 分别与 ⊙O 相切于点 A、B，所以 PA＝PB. 因为 ⊙O 的切线 EF 分别交 PA、PB 于点 E、F，切点为 C，所以 EA＝EC，CF＝BF，所以 △PEF 的周长是 PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝PA＋PB＝2＋2＝4. 4 解析：如图，连接 OA、OB. ∠AOB＝2∠ACB＝140°. ∵ PA、PB 是 ⊙O 的切线，切点分别为 A、B， ∴ O，A，P，B 四点共圆，OP 平分∠APB. ∴∠APB＝180°－∠AOB ＝180°－140° ＝40°＝2∠OPA. ∴∠OPA＝20°. 例3 如图，PA、PB 是 ⊙O 的切线，切点分别为 A、B，点 C 在 ⊙O 上，如果 ∠ACB＝70°，那么 ∠OPA 的度数是____度． 20 如图，PA、PB 是 ☉O 的两条切线，点 A、B是切点，在弧 AB 上任取一点 C，过点 C 作 ☉O 的切线，分别交 PA、PB 于点 D、E. 已知 △PDE 的周长为 14，∠P = 40°. 则 (2) ∠DOE = °. (1) PA = ； 7 O P A B C E D 70 练一练 例4 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30° 的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径.若三角板与圆相切且测得 PA = 5 cm，求铁环的半径． O 解：设铁环的圆心为 O，连接 OP、OA，过 O 作 OQ⊥AB 于 Q. ∵ AP、AQ 为 ⊙O 的切线， ∴ ∠PAO＝∠QAO. Q B C 5 cm 在 Rt△OPA 中，PA＝5，∠POA＝30°， 又∵∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°. 即铁环的半径为 ∴ O Q B C 5 cm 1. 如图，PA、PB 是 ☉O 的两条切线，切点分别是 A、 B，若 AP = 4，∠APB = 40°，则∠APO = °， PB = . B P O A 20 4 当堂练习 2. 如图，从☉O 外一点 P 引☉O 的两条切线 PA、PB， 切点分别为 A、B，如果∠APB = 60°，PA = 8，那么 弦 AB = . B P O A 8 3. 如图，AB、AC、BD 是☉O 的切线，P、C、D 为切点， 若 AB = 5，AC = 3，则 BD = . B P O A C D 2 4. 如图，四边形 ABCD 的四条边分别与 ⊙O 相切，且 AB = 16，CD = 10，则四边形的周长为 . · A B C D O 第 3 题图 第 4 题图 52 5. 如图，△ABC 三边都与 ⊙O 相切，求证：AB + CF = AC + BF. 证明：∵ △ABC 三边都与 ⊙O 相切， ∴ AD = AE ①，BD = BF ②，CF = CE ③. ∴ ①+②+③， 得 AD + BD + CF = AE + BF + CE. ∴ AB + CF = AC + BF. F E D C B A O 6. 如图，已知在△ABC 中，∠B＝90°，O 是 AB 上一点， 以 O 为圆心，OB 为半径的圆与 AB 交于 E，与 AC 相 切于点 D. 求证：DE∥OC. 证明：方法①：连接 OD，如图. ∵ AC 切⊙O 于点 D，∴ OD⊥AC. ∴∠ODC =∠B = 90°. ∵ OD = OB，OC = OC， ∴ Rt△ODC≌Rt△OBC (HL). ∴∠DOC =∠BOC. ∵ OD = OE，∴∠ODE =∠OED. 方法②：连接 BD，如图. ∵ BC⊥AB， ∴ BC 切 ⊙O 于点 B. 又∵ AC 切 ⊙O 于点 D， ∴ DC = BC，CO 平分∠DCB. ∴ OC⊥BD. ∵ BE 为 ⊙O 的直径，∴ DE⊥BD. ∴ DE∥OC． ∵∠DOB =∠ODE +∠OED， ∴∠BOC =∠OED. ∴ DE∥OC． 切线长 切线长定理 作用 图形的轴对称性/全等 原理 提供了证明线段和 角相等的新方法 辅助线 分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点 课堂小结 $