24.2 第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦“圆心角、弧、弦、弦心距间关系”，通过飞镖靶、闹钟等生活实例引入，结合圆的旋转对称性作为学习支架，衔接圆的基本性质，逐步引出圆心角概念及四者关系定理。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，用旋转对称性推导定理发展推理意识，典例变式注重量的转化强化数学语言。分层练习与结构化小结助力学生掌握知识，教师可高效实施教学，提升学生抽象与推理能力。

第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 24.2 圆的基本性质 第24章 圆 优翼九下数学教学课件（HK） 情境引入 飞镖靶、闹钟以及被均分的蛋糕等圆形中，都存在着角，那么这些角有什么共同的特征呢？ 导入新课 圆的对称性 观察与思考 把圆绕圆心旋转任意一个角度，仍与原来的圆重合吗？ α 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，旋转中心为圆心. · O 新课讲授 圆心角 概念学习 O A B M 1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如∠AOB . 3. 圆心角∠AOB 所对的弦为 AB. 2. 圆心角∠AOB 所对的弧为 . 判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. 不是 不是 不是 是 练一练 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 · O A B C D 由圆的旋转对称性，我们发现： 在☉O中，如果∠AOB= ∠COD， 那么 ，AB = CD，OE = OF. （证明过程见课本） E F 观察与思考 在☉O 中，如果∠AOB= ∠COD，那么 与 ，弦 AB 与弦 CD，垂线段 OE 与 OF 有怎样的数量关系？ 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等． ①∠AOB =∠COD ③ AB = CD A B O D C 要点归纳 弧、弦与圆心角的关系定理 E F ④ OE = OF ② 想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图. A B O D C · O A B C D E F 在☉O 中，如果 = ，那么圆心角∠AOB 与 ∠COD，AB 与 CD，OE 与 OF 有怎样的数量关系？ 在☉O 中，如果 AB = CD，那么圆心角∠AOB 与 ∠COD， 与 ，OE 与 OF 有怎样的数量关系？ 在☉O 中，如果 OE = OF，那么圆心角∠AOB 与 ∠COD，AB 与 CD， 与 有怎样的 数量关系？ 在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等． 弧、弦与圆心角关系定理的推论 要点归纳 圆心角 相等 弦 相等 弦心距 相等 (3) 圆心角相等，所对的弦相等. （ ） (2) 等弧所对的弦相等. （ ） (1) 等弦所对的弧相等. （ ） × × √ 练一练 判断正误： 典例精析 例1 如图，等边三角形 ABC 的三个顶点都在☉O 上. 求证：∠AOB =∠BOC =∠COA = 120°. A B C O 证明：连接 OA，OB，OC，如图. ∵ AB = BC = CA， ∴∠AOB =∠BOC =∠COA 弧、弦与圆心角关系定理及推论的运用 ∴ AB = AC，△ABC 是等腰三角形. 又∵∠ACB = 60°， ∴△ABC 是等边三角形，AB = BC = CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. A B C O 方法总结：弧、圆心角、弦之间等量关系的灵活转化是解决圆相关问题的重要法宝. 【变式题】如图，在☉O 中， = ，∠ACB = 60°， 求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC. 证明：∵ = ， 如图，AB 是☉O 的直径， ∠COD = 35°，求∠AOE 的度数． 解： ∵ 练一练 · A O B C D E ∴ ∴ 例2 已知：如图，点 O 是∠FAD 平分线上的一点，☉O 分别交∠FAD 的两边于点 C，D 和点 E，F. 求证：CD = EF. O A D E F C 证明：过点 O 作 OK⊥CD，OH⊥EF， 垂足分别为 K，H，如图. H K ∵ 点 O 在∠FAD 的平分线上， ∴ CD = EF. ∴ OK = OH（角平分线的性质）. 例3 如图，AB，CD 是☉O 的两条直径，CE 为☉O 的弦，且 CE∥AB，弧 CE 为 40°，求∠BOD 的度数. O C E A B D 解：连接 OE，如图. ∵ 弧 CE 为 40°， ∴∠COE = 40°. ∵ CE∥AB， ∴∠BOD =∠C = 70°. 1. 如果两个圆心角相等，那么 （ ） A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对 D A 2. 在同圆中，圆心角∠AOB = 2∠COD，则 与 的关系是 （ ） A. = 2 B. > C. < D. 不能确定 当堂练习 4. 弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 °. 60 3. 如图所示，在☉O 中， = ，∠B = 70°，则 ∠A = ____°． 40 5. 如图，已知 AB、CD 为 ☉O 的两条弦， . 求证：AB = CD. C A B D O 证明：连接 AO，BO，CO，DO. 即 A B C D E O 能力提升： 6. 如图，在☉O 中，∠COD = 2∠AOB，那么 = 2 成立吗？CD = 2AB 呢？如果成立，请说明理由；如 果不成立，那它们之间的关系又是什么？ 解： = 2 成立，CD = 2AB 不成立. 理由如下：取 的中点 E，连接 OE， CE，DE，那么∠AOB =∠COE =∠DOE. 所以 = = ， = 2 ，AB = CE = DE. 在△CDE 中，CE + DE > CD，故 CD ＜ 2AB. 圆心角 弦、弧、圆心角的关系定理 在同圆或等圆中 概念：顶点在圆心的角 应用提醒： ①要注意前提条件； ②要灵活转化 圆心角 相等 弦 相等 弦心距 相等 课堂小结 $