24.4 第2课时 切线的性质和判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦圆的切线性质与判定，通过雨伞雨滴、砂轮火花等生活实例导入，引导学生观察切线方向，进而探究切线垂直于过切点半径的性质及经过半径外端点且垂直半径的判定定理，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过性质证明和判定推导发展推理意识，如例4连圆心证垂直、例5作垂直证半径，清晰总结辅助线方法。学生能提升几何直观与推理能力，教师可直接使用分层例题与系统练习，提高教学效率。

第2课时 切线的性质和判定 24.4 直线与圆的位置关系 第24章 圆 优翼九下数学教学课件（HK） 情境引入 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？ 都是沿切线方向飞出的. 生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为圆的切线呢？学完这节课，你就都会明白. 导入新课 如图，如果直线 l 是 ⊙O 的切线，点 A 为切点，那么 OA 与 l 垂直吗？如何证明？ A l O 切线的性质定理 观察与思考 新课讲授 证明：当直线 l 与⊙O 相切时，设切点为 A，连接 OA. 在直线 l 上任取一个不同于点 A 的点 B，连接 OB. 因为点 B 在 ⊙O 外，所以 OB＞OA. 这就是说，OA 是点 O 到直线 l 上 任一点的连线中最短的， 所以 OA 是点 O 到直线 l 的垂线段， 即 OA⊥l. 于是我们可以得到： 切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径. B A O l A l O ∵ 直线 l 是 ⊙O 的切线，A 是切点， ∴ l⊥OA. 切线性质： 圆的切线垂直于经过切点的半径． 应用格式： 知识要点 如图，在⊙O 中，OA、OB 为半径，直线 MN 与⊙O 相切于点 B，若∠ABN = 30°，则∠AOB = °. 60 练一练 A B N O M 典例精析 例1 如图，点 O 是∠BAC 的边 AC 上的一点，⊙O 与边 AB 相切于点 D，与线段 AO 相交于点 E，若点 P 是⊙O 上一点，且∠EPD＝35°，则∠BAC 的度数为 (　　) A．20° B．35° C．55° D．70° 解析：连接 OD，如图. ∵⊙O 与边 AB 相切于点 D， ∴ OD⊥AD. ∴∠ADO＝90°. ∵∠EPD＝35°，∴∠EOD＝2∠EPD＝70°. ∴∠BAC＝90°－∠EOD＝20°. A 例2 如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点．直线 PO 与 ⊙O 交于 B、C 两点，∠P＝30°，连接 AO、AB、AC. (1) 求证：△ACB≌△APO； O A B P C ∴△ACB≌△APO（ASA）. 证明：∵ PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点， ∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°. 又∵ OA＝OB，∴△AOB 为等边三角形. ∴ AB＝AO，∠ABO＝∠AOB. 又∵ BC 为 ⊙O 的直径， ∴∠BAC＝90°＝∠OAP. ∴∠OAP＝90°. (2) 若 AP＝ ，求 ⊙O 的半径． ∴ AO＝AP·tan30°＝1， 即 ⊙O 的半径为 1. 解：在 Rt△AOP 中，∠P＝30°，AP＝ ， O A B P C 已知 ⊙O 上一点 A，怎样根据圆的切线定义过点 A 作 ⊙O 的切线？ 作法：1. 连接 OA； 2. 过点 A 作直线 BC⊥OA. 则直线 BC 即为所作. 观察与思考 为什么直线 BC 即为所作呢？ B C .A O 切线的判定定理 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ∵ OA 为⊙O 的半径， BC⊥OA 于 A， ∴ BC 为⊙O 的切线. A B C 切线判定定理 应用格式 O 知识要点 利用切线的判定定理，判断下列各直线是不是圆的切线，如果不是，请说明理由. O. O O (1) (2) (3) (1) 不是，因为没有垂直. (2)，(3)不是，因为没有经过半径的外端点. 练一练 “经过半径的外端点”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 判断一条直线是一个圆的切线有三种方法： 1. 定义法：直线和圆只有一个公共点 时，我们说这条直线是圆的切线. 2. 数量关系法：圆心到这条直线的距 离等于半径 (即 d = r) 时，直线与 圆相切. 3. 判定定理：经过半径外端点且垂直 于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d 知识要点 例3 如图,∠ABC = 45°，AB 是☉O 的直径，AB = AC. 求证：AC 是 ☉O 的切线. 提示：直线 AC 经过半径的一端，因此只要证出 AB 垂直于 AC 即可. 证明：∵ AB = AC，∠ABC = 45°， ∴∠ACB =∠ABC = 45°. ∴∠BAC =180° -∠ABC -∠ACB = 90°. ∴ AC⊥OA. ∴ AC 是 ☉O 的切线. A O C B ∵ OA 是 ☉O 的半径， 例4 已知：直线 AB 经过☉O 上的点 C，并且 OA = OB，CA = CB. 求证：直线 AB 是☉O 的切线. O B A C 提示：由于 AB 过☉O 上的点 C，所以连接 OC，只要证明 OC⊥AB 即可. 证明：连接 OC，如图. ∵ OA＝OB，CA＝CB， ∴ 在等腰△OAB 中，OC⊥AB. ∵ OC 是⊙O 的半径， ∴ AB 是⊙O 的切线. 例5 如图，△ABC 中，AB＝AC ，O 是 BC 的中点，⊙O 与 AB 相切于 E.求证：AC 是⊙O 的切线． B O C E A 提示：根据切线的判定定理，要证明 AC 是 ⊙O 的切线，只要证明由点 O 向 AC 所作的垂线段 OF 是 ⊙O 的半径就可以了，而 OE 是 ⊙O 的半径，因此只需要证明 OF = OE. F 证明：连接 OE ，OA，过 O 作 OF⊥AC，如图. ∵ ⊙O 与 AB 相切于 E，∴ OE⊥AB. 在△ABC 中，∵ AB＝AC ，O 是 BC 的中点． ∴ AO 平分∠BAC. ∴ OE＝OF. ∴ AC 是 ⊙O 的切线． 又∵ OE⊥AB ，OF⊥AC， ∵ OE 为 ⊙O 的半径， ∴ OF 为 ⊙O 的半径. B O C E A F 如图，已知直线 AB 经过⊙O 上的点 C，并且 OA＝OB，CA＝CB. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线. C B A O 如图，OA＝OB＝5，AB＝8，⊙O 的直径为 6. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线. C B A O 通过对比，你能得出什么结论？ 作垂直 连接 方法归纳 (1) 有公共点，连圆心，证垂直 (如：例 4)； (2) 无公共点，作垂直，证半径 (如：例 5). ◑证切线时辅助线的添加方法： ◑已知切线时常见辅助线的添加方法： 见切线，连切点，得垂直 (如：例 1). 要点归纳 1. 判断下列命题是否正确. (1) 经过半径外端点的直线是圆的切线. （ ） (2) 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ） (3) 过直径的端点并且垂直于这条直径的直线是圆 的切线. （ ） (4) 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ） (5) 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ） × × √ √ √ 当堂练习 2. 如图，A 是 ☉O 上一点，且 AO = 5，PO = 13， AP = 12，则 PA 与 ☉O 的位置关系是 . A P O 相切 3. 如图，在☉O 的内接四边形 ABCD 中，AB 是直径， ∠BCD = 120°，过 D 点的切线 PD 与直线 AB 交于 点 P，则∠ADP 的度数为 （ ） A．40° B．35° C．30° D．45° C P O D A B C 4. 如图，PB 切 ☉O 于点 B，PB = 4，PA = 2，则 ☉O 的半径是多少？ O P B A 解：连接 OB，如图. 则∠OBP = 90°. 设⊙O 的半径为 r，则 OA = OB = r，OP = OA + PA = r + 2. 在 Rt△OBP 中， OB2 + PB2 = PO2， 即 r2 + 42 = (2 + r)2. 解得 r = 3， 即 ⊙O 的半径为 3. O A B C E P 5. 如图，△ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径的 ⊙O 交边 BC 于 P，PE⊥AC 于 E. 求证：PE 是⊙O 的切线. 证明：连接 OP，如图. ∵ AB = AC，∴∠B =∠C. ∵ OB = OP，∴∠B =∠OPB. ∴∠OPB =∠C. ∴ OP∥AC. ∵ PE⊥AC， ∴ PE⊥OP. ∴ PE为⊙O 的切线. 6. 如图，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，以 O 为 圆心，OA 长为半径的 ⊙O 与 BC 相切于点 M. 求证： CD 与⊙O相切. 证明：连接 OM，过点 O 作 ON⊥ CD 于点 N，如图. ∵ ⊙O 与 BC 相切于点 M， ∴ OM⊥BC. 又∵ ON⊥CD，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，∴ OM＝ON. ∴ CD 与 ⊙O 相切． M N 7. 已知：△ABC 内接于 ☉O，过点 A 作直线 EF. (1) 如图1，AB 为直径，要使 EF 为☉O 的切线，还需 添加的一个条件是（只需写出两种情况）： ① ___________；② ____________. (2) 如图2，AB 是非直径的弦， ∠CAE =∠B，求证：EF 是☉O 的切线. BA⊥EF ∠CAE =∠B A F E O A F E O B C B C 图1 图2 证明：如图，连接 AO 并延长交 ☉O 于 D，连接 CD，则 AD 为 ☉O 的直径. ∴ ∠D +∠DAC = 90°. ∵ ∠D 和 ∠B 都是 所对的圆周角， ∴ ∠D =∠B. 又∵ ∠CAE =∠B， ∴ ∠D = ∠CAE. ∴ ∠CAE + ∠DAC = 90°，即 AD⊥EF. ∴ EF 是 ☉O 的切线. A F E O B C 图2 D 切线的 判定 定义法 数量关系法 判定定理 1 个公共点，则相切 d = r，则相切 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 切线的 性质 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连圆心，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径 有 1 个公共点 d=r 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 有切线时常用辅助线添加方法： 见切线，连切点，得垂直 课堂小结 $