24.3 第2课时 圆内接四边形（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦“圆内接四边形”，系统讲解定义及“对角互补、外角等于内对角”性质。通过复习圆周角定义与定理导入，结合观察思考、问题链引导，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是以问题驱动探究，通过猜想∠A与∠C关系并证明，培养推理意识，典例精析（如比例求角度、几何证明）与分层练习强化应用，发展几何直观与模型意识，助力学生理解性质，教师可借其系统设计提升教学效果。

第2课时 圆内接四边形 24.3 圆周角 第24章 圆 优翼九下数学教学课件（HK） 1. 什么是圆周角？ 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. O A B C 复习引入 2. 什么是圆周角定理？ 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 导入新课 圆内接四边形及其性质 观察图中的四边形，它有什么特点？ 观察与思考 O A C B D 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 新课讲授 O A C B D 如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 为四边形 ABCD 的外接圆. ∠A 与∠C，∠B 与∠D 之间 有什么关系？ 问题1 猜想： ∠A +∠C = 180º， ∠B +∠D = 180º. 如何证明你的猜想？ 证明： 由于 和 所对的圆心角之和是周角为 360°， 故∠A＋∠C＝180°. 同理，得∠B＋∠D＝180°. O A C B D 如图，延长 DC 到 E，∠A 与∠BCE 有什么关系？ 问题2 O A C B D E 解：∠A =∠BCE，理由如下： ∵∠A＋∠BCD = 180°， ∠BCE＋∠BCD = 180°， ∴∠A =∠BCE. 归纳总结 圆内接四边形的性质： 圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角. O A C B D E 如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，∠A = 110°，∠B = 80°，则∠BCD = °，∠D = °，∠DCE = °. 70 100 练一练 A E C D B 110 O 解：设∠A，∠B，∠C 的度数分别等于 2x，3x，6x. 例1 在圆内接四边形 ABCD 中，∠A，∠B，∠C 的度数之比是 2︰3︰6. 求这个四边形各角的度数. ∵ 四边形 ABCD 内接于圆， ∴∠A +∠C =∠B +∠D = 180°， ∵ 2x + 6x = 180°， ∴ x = 22.5°. ∴∠A = 45°，∠B = 67.5°，∠C = 135°， ∠D = 180° - 67.5° = 112.5°. 典例精析 解析：∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠B＋∠ADC＝180°. ∵ 四边形 OABC 为平行四边形，∴∠AOC＝∠B. 又由题 意可知∠AOC＝2∠ADC，∴∠ADC＝ 180°÷3＝60°. 连接 OD，则 AO＝OD＝ CO. ∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC. ∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠ADC＝60°. 例2 如图，点 A，B，C，D 在⊙O 上，点 O 在∠D 的内部，四边形 OABC 为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD = _____度． 60 如图，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠BOD＝120°，那么∠BCD＝ (　　) A．120° B．100° C．80° D．60° 解析：∵∠BOD＝120°， ∴∠A＝60°. ∴∠C＝180°－60°＝120°. 练一练 A 例3 如图，已知 A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，延长 DC，AB 相交于点 E. 若 BC＝BE. 求证：△ADE 是等腰三角形． 证明：∵ BC＝BE，∴∠BCE＝∠E. ∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠A＋∠DCB＝180°. ∵∠BCE＋∠DCB＝180°， ∴∠A＝∠BCE. ∴∠A＝∠E. ∴ AD＝DE. ∴△ADE 是等腰三角形. 1. 如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B = 70°， 则∠D 的度数是 ( ) A. 110° B. 90° C. 70° D. 50° A A C D B O 当堂练习 2. 若 ABCD 为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立 ( ) A.∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4 B.∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4 C.∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4 D.∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶2∶1 B 4. 若⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3 ，则∠D = °. 90 A B C P O 3. 如图，等边三角形 ABC 内接于 ⊙O，P 是 上的一点，则 ∠APC = °. 120 5. 在⊙O 中，∠CBD =30°，∠BDC =20°，求∠A. O A B D C 解：∵∠CBD = 30°，∠BDC = 20°， ∴∠C = 180°－∠CBD－∠BDC = 130°. ∴∠A = 180°－∠C = 50°. 6. 如图，AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB 于 E，交⊙O 于 D，AF 交⊙O 于 G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 证明：∵ 四边形 ACDG 内接于⊙O， ∴∠FGD＝∠ACD. 又∵ AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB， ∴ AB 垂直平分 CD. ∴ AC＝AD. ∴∠ADC＝∠ACD. ∴∠FGD＝∠ADC. 7. 如图，⊙O 的内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分 别交于点 E，F． (1) 若∠E +∠F = α，求∠A 的度数(用含 α 的式子表示)； ∵∠E +∠F = α， 解：∵ 四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴∠A =∠BCF . ∴∠A +∠E =∠EBF = 180°－∠BCF－∠F， = 180°－∠A－∠F， 即 2∠A =180°－(∠E +∠F). ∴ (2) 若∠E +∠F = 60°，求∠A 的度数． 解：当 α = 60° 时， 一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角. 圆内接四边形 定义 定理 课堂小结 $