24.3 第1课时 圆周角定理及其推论（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（沪科版）

该初中数学课件聚焦“圆周角”核心内容，涵盖定义、定理及推论。通过复习圆心角导入，结合内接三角形角的观察引出圆周角定义，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以“观察与思考”“合作探究”驱动，培养几何直观（数学眼光）和推理意识（数学思维）。如分三种情况证明定理，例2用直径构造直角三角形体现模型意识（数学语言）。助力学生提升逻辑推理与应用能力，为教师提供系统教学资源。

第1课时 圆周角定理及其推论 24.3 圆周角 第24章 圆 优翼九下数学教学课件（HK） 问题1 什么是圆心角？ 顶点在圆心的角叫圆心角. 问题2 圆心角的度数与它所对弧的度数是什么关系？ 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 复习引入 . O B C 导入新课 像∠A 这样，顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点 的角叫做圆周角. 圆周角的定义 一个三角形，当它内接于一个圆时，它的任一个角都与圆有着特殊的位置关系. 观察图中的∠A，它 有什么特点？ 观察与思考 O A B C 新课讲授 · C O A B · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 判断下列各图中的∠BAC 是否为圆周角，并简述理由. 顶点 A 不在圆上 顶点 A 不在圆上 边 AC 没有和圆相交 是 是 是 如图，∠BAC 是⊙O 的一个圆周角，连接 BO，CO，得圆心角∠BOC. 试猜想∠BAC 与∠BOC 存在怎样的数量关系. 观察与思考 你能证明吗？ 圆周角定理及其推论 圆心 O 在∠BAC 的内部 圆心 O 在∠BAC 的一边上 圆心 O 在∠BAC 的外部 下面给出猜想的证明： 以⊙O 上任一点 A 为顶点的圆周角，按圆心 O 与圆周角的位置关系，存在以下三种情况： (1) 圆心 O 在∠BAC 的一边上（特殊情形） OA = OC ∠A = ∠C ∠BOC =∠ A+ ∠C O A B D O A C D O A B C D (2) 圆心 O 在∠BAC 的内部 O A C D O A B D (3) 圆心 O 在∠BAC 的外部 O A B D O C A D O A B D C O A D C O A B D C O A D O A B D 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 圆周角定理 O A1 A2 A3 知识要点 A C B 如图，点 A、B、C、D 在☉O 上，点 A 与点 D 在点 B、C 所在直线的同侧，∠BAC = 35°. (1)∠BOC = °，理由是 . ； (2)∠BDC = °，理由是 . 70 35 同上 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 练一练 典例精析 例1 如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 为圆上两点，∠AOC = 130°，则∠D 等于 (　　) A．25° B．30° C．35° D．50° 解析：∵∠AOC = 130°，∠AOB = 180°，∴∠BOC = 50°，∴∠D = 25°. A 圆周角定理的推论 问题1 如图，OB，OC 都是⊙O 的半径，点A ，D 是圆上任意两点，连接 AB，AC，BD，CD. ∠BAC 与∠BDC 相等吗？请说明理由. D ∴∠BAC =∠BDC. 解：相等. 理由如下： 合作探究 ∵ 问题2 如图，若 ∠A 与∠B 相等吗？ 解：相等. 想一想：反过来，如果∠A =∠B，那么 成立吗？ D A B O C E F ∠CAD 和∠CGD 均是 所对的圆周角 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等. 圆周角定理推论1 几何语言 知识要点 D A B O C E F G 完成下列填空： ∠1 = ； ∠2 = ； ∠3 = ； ∠5 = . 如图，点 A、B、C、D 在同一个圆上，AC、BD 为四边形 ABCD 的对角线， ∠4 ∠8 ∠6 ∠7 A B C D O 1 ( ( ( ( ( ( ( ( 2 3 4 5 6 7 8 练一练 思考：如图，AC 是⊙O 的直径， 则∠ADC = °， ∠ABC = °. 90 90 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径. O A C B D 例2 如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P， ∠ACD = 60°，∠ADC = 70°. 求∠APC 的度数. O A D C P B 解：连接 BC，如图，则∠ACB = 90°， ∠DCB =∠ACB－∠ACD = 90°－60° = 30°. 又∵∠BAD =∠DCB = 30°， ∴∠APC =∠BAD +∠ADC = 30° + 70° = 100°. 方法总结：在圆中，如果有直径，可考虑找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题． 如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD = 30°，则∠A 的度数为 ( ) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：∵ BD 是⊙O 的直径， ∴∠BCD = 90°. ∵∠CBD＝30°， ∴∠D＝60°. ∴∠A＝∠D＝60°. 练一练 C B . A D C O 例3 如图，⊙O 的直径 AC 为 10 cm，弦 AD 为 6 cm. (1) 求 DC 的长； B 解：∵ AC 是⊙O 的直径， ∴ ∠ADC = 90°. 在 Rt△ADC 中， B . O A D C 又∵∠ACB =∠ADB，∠BAC =∠BDC， ∴∠BAC =∠ACB. ∴ AB = BC. ∴△ABC 为等腰直角三角形. ∴ (2) 若∠ADC 的平分线交⊙O 于 B，求 AB、BC 的长． 解：∵ AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC = 90°. ∵ DB 平分∠ADC，∴∠ADB =∠CDB. B . O A D C 1. 判断正误： （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等. （ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等. （ ） （3）同弦所对的圆周角相等. （ ） √ × × 当堂练习 2. 已知 △ABC 的三个顶点在 ⊙O 上，∠BAC = 50°， ∠ABC = 47°，则∠AOB = °． B A C O 166 3. 如图，△ABC 的顶点 A、B、C 都在 ⊙O 上，∠C = 30°，AB = 2，则 ⊙O 的半径是 . C A B O 2 4. 如图，已知 BD 是 ⊙O 的直径，⊙O 的弦 AC⊥BD 于 点 E，若∠AOD = 60°，则∠DBC的度数为 . 方法总结：解决圆周角和圆心角的计算和证明问题，要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角，然后再灵活运用圆周角定理及其推论. 30° 5. 如图，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为 1 的 ⊙O 的圆心 O 在格点上，则 ∠AED 的正切值 等于 . _______ ∴∠ACB = 2∠BAC. 证明： 6. 如图，OA，OB，OC 都是 ⊙O 的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC. ∠AOB = 2∠BOC， ∵ A O B C 7. 如图，在△ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径的圆交 BC 于 D，交 AC 于 E. (1) BD 与 CD 的大小有什么关系? 为什么? ∵ AB 是圆的直径，点 D 在圆上， ∴∠ADB = 90°. ∴ AD⊥BC. 又∵ AB = AC， ∴ 在等腰△ABC 中，BD = CD. 解：BD = CD. 理由如下：连接 AD，如图. A B C D E O (2) 求证： . 证明： ∵ △ABC 为等腰三角形，AD⊥BC， ∴∠BAD =∠CAD. ∴ A B C D E O 8. 已知 ⊙O 的弦 AB 的长等于 ⊙O 的半径，求此弦 AB 所对的圆周角的度数． 解：分下面两种情况： (1) 如图①所示，连接 OA，OB，在优弧 上任取 一点 C，连接 CA，CB. ∵ AB＝OA＝OB， ∴ 在等边△AOB 中，∠AOB＝60°． ∴∠ACB＝ ∠AOB＝30°. 即弦 AB 所对的圆周角等于 30°. 图① 图② (2) 如图②所示，连接 OA，OB，在劣弧 上任取一点 D，连接 AD，OD，BD. 则∠BAD＝ ∠BOD，∠ABD＝ ∠AOD. ∴∠BAD＋∠ABD＝ (∠BOD＋∠AOD)＝ ∠AOB. 同 (1) 可知∠AOB＝60°， ∴∠BAD＋∠ABD＝30°. ∴∠ADB＝180°－(∠BAD＋∠ABD)＝150°， 即弦 AB 所对的圆周角为 150°. 综上，弦 AB 所对的圆周角的度数是 30° 或 150°. 圆 周 角 定义 定理 推论 1. 顶点在圆上； 2. 两边都与圆相交的角 二者必须同时具备 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 半圆或直径所对的圆周角是直角； 90° 的圆周角所对的弦是直径 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等 课堂小结 $